2020-2021学年安徽省蚌埠市八年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年安徽省蚌埠市八年级（下）期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了精心选一选，耐心填一填，用心想一想等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列各式中，与的积为有理数的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2﹣1＝0B．x2+4x＝4C．x2+1＝2xD．x2﹣3x＝0
3．（3分）可以作为某一个多边形内角和度数的是（ ）
A．320°B．720°C．1000°D．2180°
4．（3分）以下长度的线段可以构成直角三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，5cmB．2cm，3cm，4cm
C．cm，3cm，5cmD．1cm，cm，cm
5．（3分）小明用手机软件记录了最近30天的运动步数，并将记录结果制作成了如下统计表：
在每天所走的步数中，众数和中位数分别是（ ）
A．1.3，1.3B．1.4，1.3C．1.4，1.4D．1.3，1.4
6．（3分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）
A．13B．26C．34D．47
7．（3分）随着安徽自贸区科创优势、产业优势和区位优势的进一步发挥，省内经济汇聚了新的发展动能，自贸区蚌埠片区的一家硅基新材料企业2021年1月份产值1千万，2021年第一季度总产值5千万，若该企业2021年第一季度月产值的平均增长率为x，则以下方程符合题意的是（ ）
A．1+x＝5B．（1+x）2＝5
C．1+（1+x）+（1+x）2＝5D．1+（1+x）2＝5
8．（3分）已知关于x的一元二次方程2x2﹣8x+m＝0有一个根是x1＝3，则另一个根x2是（ ）
A．﹣5B．﹣3C．1D．2
9．（3分）如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是（ ）
A．AB＝CD，AB⊥CDB．AB＝CD，AD＝BC
C．AB＝CD，AC⊥BDD．AB＝CD，AD∥BC
10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，点E为AB的中点，点F为EC上一个动点，点P为DF的中点，连接PB．若PB的最小值为5，则AD的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
二、耐心填一填：（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案直接填在答题卷相应横线上）
11．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（4分）若一个正多边形的一个内角的度数是它相邻外角度数的3倍，则这个正多边形的边数为 ．
13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0（m＞0）的一个根比另一个根大2，则m的值为 ．
14．（4分）如图，在▱ABCD中，点E在对角线AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAE的大小是 ．
15．（4分）如图，点E为正方形ABCD的边DA的延长线上一点，以BE为边在BE的另一侧作正方形BEFG，连接CG，已知AB＝15，BE＝17．
（1）线段AE的长为 ；
（2）△BCG的面积为 ．
三、用心想一想：（本大题是解答题，共6小题，满分70分，解答应写出说明文字、演算式等步骤）
16．（10分）（1）计算：﹣4+；
（2）解方程：2x2﹣5x﹣3＝0．
17．（10分）已知关于x的一元二次方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0．
（1）求证：无论m为任意实数，方程总有实数根；
（2）如果这个方程的根的判别式的值等于2，求m的值．
18．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求BD的长．
19．（12分）蚌埠市某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元．为了合理定价，现将该工艺品投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过75元．
（1）若销售单价为每件70元，求每天的销售利润；
（2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，每件工艺品的售价应为多少元？
20．（14分）为庆祝中国共产党建党100周年，某区组织了学生参加党史知识竞赛，并从中抽取了200名学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，根据成绩分成如下5组：A．50.5～60.5，B．60.5～70.5，C．70.5～80.5，D．80.5～90.5，E.90.5～100.5．并绘制成两个统计图．
（1）频数分布直方图中的a＝ ，b＝ ；
（2）在扇形统计图中，D组所对应扇形的圆心角为n°，求n的值；
（3）求E组共有多少人？该区共有1200名学生参加党史知识竞赛，如果设定获得一等奖的分数不低于91分，那么请你通过计算估计全区获得一等奖的人数是多少？
21．（14分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．点D是边BC上一点，△BDE是等边三角形，四边形CDEF是平行四边形．
（1）如图1，若点D是BC中点，求证：四边形BDFE是菱形；
（2）一般的，设DF与CE相交于点G，如图2，连接AD，AC，AF．
①证明：AD＝AF；
②求∠DAG的大小．
2020-2021学年安徽省蚌埠市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选一选：（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的A，B，C，D四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卷上将正确答案的字母代号涂黑）
1．（3分）下列各式中，与的积为有理数的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】将、、、进行化简，再进行判断即可．
【解答】解：因为＝2，＝2，＝2，＝3，
所以与为同类二次根式的是，
故选：A．
2．（3分）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2﹣1＝0B．x2+4x＝4C．x2+1＝2xD．x2﹣3x＝0
【分析】判断上述方程的根的情况，只要计算出判别式△＝b2﹣4ac的值就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程．
【解答】解：A、Δ＝0﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，此方程有两个不相等的实数根；
B、Δ＝42﹣4×1×0＝1＞0，此方程有两个不相等的实数根；
C、方程整理得，x2﹣2x+1＝0，
Δ＝22﹣4×1×1＝0，此方程有两个相等的实数根；
D、Δ＝（﹣3）2﹣4×1×0＝5＞0，此方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
3．（3分）可以作为某一个多边形内角和度数的是（ ）
A．320°B．720°C．1000°D．2180°
【分析】根据多边形的内角和公式得出多边形内角和一定是180的倍数，再根据各选项给出的数据找出是180的倍数的数，即可得出答案．
【解答】解：∵多边形内角和公式为（n﹣2）×180，
∴多边形内角和一定是180的倍数，
∵720°＝4×180°，
故选：B．
4．（3分）以下长度的线段可以构成直角三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，5cmB．2cm，3cm，4cm
C．cm，3cm，5cmD．1cm，cm，cm
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、12+22≠52，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、（）2+32≠52，不能构成直角三角形，故不符合题意；
D、12+（）2＝（）2，能构成直角三角形，故符合题意．
故选：D．
5．（3分）小明用手机软件记录了最近30天的运动步数，并将记录结果制作成了如下统计表：
在每天所走的步数中，众数和中位数分别是（ ）
A．1.3，1.3B．1.4，1.3C．1.4，1.4D．1.3，1.4
【分析】根据题意先求出a的值，在这组数据中出现次数最多的是1.4，得到这组数据的众数．把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个数的平均数是中位数，
【解答】解：∵共记录了最近30天的运动步数，
∴a＝30﹣3﹣9﹣5﹣2＝11，
∴在这组数据中出现次数最多的是1.4万步，即众数是1.4．
把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个两个数的平均数是（1.3+1.3）÷2＝1.3（万步），
所以中位数是1.35万步，
故选：B．
6．（3分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）
A．13B．26C．34D．47
【分析】根据勾股定理分别求出F、G的面积，再根据勾股定理计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，正方形F的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积＝32+52＝34，
同理，正方形G的面积＝正方形C的面积+正方形D的面积＝22+32＝13，
∴正方形E的面积＝正方形F的面积+正方形G的面积＝47，
故选：D．
7．（3分）随着安徽自贸区科创优势、产业优势和区位优势的进一步发挥，省内经济汇聚了新的发展动能，自贸区蚌埠片区的一家硅基新材料企业2021年1月份产值1千万，2021年第一季度总产值5千万，若该企业2021年第一季度月产值的平均增长率为x，则以下方程符合题意的是（ ）
A．1+x＝5B．（1+x）2＝5
C．1+（1+x）+（1+x）2＝5D．1+（1+x）2＝5
【分析】设平均每月增长的百分率为x，根据新材料企业2021年1月份产值1千万，2021年第一季度总产值5千万，可列方程求解．
【解答】解：设平均每月增长的百分率为x，
1+（1+x）+（1+x）2＝5．
故选：C．
8．（3分）已知关于x的一元二次方程2x2﹣8x+m＝0有一个根是x1＝3，则另一个根x2是（ ）
A．﹣5B．﹣3C．1D．2
【分析】利用根与系数的关系得到3+x2＝4，然后解一次方程即可．
【解答】解：设另一个根为x2，
根据题意得x1+x2＝﹣＝4，
即3+x2＝4，
所以x2＝1．
故选：C．
9．（3分）如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是（ ）
A．AB＝CD，AB⊥CDB．AB＝CD，AD＝BC
C．AB＝CD，AC⊥BDD．AB＝CD，AD∥BC
【分析】证出EN、NF、FM、ME分别是△ABD、△BCD、△ABC、△ACD的中位线，得出EN∥AB∥FM，ME∥CD∥NF，EN＝AB＝FM，ME＝CD＝NF，证出四边形EMFN为平行四边形，当AB＝CD时，EN＝FM＝ME＝NF，得出平行四边形EMFN是菱形；当AB⊥CD时，EN⊥ME，则∠MEN＝90°，即可得出菱形EMFN是正方形．
【解答】解：∵点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，
∴EN、NF、FM、ME分别是△ABD、△BCD、△ABC、△ACD的中位线，
∴EN∥AB∥FM，ME∥CD∥NF，EN＝AB＝FM，ME＝CD＝NF，
∴四边形EMFN为平行四边形，
当AB＝CD时，EN＝FM＝ME＝NF，
∴平行四边形EMFN是菱形；
当AB⊥CD时，EN⊥ME，
则∠MEN＝90°，
∴菱形EMFN是正方形；
故选：A．
10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，点E为AB的中点，点F为EC上一个动点，点P为DF的中点，连接PB．若PB的最小值为5，则AD的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】F点在运动时，P点轨迹为平行EC的线段，BP最短为点到直线的最短距离．
【解答】解：当F运动时，P点轨迹为GH，如图，
，
∵AB：AD＝2：1，
∴AD＝AE＝EB＝BC，
∴∠ADE＝∠DEA＝∠CEB＝∠ECB＝45°，
∴∠DEC＝90°，
BP的最距离为BP⊥GH时，此时P点与H点重合，F点与C点重合．
∵H为CD中点，
∴CH＝CB，∠GHB＝90°，
在Rt△HCB中，BH＝5，
∴CH＝CB＝5，
故选：A．
二、耐心填一填：（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案直接填在答题卷相应横线上）
11．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 x≤2021 ．
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：二次根式有意义，
则2021﹣x≥0，
解得：x≤2021．
故答案为：x≤2021．
12．（4分）若一个正多边形的一个内角的度数是它相邻外角度数的3倍，则这个正多边形的边数为 8 ．
【分析】首先设正多边形的一个内角等于x°，由在正多边形中，一个内角的度数恰好等于它相邻外角的度数的3倍，即可得方程：x＝3（180﹣x），解此方程即可求得答案．
【解答】解：设正多边形的一个内角等于x°，
∵一个内角的度数恰好等于它相邻的外角的度数的3倍，
∴x＝3（180﹣x），
解得：x＝135，
外角度数是180°﹣135°＝45°，
∴这个多边形的边数是：360°÷45°＝8．
故答案为：8．
13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0（m＞0）的一个根比另一个根大2，则m的值为 1 ．
【分析】设方程的两根分别为t，t+2，利用根与系数的关系得到t+t+2＝4m，t（t+2）＝3m2，利用代入消元法得到（2m﹣1）（2m+1）＝3m2，然后解关于m的方程得到满足条件的m的值．
【解答】解：设方程的两根分别为t，t+2，
根据题意得t+t+2＝4m，t（t+2）＝3m2，
把t＝2m﹣1代入t（t+2）＝3m2得（2m﹣1）（2m+1）＝3m2，
整理得m2﹣1＝0，解得m＝1或m＝﹣1（舍去），
所以m的值为1．
法二：∵x2﹣4mx+3m2＝（x﹣m）（x﹣3m），
∴关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0（m＞0）的两根分别为x1＝m，x2＝3m，且x2＞x1，
∴x2﹣x1＝2m＝2，
∴m＝1，
故答案为1．
14．（4分）如图，在▱ABCD中，点E在对角线AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAE的大小是 26° ．
【分析】根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB＝2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，
∵AD＝AE＝BE，
∴BC＝AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，
∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，
∴∠ACB＝2∠CAB，
∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣102°＝78°，
∴∠BAE＝26°，
故答案为：26°．
15．（4分）如图，点E为正方形ABCD的边DA的延长线上一点，以BE为边在BE的另一侧作正方形BEFG，连接CG，已知AB＝15，BE＝17．
（1）线段AE的长为 8 ；
（2）△BCG的面积为 60 ．
【分析】（1）在Rt△ABE中，用勾股定理直接可求；
（2）延长GB交CD于点H，证明△ABE≌△CBH（ASA），可得B是GH的中点，则△BCG的面积＝△BCH的面积△BAE的面积，求出△BAE的面积即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABE中，AE2＝BE2﹣AB2，
∴AE＝8，
故答案为8；
（2）延长GB交CD于点H，
∵GB⊥EB，
∴∠EBH＝90°，
∵∠EBA+∠ABH＝90°，∠ABH+∠CBH＝90°，
∴∠EBA＝∠CBH，
∵BC＝AB，∠EAB＝∠BCH，
∴△ABE≌△CBH（ASA），
∴EB＝BH，
∴B是GH的中点，
∴△BCG的面积＝△BCH的面积＝△BAE的面积＝×AE×AB＝×8×15＝60，
故答案为60．
三、用心想一想：（本大题是解答题，共6小题，满分70分，解答应写出说明文字、演算式等步骤）
16．（10分）（1）计算：﹣4+；
（2）解方程：2x2﹣5x﹣3＝0．
【分析】（1）先化成最简二次根式，再算加减即可；
（2）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：（1）原式＝8﹣2+2
＝10﹣2；
（2）2x2﹣5x﹣3＝0，
（2x+1）（x﹣3）＝0，
2x+1＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝3．
17．（10分）已知关于x的一元二次方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0．
（1）求证：无论m为任意实数，方程总有实数根；
（2）如果这个方程的根的判别式的值等于2，求m的值．
【分析】（1）先计算判别式的值得到Δ＝m2﹣2m+1，配方得Δ＝（m﹣1）2，再根据非负数的性质得到Δ≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论．
（2）利用判别式的定义得到Δ＝（m﹣1）2＝2，解m的方程，再利用一元二次方程的定义确定m＝1．
【解答】解：（1）关于x的一元二次方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0．
∵△＝（5m﹣1）2﹣8m（3m﹣1）＝（m﹣1）2≥0，
∴无论m为任何实数，方程总有实根．
（2）由题意得，Δ＝（m﹣1）2＝2，
解得m＝1±．
18．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求BD的长．
【分析】（1）根据菱形的性质得BD⊥AC，OB＝OD，再由三角形中位线定理得OE∥FG，得四边形OEFG是平行四边形，然后证∠EFG＝90°，即可得出结论；
（2）由三角形的中位线定理得，再由矩形的性质得FG＝OE＝5，OG＝EF＝4，∠OGF＝90°，然后由勾股定理求出OB的长，即可得出BD的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，OB＝OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥AB，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴四边形OEFG是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝10，
由（1）得：，四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝5，OG＝EF＝4，∠OGF＝90°，
∵E是AD的中点，
∴AE＝AD＝5，
在Rt△AFE中，由勾股定理得：AF＝＝＝3，
∴BG＝10﹣5﹣3＝2，
∵∠OGB＝180°﹣90°＝90°，
∴OB＝＝＝2，
∴BD＝2OB＝4．
19．（12分）蚌埠市某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元．为了合理定价，现将该工艺品投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过75元．
（1）若销售单价为每件70元，求每天的销售利润；
（2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，每件工艺品的售价应为多少元？
【分析】（1）利用每天的销售利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可求出结论；
（2）设每件工艺品的售价应为x元，则每件工艺品的销售利润为（x﹣40）元，每天的销售量为（200﹣2x）件，利用每天的销售利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：（1）（70﹣40）×[100﹣2×（70﹣50）]
＝30×[100﹣2×20]
＝30×[100﹣40]
＝30×60
＝1800（元）．
答：当销售单价为每件70元时，每天的销售利润为1800元．
（2）设每件工艺品的售价应为x元，则每件工艺品的销售利润为（x﹣40）元，每天的销售量为100﹣2（x﹣50）＝（200﹣2x）件，
依题意得：（x﹣40）（200﹣2x）＝1350，
整理得：x2﹣140x+4675＝0，
解得：x1＝55，x2＝85（不合题意，舍去）．
答：每件工艺品的售价应为55元．
20．（14分）为庆祝中国共产党建党100周年，某区组织了学生参加党史知识竞赛，并从中抽取了200名学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，根据成绩分成如下5组：A．50.5～60.5，B．60.5～70.5，C．70.5～80.5，D．80.5～90.5，E.90.5～100.5．并绘制成两个统计图．
（1）频数分布直方图中的a＝ 16 ，b＝ 40 ；
（2）在扇形统计图中，D组所对应扇形的圆心角为n°，求n的值；
（3）求E组共有多少人？该区共有1200名学生参加党史知识竞赛，如果设定获得一等奖的分数不低于91分，那么请你通过计算估计全区获得一等奖的人数是多少？
【分析】（1）分别用总人数乘以A、B等级对应百分比即可得出a、b的值；
（2）用360乘以D组人数占被调查人数的比例即可；
（3）根据各分组人数之和等于被调查人数求解即可得E组人数；用总人数乘以样本中不低于91分的人数所占比例即可．
【解答】解：（1）a＝200×8%＝16，b＝200×20%＝40，
故答案为：16，40；
（2）n＝360×＝126；
（3）200﹣16﹣40﹣200×25%﹣70＝24（人），
1200×＝144（人），
答：E组有24人，估计全区获得一等奖的人数是144人．
21．（14分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．点D是边BC上一点，△BDE是等边三角形，四边形CDEF是平行四边形．
（1）如图1，若点D是BC中点，求证：四边形BDFE是菱形；
（2）一般的，设DF与CE相交于点G，如图2，连接AD，AC，AF．
①证明：AD＝AF；
②求∠DAG的大小．
【分析】（1）可证出EF＝BD，EF∥BD得四边形BDFE是平行四边形，又BE＝BD，从而▱BDFE是菱形；
（2）①通过SAS证明△ABD≌△ACF即可；
②由①中全等可证出∠DAF＝∠BAC＝120°，再由DG＝FG，得∠DAG＝．
【解答】证明：（1）∵四边形CDEF是平行四边形，
∴EF∥CD，EF＝CD，
∵点D是BC中点，
∴BD＝DC，
∴EF＝BD，EF∥BD，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∵△BDE是等边三角形，
∴BD＝BE，
∴▱BDFE是菱形；
（2）∵四边形CDEF是平行四边形，
∴CF∥DE，
∵△BDE是等边三角形，
∴∠BCF＝∠BDE＝60°，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°．
∴∠ACB＝∠ABC＝30°，
∴∠ACF＝30°＝∠ABC，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴AD＝AF；
（2）由①知：△ABD≌△ACF，
∴∠CAF＝∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAC＝120°，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴DG＝FG，
∵AD＝AF，
∴∠DAG＝．
步数/万步
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
天数
3
9
5
a
2
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