2015-2016学年山西省吕梁市交城县八年级（下）期末数学试卷

这是一份2015-2016学年山西省吕梁市交城县八年级（下）期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2015-2016学年山西省吕梁市交城县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）二次根式中，x的值可以是（　　）
A．﹣6 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3
2．（2分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（﹣1，2），则正比例函数的解析式为（　　）
A．y＝2x B．y＝﹣2x C． D．
3．（2分）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2分）如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠A＝60°，过点B作BE⊥AD，则BE的长为（　　）

A． B． C．4 D．8
5．（2分）世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙．那么你知道黄金矩形的宽与长的比是多少吗？（　　）
A． B． C． D．
6．（2分）小敏和小华在某次各科满分均为100分的期末测试中，各科成绩的平均分相同．小敏想和小华再比较一下两人中谁的各科成绩更加均衡，则他需要分别计算两人各科成绩的（　　）
A．加权平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
7．（2分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列结论正确的是（　　）

A．S▱ABCD＝4S△AOB B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．▱ABCD是轴对称图形
8．（2分）文杰从家步行到公交车站台，等公交车去上学校．图中的折线表示文杰的行程s（km）与所花时间t（min）之间的函数关系．下列说法错误的是（　　）

A．他离家8km共用了30min
B．他等公交车的时间为6min
C．公交车的速度是450m/min
D．他步行的速度是100m/min
9．（2分）如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：
①AD＝BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形．
其中正确的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
10．（2分）如图，函数的图象与y轴交于点A，与函数y＝x的图象交于点M，点M的横坐标为2，在x轴上有一点P（a，0），过点P作x轴的垂线，分别交函数和y＝x的图象于点B，C．当四边形AOBC为平行四边形时，a的值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3，共24分）
11．（3分）已知一个一次函数，函数值y随x的增大而减小，并且图象经过第三象限．请写出这个函数关系式 　 　．（写出一个即可）
12．（3分）直线y＝x+3向下平移5个单位后，与y轴的交点坐标为 　 　．
13．（3分）有一直角三角形，它的斜边比一条直角边长1cm，另一条直角边长7cm，则此三角形的面积为 　 　．
14．（3分）一次函数y＝kx+b（k≠0）是一种最基本的函数，它刻画了一种常见的变化规律．我们可以采用描点法画出它的图象，再利用图象直观地分析它的性质．这种利用图象研究函数的方法体现了 　 　的思想．
15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝5cm，AD＝7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF＝　 　cm．

16．（3分）对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算*如下：a*b＝，如3*2＝，那么8*12＝　 　．
17．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝12，BC＝5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为　 　．

18．（3分）如图，在平面直角坐标中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C是线段AB的中点，则OC的长是 　 　．

三、解答题（共56分）
19．（5分）计算：．
20．（8分）点M是正方形ABCD的对角线AC上一点，ME⊥AD，MF⊥CD，垂足分别为E、F．求证：BM＝EF．

21．（9分）某单位欲从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试、面试、民主评议三项测试，三人的测试成绩如下表所示：其中民主评议成绩由200名职工对三人投票产生，三人得票率（没有弃权票，每位职工只能投票给1人）如上图所示，每得一票记作1分．
测试项目
测试成绩/分
甲
乙
丙
笔试
80
72
92
面试
70
85
68
民主评议
　 　
　 　
　 　
（1）请补充完成表格中民主评议的成绩．
（2）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用？（精确到0.1）
（3）根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按5：3：2的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？

22．（12分）如图，在平面直角坐标中，有一条直线y＝kx+b（k≠0），请再画出函数y＝2x﹣2的图象．
（1）列表：
x
…
﹣1
0
1
2
…
y＝2x﹣2
…
　 　
　 　
　 　
　 　
…
（2）描点连线．
（3）观察图象直接写出下列方程的解．
①2x﹣2＝0的解为：x＝　 　；
②2x﹣2＝2的解为：x＝　 　．
（4）已知直线y＝kx+b（k≠0）与直线y＝2x﹣2的交点A的横坐标为2，则不等式kx+b≤2x﹣2的解集为 　 　；方程组的解为 　 　．
（5）在（4）的条件下，当直线y＝kx+b（k≠0）经过B（0，1）时，请确定y＝kx+b的解析式．

23．（10分）选择通信收费方式．移动公司推出两种通信收费方式．方式一：月租18元，赠送免费通话时间100分钟，超出后每分钟收费0.1元；方式二：月租9元，每通话1分钟收费0.15元．
（1）写出两种方式的通话费用y关于通话时间x的函数解析式．
（2）张经理每个月通话时间约为500分钟．请你帮他选择一种节省费用的收费方式．
（3）请问当月通话时间为多少分钟时，通信收费方式一与方式二费用相等？
24．（12分）实践与探究：“标准纸”的研究．定义：把长与宽的比为的矩形纸张叫做“标准纸”．

（1）根据下面的操作，证明A4纸是“标准纸”．如图1，矩形ABCD是一张A4纸．操作一：将AB边折叠到BC边上，折痕为BE，点A的对应点为A′．操作二：再将BE折叠到BC边上，折痕为BM，如果这时BE与BC恰好重合（BE＝BC），就说明A4纸是“标准纸”，请你说明理由．（提示：证明BC：AB＝：1）
（2）拓展应用：有一张直角三角形纸片ABC，∠C＝90°，AB＝，BC＝，点D、点E分别为AC、AB边的中点，把它沿DE剪开后，拼成如图2所示的四边形DCBF．求证：四边形纸片DCBF是“标准纸”．

2015-2016学年山西省吕梁市交城县八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）二次根式中，x的值可以是（　　）
A．﹣6 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x的取值范围，据此可得．
【解答】解：由二次根式的性质知x+3≥0，
则x≥﹣3，
在四个选项中只有﹣3符合题意，
故选：D．
2．（2分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（﹣1，2），则正比例函数的解析式为（　　）
A．y＝2x B．y＝﹣2x C． D．
【分析】首先把（﹣1，2）代入正比例函数y＝kx中可得k的值，即可得到函数解析式．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点（﹣1，2），
∴2＝﹣1×k，
解得：k＝﹣2，
∴该正比例函数的解析式为y＝﹣2x，
故选：B．
3．（2分）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】分别根据合并同类项的法则、二次根式的化简法则对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵与不是同类项，∴不能合并，故本选项错误；
B、3﹣2＝≠1，故本选项错误；
C、＝3，故本选项正确；
D、＝3≠±3，故本选项错误．
故选：C．
4．（2分）如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠A＝60°，过点B作BE⊥AD，则BE的长为（　　）

A． B． C．4 D．8
【分析】根据菱形的性质可求得∠A＝60°，在Rt△ABE中由三角函数的定义可求得BE．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∴∠A＝180°﹣120°＝60°，
∵BE⊥AD，
∴sinA＝，
∴BE＝AB•sin60°＝8×＝4，
故选：B．
5．（2分）世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙．那么你知道黄金矩形的宽与长的比是多少吗？（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用黄金分割的定义求解．
【解答】解：根据题意得，黄金矩形的宽与长的比为．
故选：D．
6．（2分）小敏和小华在某次各科满分均为100分的期末测试中，各科成绩的平均分相同．小敏想和小华再比较一下两人中谁的各科成绩更加均衡，则他需要分别计算两人各科成绩的（　　）
A．加权平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
【分析】根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小；方差越小，数据越稳定．要比较两人中谁的各科成绩更加均衡，应选用的统计量是方差．
【解答】解：由于方差反映数据的波动情况，应知道数据的方差，
故选：B．
7．（2分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列结论正确的是（　　）

A．S▱ABCD＝4S△AOB B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．▱ABCD是轴对称图形
【分析】根据平行四边形的性质分别判断得出答案即可．
【解答】解：A、∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴AO＝CO，DO＝BO，
∴S△AOD＝S△DOC＝S△BOC＝S△AOB，
∴S▱ABCD＝4S△AOB，故此选项正确；
B、无法得到AC＝BD，故此选项错误；
C、无法得到AC⊥BD，故此选项错误；
D、▱ABCD是中心对称图形，故此选项错误．
故选：A．
8．（2分）文杰从家步行到公交车站台，等公交车去上学校．图中的折线表示文杰的行程s（km）与所花时间t（min）之间的函数关系．下列说法错误的是（　　）

A．他离家8km共用了30min
B．他等公交车的时间为6min
C．公交车的速度是450m/min
D．他步行的速度是100m/min
【分析】根据图象可以确定他离家8km用了多长时间，等公交车时间是多少，他步行的时间和对应的路程，公交车运行的时间和对应的路程，然后确定各自的速度．
【解答】解：A、依题意得他离家8km共用了30min，故A说法正确，不符合题意；
B、依题意在第10min开始等公交车，第16min结束，故他等公交车时间为6min，故B说法正确，不符合题意；
C、公交车（30﹣16）min走了（8﹣1）km，故公交车的速度为7000÷14＝500m/min，故C说法错误，符合题意；
D、他步行10min走了1000m，故他步行的速度是100m/min，故D说法正确，不符合题意．
故选：C．
9．（2分）如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：
①AD＝BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形．
其中正确的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】先求出∠ACD＝60°，继而可判断△ACD是等边三角形，从而可判断①是正确的；根据①的结论，可判断四边形ABCD是平行四边形，从而可判断②是正确的；根据①的结论，可判断④正确．
【解答】解：△ABC、△DCE是等边三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝CD，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACB﹣∠DCE＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AD＝AC＝BC，故①正确；
由①可得AD＝BC，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BD、AC互相平分，故②正确；
由①可得AD＝AC＝CE＝DE，
故四边形ACED是菱形，即③正确．
综上可得①②③正确，共3个．
故选：D．
10．（2分）如图，函数的图象与y轴交于点A，与函数y＝x的图象交于点M，点M的横坐标为2，在x轴上有一点P（a，0），过点P作x轴的垂线，分别交函数和y＝x的图象于点B，C．当四边形AOBC为平行四边形时，a的值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】过M作MN⊥x轴于N，求出ON＝2，根据平行四边形的性质得出OM＝CM，求出ON＝NP，再求出a即可．
【解答】解：过M作MN⊥x轴于N，

∵点M的横坐标为2，
∴N的横坐标是2，
∵四边形AOBC是平行四边形，
∴OM＝CM，
∵OA⊥x轴，MN⊥x轴，PB⊥x轴，
∴MN∥PB，
∴ON＝NP＝2，
∵P（a，0），
∴a＝2+2＝4，
故选：D．
二、填空题（每小题3，共24分）
11．（3分）已知一个一次函数，函数值y随x的增大而减小，并且图象经过第三象限．请写出这个函数关系式 　y＝﹣x﹣1（答案不唯一）　．（写出一个即可）
【分析】设一次函数关系式为y＝kx+b，y随x增大而减小，则k＜0；图象经过第三象限，则b＜0．综合二者取值即可．
【解答】解：设一次函数关系式为y＝kx+b，
∵函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，可取﹣1，
∵图象经过第三象限．
∴b＜0，可取﹣1，
∴这个函数关系式为y＝﹣x﹣1，
故答案为y＝﹣x﹣1（答案不唯一）．
12．（3分）直线y＝x+3向下平移5个单位后，与y轴的交点坐标为 　（0，﹣2）　．
【分析】先由直线直线y＝x+3沿y轴向下平移5个单位可得y＝x+3﹣5，再根据一次函数y＝kx+b与y轴交点为（0，b）可得答案．
【解答】解：直线直线y＝x+3沿y轴向下平移5个单位可得y＝x+3﹣5，即y＝x﹣2．
则平移后直线与y轴的交点坐标为：（0，﹣2）．
故答案为：（0，﹣2）．
13．（3分）有一直角三角形，它的斜边比一条直角边长1cm，另一条直角边长7cm，则此三角形的面积为 　84cm2　．
【分析】设另一条直角边为xcm，则斜边为（x+1）cm，再由勾股定理求出x的值，根据三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：设另一条直角边为xcm，则斜边为（x+1）cm，
∵一条直角边长7cm，
∴72+x2＝（x+1）2，解得x＝24cm，
∴S＝×7×24＝84cm2．
故答案为：84cm2．
14．（3分）一次函数y＝kx+b（k≠0）是一种最基本的函数，它刻画了一种常见的变化规律．我们可以采用描点法画出它的图象，再利用图象直观地分析它的性质．这种利用图象研究函数的方法体现了 　数形结合　的思想．
【分析】从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质正是数形结合的数学思想的体现．
【解答】解：一次函数y＝kx+b（k≠0）是一种最基本的函数，它刻画了一种常见的变化规律．我们可以采用描点法画出它的图象，再利用图象直观地分析它的性质．这种利用图象研究函数的方法体现了数形结合的思想．
故答案为：数形结合．
15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝5cm，AD＝7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF＝　2　cm．

【分析】根据平行四边形的对边相等且平行和利用平行四边形的性质以及平行线的基本性质求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CFE，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴∠CBF＝∠CFB，
∴CF＝CB＝7，
∴DF＝CF﹣CD＝7﹣5＝2，
故答案为：2．
16．（3分）对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算*如下：a*b＝，如3*2＝，那么8*12＝　﹣　．
【分析】根据a*b＝，求出8*12的值为多少即可．
【解答】解：∵a*b＝，
∴8*12＝＝＝﹣．
故答案为：﹣．
17．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝12，BC＝5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为　　．

【分析】首先利用勾股定理计算出BD的长，再根据折叠可得AD＝A′D＝5，进而得到A′B的长，再设AE＝x，则A′E＝x，BE＝12﹣x，再在Rt△A′EB中利用勾股定理可得方程：（12﹣x）2＝x2+82，解出x的值，可得答案．
【解答】解：∵AB＝12，BC＝5，
∴AD＝5，BD＝＝13，
根据折叠可得：AD＝A′D＝5，
∴A′B＝13﹣5＝8，
设AE＝x，则A′E＝x，BE＝12﹣x，
在Rt△A′EB中：（12﹣x）2＝x2+82，
解得：x＝，
故答案为：．
18．（3分）如图，在平面直角坐标中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C是线段AB的中点，则OC的长是 　10　．

【分析】根据题意可以求得点A和点B的坐标，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OC＝AB．
【解答】解：令x＝0则y＝12，
令y＝0，则﹣x+12＝0，
解得x＝16，
所以，OA＝12，OB＝16，
由勾股定理，AB＝＝＝20，
∵点C是线段AB的中点，
∴OC＝AB＝×20＝10．
故答案为：10．
三、解答题（共56分）
19．（5分）计算：．
【分析】本题涉及实数运算、二次根式化简等多个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝（4﹣4•+6）÷2＝（4+4）＝2+2．
20．（8分）点M是正方形ABCD的对角线AC上一点，ME⊥AD，MF⊥CD，垂足分别为E、F．求证：BM＝EF．

【分析】由“SAS”可证△DAM≌△BAM，可得DM＝BM，通过证明四边形DEMF是矩形，可得EF＝DM，可得结论．
【解答】证明：连接DM，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC，∠D＝90°，
在△DAM和△BAM中，
，
∴△DAM≌△BAM（SAS），
∴DM＝BM，
又∵ME⊥AD，MF⊥CD，
∴∠MED＝∠MFD＝∠D＝90°，
∴四边形DEMF是矩形，
∴EF＝DM，
∴BM＝EF．
21．（9分）某单位欲从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试、面试、民主评议三项测试，三人的测试成绩如下表所示：其中民主评议成绩由200名职工对三人投票产生，三人得票率（没有弃权票，每位职工只能投票给1人）如上图所示，每得一票记作1分．
测试项目
测试成绩/分
甲
乙
丙
笔试
80
72
92
面试
70
85
68
民主评议
　50　
　80　
　70　
（1）请补充完成表格中民主评议的成绩．
（2）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用？（精确到0.1）
（3）根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按5：3：2的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？

【分析】（1）根据扇形统计图中的数据即可求得甲、乙、丙的民主评议得分；
（2）根据平均数的概念求得甲、乙、丙的平均成绩，进行比较，即可得出答案；
（3）根据加权成绩分别计算三人的个人成绩，进行比较即可得出答案．
【解答】解：（1）甲、乙、丙的民主评议得分分别为：
200×25%＝50（分），200×40%＝80（分），200×35%＝70（分）．
故答案为：50，80，70；

（2）甲的平均成绩为：≈66.7（分），
乙的平均成绩为：＝79（分），
丙的平均成绩为：≈76.7（分），
由于66.7＜76.7＜79，所以乙将被录用；

（3）如果将笔试、面试、民主评议三项测试得分按5：3：2的比例确定个人成绩，那么
甲的个人成绩为：＝71（分），
乙的个人成绩为：＝77.5（分），
丙的个人成绩为：＝80.4（分），
∵71＜77.5＜80.4，
∴丙将被录用．
22．（12分）如图，在平面直角坐标中，有一条直线y＝kx+b（k≠0），请再画出函数y＝2x﹣2的图象．
（1）列表：
x
…
﹣1
0
1
2
…
y＝2x﹣2
…
　﹣4　
　﹣3　
　0　
　2　
…
（2）描点连线．
（3）观察图象直接写出下列方程的解．
①2x﹣2＝0的解为：x＝　1　；
②2x﹣2＝2的解为：x＝　2　．
（4）已知直线y＝kx+b（k≠0）与直线y＝2x﹣2的交点A的横坐标为2，则不等式kx+b≤2x﹣2的解集为 　x≥2　；方程组的解为 　　．
（5）在（4）的条件下，当直线y＝kx+b（k≠0）经过B（0，1）时，请确定y＝kx+b的解析式．

【分析】（1）把x的值分别代入函数表达式即可求得对应的函数值；
（2）描点、连线画出图象即可；
（3）根据图象求得即可；
（4）结合函数图象根据交点坐标即可求得；
（5）根据待定系数法即可求得．
【解答】解：（1）列表：
x
……
﹣1
0
1
2
……
y＝2x﹣2
……
﹣4
﹣2
0
2
……
（2）描点、连线，如图：

（3）①由图象可知，2x﹣2＝0的解为：x＝1；
②由图象可知2x﹣2＝2的解为：x＝2，
故答案为1，2；
（4）由图象可知不等式kx+b≤2x﹣2的解集为x≥2，方程组的解为，
故答案为x≥2，；
（5）把x＝2代入y＝2x﹣2中，得：y＝2，
∴A（2，2），
把A（2，2），B（0，1）分别代入y＝kx+b中，得：，
解得：，
所以：y＝kx+b的解析式为y＝+1．
23．（10分）选择通信收费方式．移动公司推出两种通信收费方式．方式一：月租18元，赠送免费通话时间100分钟，超出后每分钟收费0.1元；方式二：月租9元，每通话1分钟收费0.15元．
（1）写出两种方式的通话费用y关于通话时间x的函数解析式．
（2）张经理每个月通话时间约为500分钟．请你帮他选择一种节省费用的收费方式．
（3）请问当月通话时间为多少分钟时，通信收费方式一与方式二费用相等？
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以写出两种方式的通话费用y关于通话时间x的函数解析式；
（2）将x＝500代入（1）中相应的函数解析式，然后比较大小即可；
（3）分两种情况讨论，即可解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
当0≤x≤100时，方式一的通话费用y关于通话时间x的函数解析式是y＝18，
当x＞100时，方式一的通话费用y关于通话时间x的函数解析式是y＝18+（x﹣100）×0.1＝0.1x+8，
即方式一的通话费用y关于通话时间x的函数解析式是y＝；
方式二的通话费用y关于通话时间x的函数解析式是y＝9+0.15x（x≥0）；
（2）当x＝500时，方式一的通话费为：y＝0.1×500+8＝58，方式二的通话费为：y＝9+0.15×500＝84，
∵58＜84，
∴选择方式一节省费用；
（3）当0≤x≤100时，令18＝0.15x+9，解得x＝60；
当x＞100时，令0.1x+8＝0.15x+9，解得x＝﹣20（舍去）；
答：月通话时间为60分钟时，两种方式费用相等．
24．（12分）实践与探究：“标准纸”的研究．定义：把长与宽的比为的矩形纸张叫做“标准纸”．

（1）根据下面的操作，证明A4纸是“标准纸”．如图1，矩形ABCD是一张A4纸．操作一：将AB边折叠到BC边上，折痕为BE，点A的对应点为A′．操作二：再将BE折叠到BC边上，折痕为BM，如果这时BE与BC恰好重合（BE＝BC），就说明A4纸是“标准纸”，请你说明理由．（提示：证明BC：AB＝：1）
（2）拓展应用：有一张直角三角形纸片ABC，∠C＝90°，AB＝，BC＝，点D、点E分别为AC、AB边的中点，把它沿DE剪开后，拼成如图2所示的四边形DCBF．求证：四边形纸片DCBF是“标准纸”．
【分析】（1）判定四边形ABA′E是正方形，即可得出BE＝AB，再根据BE＝BC，即可得到＝，进而得出A4纸是“标准纸”．
（2）利用勾股定理以及中点的定义，即可得到DC的长；再判定四边形BCDF是矩形，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
由操作一可知：∠A＝∠EA′B＝∠ABA′＝90°，AB＝A′B，
∴四边形ABA′E是正方形，
∴AB＝AE，
∴BE＝＝AB，
又由操作二可知：BE＝BC，
∴BC＝AB，
∴＝，
∴A4纸是“标准纸”．
（2）证明：在Rt△ABC中，AB＝，BC＝，
∴＝2，
又∵点D，点E分别是AC，AB的中点，
∴DC＝AC＝1，DE∥BC，
又∵∠C＝90°，
∴∠CDE＝∠ADE＝90°，
由题意可知：∠F＝∠ADE＝90°，
∴∠C＝∠CDE＝∠F＝90°，
∴四边形DCBF是矩形，并且，
∴四边形纸片DCBF是“标准纸”．