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2020-2021学年安徽省阜阳市阜南县部分学校七年级（下）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年安徽省阜阳市阜南县部分学校七年级（下）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年安徽省阜阳市阜南县部分学校七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1．（4分）16的平方根是（ ）
A．±4 B．4 C．﹣4 D．±8
2．（4分）在下列四个图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a5 C．（a2）3＝a5 D．a10÷a2＝a5
4．（4分）如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
5．（4分）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由a＞b，得a﹣3＞b﹣3 B．由a＞b，得﹣3a＞﹣3b
C．由a＞b，得|a|＞|b| D．由a＞b，得a2＞b2
6．（4分）据报道，新型冠状病毒的直径约为100纳米，1纳米＝0.000 000 001米，则该病毒的直径用科学记数法表示为（ ）
A．1×10﹣6米 B．1×10﹣7米 C．1×10﹣8米 D．1×10﹣9米
7．（4分）分式的值为0，则y的值是（ ）
A．5 B． C．﹣5 D．0
8．（4分）已知a+b＝﹣5，ab＝﹣4，则a2﹣ab+b2＝（ ）
A．29 B．37 C．21 D．33
9．（4分）将一个长为2a，宽为2b的矩形纸片（a＞b），用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为（ ）
A．a2+b2 B．a2﹣b2 C．（a+b）2 D．（a﹣b）2
10．（4分）如图，已知AD∥EF∥BC，BD∥GF，且BD平分∠ADC，则图中与∠1相等的角（∠1除外）共有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）8的立方根是 ．
12．（5分）分解因式：x3y2﹣x＝ ．
13．（5分）若分式方程的解为正数，则m的取值范围是 ．
14．（5分）已知：AB∥CD，点C在点D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在直线交于点E，∠ADC＝70°．
（1）∠CDE＝ 度；
（2）若∠ABC＝n°，则∠BED的度数是 （用含n的式子表示）．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：|2﹣|+（π﹣3）0﹣（）﹣2﹣．
16．（8分）求不等式组的解集，并在数轴上表示解集．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将△ABC向右平移3单位，再向上平移2个单位得到三角形A1B1C1．
（1）在网格中画出三角形A1B1C1．
（2）A1B1与AB的位置关系 ．
（3）三角形A1B1C1的面积为 ．
18．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝2．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，D，E分别在△ABC的边AB，AC上，F在线段CD上，且∠1+∠2＝180°，DE∥BC．
（1）求证：∠3＝∠B；
（2）若DE平分∠ADC，∠2＝3∠B，求∠1的度数．
20．（10分）定义：一个四位数的自然数，记千位上和十位上的数字之和为x，百位上和个位上的数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“协调数”．
例如：3245，x＝3+4，y＝2+5，因为x＝y，所以3245是“协调数”．
（1）直接写出：最小的“协调数”是 ，最大的“协调数”是 ；
（2）求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是7的倍数的所有“协调数”．
六、（本题满分12分）
21．（12分）某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地，只用燃油行驶，需用燃油76元；从A地到B地，只用电行驶，需用电26元，已知每行驶1千米，只用燃油的费用比只用电的费用多0.5元．
（1）若只用电行驶，每行驶1千米的费用是多少元？
（2）若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少需用电行驶多少千米？
七、（本题满分12分）
22．（12分）已知13＝1＝×12×22，13+23＝9＝×22×32，13+23+33＝36＝×32×42，…，按照这个规律完成下列问题：
（1）13+23+33+43+53＝× 2× 2；
（2）猜想，13+23+33+…n3＝ ；
（3）利用（2）中的结论计算：113+123+133+143+153+163+…+393+403．（写出计算过程）
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）求∠CBD的度数；
（2）当点P运动时，∠APB：∠ADB的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；
（3）当点P运动到某处时，∠ACB＝∠ABD，求此时∠ABC的度数．
2020-2021学年安徽省阜阳市阜南县部分学校七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1．（4分）16的平方根是（ ）
A．±4 B．4 C．﹣4 D．±8
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵（±4）2＝16，
∴16的平方根是±4．
故选：A．
2．（4分）在下列四个图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（ ）
A． B． C． D．
【分析】确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离组成的图形就是经过平移得到的图形．
【解答】解：A、不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不合题意；
B、不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不合题意；
C、是由“基本图案”经过平移得到，故此选项符合题意；
D、不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不合题意；
故选：C．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a5 C．（a2）3＝a5 D．a10÷a2＝a5
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项计算后利用排除法求解．
【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、a2•a3＝a5，正确；
C、应为（a2）3＝a2×3＝a6，故本选项错误；
D、应为a10÷a2＝a10﹣2＝a8，故本选项错误．
故选：B．
4．（4分）如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】先根据平行线的性质求出∠ABD的度数，再由角平分线的定义即可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD
∴∠ABC＝∠1＝50°，∠ABD+∠BDC＝180°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠ABC＝100°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ABD＝80°，
∴∠2＝∠BDC＝80°．
故选：D．
5．（4分）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由a＞b，得a﹣3＞b﹣3 B．由a＞b，得﹣3a＞﹣3b
C．由a＞b，得|a|＞|b| D．由a＞b，得a2＞b2
【分析】利用不等式的性质对各选项进行判断．
【解答】解：A、由a＞b，两边同乘，得到，再两边同减去3，得，符合题意；
B、由a＞b，﹣3＜0，得到＜﹣3b，不符合题意；
C、由a＞b，若a＝2，b＝﹣3时，则|a|＜|b|，不符合题意；
D、由a＞b，若a＝2，b＝﹣3时，则a2＜b2，不符合题意．
故选：A．
6．（4分）据报道，新型冠状病毒的直径约为100纳米，1纳米＝0.000 000 001米，则该病毒的直径用科学记数法表示为（ ）
A．1×10﹣6米 B．1×10﹣7米 C．1×10﹣8米 D．1×10﹣9米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：100纳米×0.000000001＝1×10﹣7（米）．
故选：B．
7．（4分）分式的值为0，则y的值是（ ）
A．5 B． C．﹣5 D．0
【分析】分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．
【解答】解：依题意得：|y|﹣5＝0，且y﹣5≠0．
解得y＝﹣5．
故选：C．
8．（4分）已知a+b＝﹣5，ab＝﹣4，则a2﹣ab+b2＝（ ）
A．29 B．37 C．21 D．33
【分析】把a+b＝5两边平方，利用完全平方公式化简，把ab的值代入计算即可求出a2+b2的值；原式结合后，把各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：把a+b＝5两边平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25，
将ab＝﹣4代入得：a2+b2＝33，
则a2﹣ab+b2＝33﹣（﹣4）＝37．
故选：B．
9．（4分）将一个长为2a，宽为2b的矩形纸片（a＞b），用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为（ ）
A．a2+b2 B．a2﹣b2 C．（a+b）2 D．（a﹣b）2
【分析】由图1得，一个小长方形的长为a，宽为b，由图2得：中间空的部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，代入计算．
【解答】解：中间空的部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，
＝（a+b）2﹣4ab，
＝a2+2ab+b2﹣4ab，
＝（a﹣b）2；
故选：D．
10．（4分）如图，已知AD∥EF∥BC，BD∥GF，且BD平分∠ADC，则图中与∠1相等的角（∠1除外）共有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【分析】依据AD∥EF∥BC，BD∥GF，即可得到∠1＝∠ADB＝∠DBC＝∠FGC＝∠EFG，∠1＝∠EHB，再根据BD平分∠ADC，即可得到∠ADB＝∠CDB＝∠CFG．
【解答】解：∵AD∥EF∥BC，BD∥GF，
∴∠1＝∠ADB＝∠DBC＝∠FGC＝∠EFG，∠1＝∠EHB，
又∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB＝∠CFG，
∴图中与∠1相等的角（∠1除外）共有7个，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）8的立方根是 2 ．
【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果．
【解答】解：8的立方根为2，
故答案为：2．
12．（5分）分解因式：x3y2﹣x＝ x（xy+1）（xy﹣1） ．
【分析】直接提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：x3y2﹣x
＝x（x2y2﹣1）
＝x（xy﹣1）（xy+1）．
故答案为：x（xy﹣1）（xy+1）．
13．（5分）若分式方程的解为正数，则m的取值范围是 m＞1且m≠3 ．
【分析】先解分式方程，用含m的代数式表示x，再根据方程的解为正数，求出m的范围．
【解答】解：原方程可变形为：﹣＝2，
去分母，得m﹣3＝2x﹣2，
整理，得2x＝m﹣1，
所以x＝．
因为方程的解为正数，
所以＞0且≠1．
解得m＞1且m≠3．
故答案为：m＞1且m≠3．
14．（5分）已知：AB∥CD，点C在点D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在直线交于点E，∠ADC＝70°．
（1）∠CDE＝ 35° 度；
（2）若∠ABC＝n°，则∠BED的度数是 （用含n的式子表示）．
【分析】（1）由于DE平分∠ADC，可得∠CDE＝＝35°．
（2）如图，过点E作PQ∥AB，又因为AB∥CD，所以PQ∥CD，那么∠BEP＝∠ABE，∠PED＝∠EDC．欲求∠BED，需求∠ABE和∠EDC．因为BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，所以∠ABE＝＝，∠EDC＝＝35°．
【解答】解：（1）∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝＝35°．
故答案为：35°．
（2）如图，过点E作PQ∥AB．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE＝＝，∠EDC＝＝35°．
∵AB∥CD，AB∥PQ，
∴∠BEP＝∠ABE＝，CD∥PQ．
∴∠DEP＝∠EDC＝35°．
∴∠BED＝∠BEP+∠PED＝．
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：|2﹣|+（π﹣3）0﹣（）﹣2﹣．
【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣2+1﹣4﹣3
＝．
16．（8分）求不等式组的解集，并在数轴上表示解集．
【分析】分别求出每个不等式的解集，再求其公共部分，然后在数轴上表示即可．
【解答】解：，
由①得x≤2，
由②得x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2．
在数轴上表示为：
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将△ABC向右平移3单位，再向上平移2个单位得到三角形A1B1C1．
（1）在网格中画出三角形A1B1C1．
（2）A1B1与AB的位置关系 平行 ．
（3）三角形A1B1C1的面积为 ．
【分析】（1）分别作出三个顶点平移后的对应点，再首尾顺次连接即可得；
（2）根据平移的性质可得；
（3）直接利用三角形的面积公式计算可得．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）由平移的性质知A1B1∥AB，
故答案为：平行；
（3）三角形A1B1C1的面积为×3×3＝，
故答案为：．
18．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝2．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
当x＝2时，原式＝＝1．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，D，E分别在△ABC的边AB，AC上，F在线段CD上，且∠1+∠2＝180°，DE∥BC．
（1）求证：∠3＝∠B；
（2）若DE平分∠ADC，∠2＝3∠B，求∠1的度数．
【分析】（1）利用平行线的判定和性质一一判断即可．
（2）利用角平分线及邻补角的定义、平行线的性质、对顶角性质求解即可．
【解答】解：（1）∵∠1+∠DFE＝180°，∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝∠DFE，
∴AB∥EF，
∴∠3＝∠ADE，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∴∠3＝∠B．
（2）∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠EDC，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠EDC＝∠B，
∵∠2＝3∠B，∠2+∠ADE+∠EDC＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°，
又∵∠3＝∠B，
∴∠1＝∠3+∠EDC＝36°+36°＝72°．
20．（10分）定义：一个四位数的自然数，记千位上和十位上的数字之和为x，百位上和个位上的数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“协调数”．
例如：3245，x＝3+4，y＝2+5，因为x＝y，所以3245是“协调数”．
（1）直接写出：最小的“协调数”是 1001 ，最大的“协调数”是 9999 ；
（2）求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是7的倍数的所有“协调数”．
【分析】（1）根据题意，同时考虑最高位不为0，可得答案；
（2）设这个“和平数”是1000a+100b+10c+d，由已知条件可得2a＝d，b+c＝7k，再分两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）由题意得：最小的“协调数”是1001，最大的“和平数”是9999，
故答案为：1001，9999；
（2）设这个“协调数”是1000a+100b+10c+d，
则d＝2a，a+c＝b+d，b+c＝7k，
∴2b+a＝7k
即a＝1，2，3，4，d＝2，4，6，8，
①当a＝2，d＝2时，2b+1＝7k，1+c＝b+2，
∴c＝4，b＝3；
②当a＝2，d＝4时，2b+2＝7k，2+c＝b+4，
∴c＝8，b＝6；
③当a＝3，d＝6时，2b+3＝7k，3+c＝b+6，
∴c＝5，b＝2；
④当a＝4，d＝8时，2b+4＝7k，4+c＝b+8，
∴c＝9，b＝5；
综上所述，这个数为1342、2684、3256、4598．
六、（本题满分12分）
21．（12分）某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地，只用燃油行驶，需用燃油76元；从A地到B地，只用电行驶，需用电26元，已知每行驶1千米，只用燃油的费用比只用电的费用多0.5元．
（1）若只用电行驶，每行驶1千米的费用是多少元？
（2）若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少需用电行驶多少千米？
【分析】（1）设只用电行驶，每行驶1千米的费用是x元，则只用燃油行驶，每行驶1千米的费用是（x+0.5）元，根据A，B两地间的路程不变，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用A，B两地间的路程＝只用电行驶的总费用÷用电行驶1千米所需费用，可求出A，B两地间的路程，设用电行驶m千米，则用油行驶（100﹣m）千米，根据从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设只用电行驶，每行驶1千米的费用是x元，则只用燃油行驶，每行驶1千米的费用是（x+0.5）元，
依题意得：＝，
解得：x＝0.26，
经检验，x＝0.26是原方程的解，且符合题意．
答：只用电行驶，每行驶1千米的费用是0.26元．
（2）A，B两地间的路程为26÷0.26＝100（千米）．
设用电行驶m千米，则用油行驶（100﹣m）千米，
依题意得：0.26m+（0.26+0.5）（100﹣m）≤39，
解得：m≥74．
答：至少需用电行驶74千米．
七、（本题满分12分）
22．（12分）已知13＝1＝×12×22，13+23＝9＝×22×32，13+23+33＝36＝×32×42，…，按照这个规律完成下列问题：
（1）13+23+33+43+53＝× 5 2× 6 2；
（2）猜想，13+23+33+…n3＝ ×n2×（n+1）2 ；
（3）利用（2）中的结论计算：113+123+133+143+153+163+…+393+403．（写出计算过程）
【分析】（1）根据题目提供的三个算式利用类比法可以得到13+23+33+43+53的结果；
（2）根据上面的四个算式总结得到规律13+23+33+…+n3＝×n2×（n+1）2；
（3）113+123+313+143+153+163+…+393+403转化为13+23+33+…+393+403﹣（13+23+33+…+103）后利用总结的规律即可求得答案．
【解答】解：（1）13+23+33+43+53＝225＝×52×62，
故答案为：5，6；
（2）猜想：13+23+33+…+n3＝×n2×（n+1）2，
理由：∵13＝1＝×12×（1+1）2，
13+23＝9＝×22×（2+1）2，
13+23+33＝36＝×32×（3+1）2，
…，
则13+23+33+…n3＝×n2×（n+1）2，
故答案为：×n2×（n+1）2，
（3）利用（2）中的结论计算：
113+123+133+143+153+163+…+393+403
＝13+23+33+…+393+403﹣（13+23+33+…+103）
＝×402×412﹣×102×112
＝672400﹣3025
＝669375．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）求∠CBD的度数；
（2）当点P运动时，∠APB：∠ADB的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；
（3）当点P运动到某处时，∠ACB＝∠ABD，求此时∠ABC的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义只要证明∠CBD＝∠ABN即可；
（2）不变．可以证明∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN＝∠PBN；
（3）想办法证明∠ABC＝∠CBP＝∠DBP＝∠DBN即可解决问题；
【解答】解：（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN＝180°﹣∠A＝120°，
又∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝（∠ABP+∠PBN）＝∠ABN＝60°．
（2）不变．理由如下：
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
又∵BD平分∠PBN，
∴∠ADB＝∠DBN＝∠PBN＝∠APB，即∠APB：∠ADB＝2：1．
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
又∵∠ACB＝∠ABD，
∴∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝∠CBN﹣∠CBD＝∠DBN，
∴∠ABC＝∠CBP＝∠DBP＝∠DBN，
∴∠ABC＝∠ABN＝30°．
2020-2021学年安徽省阜阳市阜南县部分学校七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1．（4分）16的平方根是（ ）
A．±4 B．4 C．﹣4 D．±8
2．（4分）在下列四个图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a5 C．（a2）3＝a5 D．a10÷a2＝a5
4．（4分）如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
5．（4分）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由a＞b，得a﹣3＞b﹣3 B．由a＞b，得﹣3a＞﹣3b
C．由a＞b，得|a|＞|b| D．由a＞b，得a2＞b2
6．（4分）据报道，新型冠状病毒的直径约为100纳米，1纳米＝0.000 000 001米，则该病毒的直径用科学记数法表示为（ ）
A．1×10﹣6米 B．1×10﹣7米 C．1×10﹣8米 D．1×10﹣9米
7．（4分）分式的值为0，则y的值是（ ）
A．5 B． C．﹣5 D．0
8．（4分）已知a+b＝﹣5，ab＝﹣4，则a2﹣ab+b2＝（ ）
A．29 B．37 C．21 D．33
9．（4分）将一个长为2a，宽为2b的矩形纸片（a＞b），用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为（ ）
A．a2+b2 B．a2﹣b2 C．（a+b）2 D．（a﹣b）2
10．（4分）如图，已知AD∥EF∥BC，BD∥GF，且BD平分∠ADC，则图中与∠1相等的角（∠1除外）共有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）8的立方根是 ．
12．（5分）分解因式：x3y2﹣x＝ ．
13．（5分）若分式方程的解为正数，则m的取值范围是 ．
14．（5分）已知：AB∥CD，点C在点D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在直线交于点E，∠ADC＝70°．
（1）∠CDE＝ 度；
（2）若∠ABC＝n°，则∠BED的度数是 （用含n的式子表示）．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：|2﹣|+（π﹣3）0﹣（）﹣2﹣．
16．（8分）求不等式组的解集，并在数轴上表示解集．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将△ABC向右平移3单位，再向上平移2个单位得到三角形A1B1C1．
（1）在网格中画出三角形A1B1C1．
（2）A1B1与AB的位置关系 ．
（3）三角形A1B1C1的面积为 ．
18．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝2．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，D，E分别在△ABC的边AB，AC上，F在线段CD上，且∠1+∠2＝180°，DE∥BC．
（1）求证：∠3＝∠B；
（2）若DE平分∠ADC，∠2＝3∠B，求∠1的度数．
20．（10分）定义：一个四位数的自然数，记千位上和十位上的数字之和为x，百位上和个位上的数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“协调数”．
例如：3245，x＝3+4，y＝2+5，因为x＝y，所以3245是“协调数”．
（1）直接写出：最小的“协调数”是 ，最大的“协调数”是 ；
（2）求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是7的倍数的所有“协调数”．
六、（本题满分12分）
21．（12分）某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地，只用燃油行驶，需用燃油76元；从A地到B地，只用电行驶，需用电26元，已知每行驶1千米，只用燃油的费用比只用电的费用多0.5元．
（1）若只用电行驶，每行驶1千米的费用是多少元？
（2）若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少需用电行驶多少千米？
七、（本题满分12分）
22．（12分）已知13＝1＝×12×22，13+23＝9＝×22×32，13+23+33＝36＝×32×42，…，按照这个规律完成下列问题：
（1）13+23+33+43+53＝× 2× 2；
（2）猜想，13+23+33+…n3＝ ；
（3）利用（2）中的结论计算：113+123+133+143+153+163+…+393+403．（写出计算过程）
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）求∠CBD的度数；
（2）当点P运动时，∠APB：∠ADB的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；
（3）当点P运动到某处时，∠ACB＝∠ABD，求此时∠ABC的度数．
2020-2021学年安徽省阜阳市阜南县部分学校七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1．（4分）16的平方根是（ ）
A．±4 B．4 C．﹣4 D．±8
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵（±4）2＝16，
∴16的平方根是±4．
故选：A．
2．（4分）在下列四个图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（ ）
A． B． C． D．
【分析】确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离组成的图形就是经过平移得到的图形．
【解答】解：A、不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不合题意；
B、不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不合题意；
C、是由“基本图案”经过平移得到，故此选项符合题意；
D、不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不合题意；
故选：C．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a5 C．（a2）3＝a5 D．a10÷a2＝a5
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项计算后利用排除法求解．
【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、a2•a3＝a5，正确；
C、应为（a2）3＝a2×3＝a6，故本选项错误；
D、应为a10÷a2＝a10﹣2＝a8，故本选项错误．
故选：B．
4．（4分）如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】先根据平行线的性质求出∠ABD的度数，再由角平分线的定义即可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD
∴∠ABC＝∠1＝50°，∠ABD+∠BDC＝180°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠ABC＝100°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ABD＝80°，
∴∠2＝∠BDC＝80°．
故选：D．
5．（4分）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由a＞b，得a﹣3＞b﹣3 B．由a＞b，得﹣3a＞﹣3b
C．由a＞b，得|a|＞|b| D．由a＞b，得a2＞b2
【分析】利用不等式的性质对各选项进行判断．
【解答】解：A、由a＞b，两边同乘，得到，再两边同减去3，得，符合题意；
B、由a＞b，﹣3＜0，得到＜﹣3b，不符合题意；
C、由a＞b，若a＝2，b＝﹣3时，则|a|＜|b|，不符合题意；
D、由a＞b，若a＝2，b＝﹣3时，则a2＜b2，不符合题意．
故选：A．
6．（4分）据报道，新型冠状病毒的直径约为100纳米，1纳米＝0.000 000 001米，则该病毒的直径用科学记数法表示为（ ）
A．1×10﹣6米 B．1×10﹣7米 C．1×10﹣8米 D．1×10﹣9米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：100纳米×0.000000001＝1×10﹣7（米）．
故选：B．
7．（4分）分式的值为0，则y的值是（ ）
A．5 B． C．﹣5 D．0
【分析】分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．
【解答】解：依题意得：|y|﹣5＝0，且y﹣5≠0．
解得y＝﹣5．
故选：C．
8．（4分）已知a+b＝﹣5，ab＝﹣4，则a2﹣ab+b2＝（ ）
A．29 B．37 C．21 D．33
【分析】把a+b＝5两边平方，利用完全平方公式化简，把ab的值代入计算即可求出a2+b2的值；原式结合后，把各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：把a+b＝5两边平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25，
将ab＝﹣4代入得：a2+b2＝33，
则a2﹣ab+b2＝33﹣（﹣4）＝37．
故选：B．
9．（4分）将一个长为2a，宽为2b的矩形纸片（a＞b），用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为（ ）
A．a2+b2 B．a2﹣b2 C．（a+b）2 D．（a﹣b）2
【分析】由图1得，一个小长方形的长为a，宽为b，由图2得：中间空的部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，代入计算．
【解答】解：中间空的部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，
＝（a+b）2﹣4ab，
＝a2+2ab+b2﹣4ab，
＝（a﹣b）2；
故选：D．
10．（4分）如图，已知AD∥EF∥BC，BD∥GF，且BD平分∠ADC，则图中与∠1相等的角（∠1除外）共有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【分析】依据AD∥EF∥BC，BD∥GF，即可得到∠1＝∠ADB＝∠DBC＝∠FGC＝∠EFG，∠1＝∠EHB，再根据BD平分∠ADC，即可得到∠ADB＝∠CDB＝∠CFG．
【解答】解：∵AD∥EF∥BC，BD∥GF，
∴∠1＝∠ADB＝∠DBC＝∠FGC＝∠EFG，∠1＝∠EHB，
又∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB＝∠CFG，
∴图中与∠1相等的角（∠1除外）共有7个，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）8的立方根是 2 ．
【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果．
【解答】解：8的立方根为2，
故答案为：2．
12．（5分）分解因式：x3y2﹣x＝ x（xy+1）（xy﹣1） ．
【分析】直接提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：x3y2﹣x
＝x（x2y2﹣1）
＝x（xy﹣1）（xy+1）．
故答案为：x（xy﹣1）（xy+1）．
13．（5分）若分式方程的解为正数，则m的取值范围是 m＞1且m≠3 ．
【分析】先解分式方程，用含m的代数式表示x，再根据方程的解为正数，求出m的范围．
【解答】解：原方程可变形为：﹣＝2，
去分母，得m﹣3＝2x﹣2，
整理，得2x＝m﹣1，
所以x＝．
因为方程的解为正数，
所以＞0且≠1．
解得m＞1且m≠3．
故答案为：m＞1且m≠3．
14．（5分）已知：AB∥CD，点C在点D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在直线交于点E，∠ADC＝70°．
（1）∠CDE＝ 35° 度；
（2）若∠ABC＝n°，则∠BED的度数是 （用含n的式子表示）．
【分析】（1）由于DE平分∠ADC，可得∠CDE＝＝35°．
（2）如图，过点E作PQ∥AB，又因为AB∥CD，所以PQ∥CD，那么∠BEP＝∠ABE，∠PED＝∠EDC．欲求∠BED，需求∠ABE和∠EDC．因为BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，所以∠ABE＝＝，∠EDC＝＝35°．
【解答】解：（1）∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝＝35°．
故答案为：35°．
（2）如图，过点E作PQ∥AB．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE＝＝，∠EDC＝＝35°．
∵AB∥CD，AB∥PQ，
∴∠BEP＝∠ABE＝，CD∥PQ．
∴∠DEP＝∠EDC＝35°．
∴∠BED＝∠BEP+∠PED＝．
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：|2﹣|+（π﹣3）0﹣（）﹣2﹣．
【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣2+1﹣4﹣3
＝．
16．（8分）求不等式组的解集，并在数轴上表示解集．
【分析】分别求出每个不等式的解集，再求其公共部分，然后在数轴上表示即可．
【解答】解：，
由①得x≤2，
由②得x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2．
在数轴上表示为：
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将△ABC向右平移3单位，再向上平移2个单位得到三角形A1B1C1．
（1）在网格中画出三角形A1B1C1．
（2）A1B1与AB的位置关系 平行 ．
（3）三角形A1B1C1的面积为 ．
【分析】（1）分别作出三个顶点平移后的对应点，再首尾顺次连接即可得；
（2）根据平移的性质可得；
（3）直接利用三角形的面积公式计算可得．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）由平移的性质知A1B1∥AB，
故答案为：平行；
（3）三角形A1B1C1的面积为×3×3＝，
故答案为：．
18．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝2．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
当x＝2时，原式＝＝1．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，D，E分别在△ABC的边AB，AC上，F在线段CD上，且∠1+∠2＝180°，DE∥BC．
（1）求证：∠3＝∠B；
（2）若DE平分∠ADC，∠2＝3∠B，求∠1的度数．
【分析】（1）利用平行线的判定和性质一一判断即可．
（2）利用角平分线及邻补角的定义、平行线的性质、对顶角性质求解即可．
【解答】解：（1）∵∠1+∠DFE＝180°，∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝∠DFE，
∴AB∥EF，
∴∠3＝∠ADE，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∴∠3＝∠B．
（2）∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠EDC，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠EDC＝∠B，
∵∠2＝3∠B，∠2+∠ADE+∠EDC＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°，
又∵∠3＝∠B，
∴∠1＝∠3+∠EDC＝36°+36°＝72°．
20．（10分）定义：一个四位数的自然数，记千位上和十位上的数字之和为x，百位上和个位上的数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“协调数”．
例如：3245，x＝3+4，y＝2+5，因为x＝y，所以3245是“协调数”．
（1）直接写出：最小的“协调数”是 1001 ，最大的“协调数”是 9999 ；
（2）求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是7的倍数的所有“协调数”．
【分析】（1）根据题意，同时考虑最高位不为0，可得答案；
（2）设这个“和平数”是1000a+100b+10c+d，由已知条件可得2a＝d，b+c＝7k，再分两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）由题意得：最小的“协调数”是1001，最大的“和平数”是9999，
故答案为：1001，9999；
（2）设这个“协调数”是1000a+100b+10c+d，
则d＝2a，a+c＝b+d，b+c＝7k，
∴2b+a＝7k
即a＝1，2，3，4，d＝2，4，6，8，
①当a＝2，d＝2时，2b+1＝7k，1+c＝b+2，
∴c＝4，b＝3；
②当a＝2，d＝4时，2b+2＝7k，2+c＝b+4，
∴c＝8，b＝6；
③当a＝3，d＝6时，2b+3＝7k，3+c＝b+6，
∴c＝5，b＝2；
④当a＝4，d＝8时，2b+4＝7k，4+c＝b+8，
∴c＝9，b＝5；
综上所述，这个数为1342、2684、3256、4598．
六、（本题满分12分）
21．（12分）某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地，只用燃油行驶，需用燃油76元；从A地到B地，只用电行驶，需用电26元，已知每行驶1千米，只用燃油的费用比只用电的费用多0.5元．
（1）若只用电行驶，每行驶1千米的费用是多少元？
（2）若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少需用电行驶多少千米？
【分析】（1）设只用电行驶，每行驶1千米的费用是x元，则只用燃油行驶，每行驶1千米的费用是（x+0.5）元，根据A，B两地间的路程不变，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用A，B两地间的路程＝只用电行驶的总费用÷用电行驶1千米所需费用，可求出A，B两地间的路程，设用电行驶m千米，则用油行驶（100﹣m）千米，根据从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设只用电行驶，每行驶1千米的费用是x元，则只用燃油行驶，每行驶1千米的费用是（x+0.5）元，
依题意得：＝，
解得：x＝0.26，
经检验，x＝0.26是原方程的解，且符合题意．
答：只用电行驶，每行驶1千米的费用是0.26元．
（2）A，B两地间的路程为26÷0.26＝100（千米）．
设用电行驶m千米，则用油行驶（100﹣m）千米，
依题意得：0.26m+（0.26+0.5）（100﹣m）≤39，
解得：m≥74．
答：至少需用电行驶74千米．
七、（本题满分12分）
22．（12分）已知13＝1＝×12×22，13+23＝9＝×22×32，13+23+33＝36＝×32×42，…，按照这个规律完成下列问题：
（1）13+23+33+43+53＝× 5 2× 6 2；
（2）猜想，13+23+33+…n3＝ ×n2×（n+1）2 ；
（3）利用（2）中的结论计算：113+123+133+143+153+163+…+393+403．（写出计算过程）
【分析】（1）根据题目提供的三个算式利用类比法可以得到13+23+33+43+53的结果；
（2）根据上面的四个算式总结得到规律13+23+33+…+n3＝×n2×（n+1）2；
（3）113+123+313+143+153+163+…+393+403转化为13+23+33+…+393+403﹣（13+23+33+…+103）后利用总结的规律即可求得答案．
【解答】解：（1）13+23+33+43+53＝225＝×52×62，
故答案为：5，6；
（2）猜想：13+23+33+…+n3＝×n2×（n+1）2，
理由：∵13＝1＝×12×（1+1）2，
13+23＝9＝×22×（2+1）2，
13+23+33＝36＝×32×（3+1）2，
…，
则13+23+33+…n3＝×n2×（n+1）2，
故答案为：×n2×（n+1）2，
（3）利用（2）中的结论计算：
113+123+133+143+153+163+…+393+403
＝13+23+33+…+393+403﹣（13+23+33+…+103）
＝×402×412﹣×102×112
＝672400﹣3025
＝669375．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）求∠CBD的度数；
（2）当点P运动时，∠APB：∠ADB的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；
（3）当点P运动到某处时，∠ACB＝∠ABD，求此时∠ABC的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义只要证明∠CBD＝∠ABN即可；
（2）不变．可以证明∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN＝∠PBN；
（3）想办法证明∠ABC＝∠CBP＝∠DBP＝∠DBN即可解决问题；
【解答】解：（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN＝180°﹣∠A＝120°，
又∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝（∠ABP+∠PBN）＝∠ABN＝60°．
（2）不变．理由如下：
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
又∵BD平分∠PBN，
∴∠ADB＝∠DBN＝∠PBN＝∠APB，即∠APB：∠ADB＝2：1．
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
又∵∠ACB＝∠ABD，
∴∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝∠CBN﹣∠CBD＝∠DBN，
∴∠ABC＝∠CBP＝∠DBP＝∠DBN，
∴∠ABC＝∠ABN＝30°．
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