2021高三数学第一轮复习 导学案 第20讲 用导数研究函数的极值和最值（共2课时）(1)

这是一份2021高三数学第一轮复习 导学案 第20讲 用导数研究函数的极值和最值（共2课时）(1)，共5页。学案主要包含了学习目标，重点、难点，知识梳理，典题分析，方法规律，题组练习，课堂小结等内容，欢迎下载使用。

掌握函数极值、极值点、最值、最值点的定义；
借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值，体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系；
能用导数研究函数的极值和最值相关的不等式、恒成立、函数零点等问题。
【重点、难点】
重点：求极值和最值的基本思想和基本过程；
难点：在解决极值和最值等问题时，函数导数的灵活分析和应用。
【知识梳理】
1、函数的极值
（1）函数极值的定义.设函数在点附近有定义，如果对附近的所有点，都有__________，我们就说是函数的一个极大值，记作；如果对附近的所有点，都有__________，我们就说是函数的一个极小值，记作.极大值与极小值统称为__________.
（2）判断极值的方法.判断可导函数的极值的方法是：①如果在附近的左侧，右侧，那么是极____值；②如果在附近的左侧，右侧，那么是极____值；因此：函数在在处取的极值的一个常用必要条件是___________;充分条件是__________________.
（3）极值点、最值点、零点，极值、最值、图像交点。它们的区别是什么？
2、函数的最值
（1）一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
（2）一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：
①求函数在内的____________；
②将的______和___________比较，其中最大的一个为________；最小的一个为________.
3、导数与不等式、恒成立问题、存在性问题、零点问题等
恒成立恒成立.
成立成立.
求极值的策略步骤：列表法、草图法、不等式法。
【典题分析】
题型一：求函数的极值
例1：求函数的极值.
【方法规律】求极值的策略步骤：列表法、草图法、不等式法.
【题组练习】
1.函数的定义域为开区间，可导函数在内的图象如果所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.函数在处取得极值，则=（ ）
A. B. -1 C. 0 D.
3.画出函数的草图，并指出极值点情况。
4.已知函数在与时都取得极值.
（1）求的值；（2）求函数的单调区间.
5、求函数的极值和极值点.
题型二：求函数的最值
例2：求 在区间上的最大值。
例3：（2017北京）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．
【方法规律】求在上的最值可按如下思路进行：
（1）求在内的极值，将的各极值与比较，确定的最大值和最小值；
（2）求出所有导数为零的点对应的函数值，直接与端点的函数值比较即可获得；
（3）求极值或最值，必要时，多次构造函数或求导.
【题组练习】
1.函数的值域为________________.
2.函数在定义域内有（ ）
A. 最大值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 最小值为
3．（2015新课标2文21）已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围．
题型三：利用导数研究综合问题
例4:（2020全国Ⅰ文20）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的范围．
例5:（2020全国2文21）已知函数．
（1）若，求的取值范围;
*（2）设，讨论函数的单调性．
【方法规律】
①用导数研究不等式、恒成立、函数零点、存在性问题等问题，本质是研究函数的极值、最值，要突出转化思想的运用；②这类题目往往作为压轴题，要求较高的综合能力，覆盖数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想的综合应用.
【题组练习】
1、设函数对于任意都有成立，则实数的值为___________.
2、设是R上的可导函数，分别是的导函数，且，则当时，有（ ）
A. B.
C. D.
3.若，则函数在处有极值，则的最大值等于（ ） A.2 B. 3 C. 6 D. 9
4. 已知两个函数，.若
，都有成立，求实数的取值范围.
（2020全国2理）已知函数．
讨论在区间的单调性；
证明：；
设，证明：．
【课堂小结】 本节课你收获什么？