2021高三数学第一轮复习 导学案 第30讲 平面向量基本定理及坐标运算

第三十讲：平面向量的基本定理及坐标表示

【学习目标】

1. 了解平面向量基本定理及其意义，了解基底的概念，会进行向量的分解及正交分解.
2. 理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算，会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
3. 理解用坐标表示的平面向量共线的条件，能用向量的坐标形式判断两向量及三点是否共线.

【知识梳理】 

1、平面向量的基本定理

如果，是同一平面内的两个_________向量，那么对于这一平面内的任意向量，_______________，使=____________，我们把________的向量叫做表示这一平面内的所有向量的____________.

2、正交分解

把一个向量分解为两个___________的向量，叫做把向量正交分解

3、向量的直角坐标

在平面直角坐标系内，分别取与轴和轴___________的两个_________作为基底，对于平面内的向量，有且只有一对实数，使得，_______就叫做在基底下的坐标.

4、向量的直角坐标运算

若，则

（1）=          ；（2）=           ；

（3）若，则=               ；

（4）若，则=_____.

5、平面向量共线的坐标表示

若，则的充要条件是________________.

6.常用结论

（1）为的中点，则点的坐标为_________.

（2）设三角形的三个顶点的坐标为，重心坐标为              .

【典题分析】 

题型1：向量的坐标运算

例1 （1）已知平面向量，，则向量（  ）

A、  B、  C、 D、

方法：（1）向量相等就是两向量的坐标对应相等

（2）利用向量的坐标运算可将向量问题代数化。

【题组训练】

1、已知,,,且,,求点M、N的坐标及向量的坐标。

2、下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（   ）

A、，  B、，

C、，  D、，

3、在平行四边形中，为一条对角线，若，,则(   )

A、   B、  C、  D、

4、已知，，若,则的坐标是             

5．已知向量，，，若，其中，则的值为_______________．

6．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，

若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则___________.

题型2：平面向量的共线问题

例2 已知梯形，其中,且,三个顶点,,，则点的坐标为          

方法：解决向量共线（平行）的问题，可从两向量平行的几何表示出发，也可从坐标形式出发。

【题组训练】

1、设分别为与轴、轴正方向相同的两个单位向量，若，则向量的坐标为（  ）

A、   B、  C、  D、

2．已知向量若与平行，则实数的值是（ ）

A．-2 B．0 C．1 D．2

3．已知向量，，，且、、三点共线，则_______

4．已知，且三点共线，则__________．

5．已知向量，，若与共线，则（    ）

A． B．3 C． D．

6、已知，，。

（1）求满足的实数；

（2）当实数取何值时与平行

题型3：平面向量的基本定理的应用

例3如图，在中，为上异于的任一点，为的中点，若则       

方法：准确理解平面向量基本定理中的“有且只有”唯一实数对能使任意向量用基底线性表示；线性表达式常用线性运算直接表示，也可采用待定系数法建立方程（组）求解。

【题组训练】

1．下列各组向量中，可以作为基底的是（    ）．

A．， B．，

C．， D．，

2．如图，正方形中,为的中点,若,则的值为(　　)

A． B． C． D．

3、在平行四边形中，和分别是边和的中点，或,其中，则     

4．在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_________．

5．已知向量与共线且方向相同，则_____.

7．如图，正方形中，分别是的中点，若则（　　）

A．    B．    C．    D．

6．如图，圆是边长为的等边三角形的内切圆，其与边相切于点，点为圆上任意一点，，则的最大值为（  ）

A．        B．        C．2        D．

8．已知扇形半径为，，弧上的点满足，则的最大值是__；最小值是__；