初中数学12.3 角的平分线的性质教案设计

这是一份初中数学12.3 角的平分线的性质教案设计，共4页。教案主要包含了作已知角的平分线，角平分线的性质等内容，欢迎下载使用。


课题
12.3 角的平分线的性质
教学
目标
1．会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性．
2．探索并证明角的平分线的性质．
3．能用角的平分线的性质解决简单问题．
教学
重点
角平分线的性质定理，逆定理及它们的应用．
教学
难点
角平分线定理和逆定理的应用．
教学
过程
教 学 内 容 与 师 生 活 动
设计意图和
关注的学生
一、作已知角的平分线
1．平分角的仪器
右图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线．你能说明它的道理吗？
2．角平分线的画法
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．
（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．
（3）作射线OC，射线OC即为所求（下图）．

二、角平分线的性质
1.如下图，让学生任意作一个角∠AOB，作出∠AOB 的平分线OC，在OC 上任取一点P，过点P 画出OA，OB 的垂线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE 并作比较，你得到什么结论？

角平分线有以下性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2.如上图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．求证：PD＝PE．
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°．
在△PDO和△PEO中，
∠PDO＝∠PEO，∠AOC＝∠BOC，OP＝OP，
∴ △PDO≌△PEO（AAS）．
∴ PD＝PE．
数学语言：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，点P在∠AOB的平分线上（已知），∴ PD＝PE．
例1. 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．

证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足分别为D、E、F．
∵ BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．
∴ PD＝PE．
同理 PE＝PF，
∴ PD＝PE＝PF．
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
例2. 已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M，
∵ 点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC，
∴ FG＝FM．
又∵ 点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC，
∴ FM＝FH．
∴ FG＝FH．
∴ 点F在∠DAE的平分线上．
课堂练习：
1. 如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O，若∠1=∠2，求证：OB=OC.



2.已知如图：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，
PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，
求证：PD=PE



3.如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边的距离相等


4. 如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O，若∠1=∠2，
求证：OB=OC.



5. 如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF，求证：CF=EB．
板
书
设
计
一、作已知角的平分线
二、角平分线的性质
教
学
反
思