2021高三数学第一轮复习 导学案 第47讲 立体几何中的向量方法

这是一份2021高三数学第一轮复习 导学案 第47讲 立体几何中的向量方法，共7页。学案主要包含了学习目标，重点、难点，知识梳理，常用结论，典题分析，方法规律，题组练习等内容，欢迎下载使用。

用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；
了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.
【重点、难点】
重点：利用空间向量的解决立体几何中的一些简单问题；
难点：立体几何中空间向量的应用。
【知识梳理】
1、异面直线所成的角
设分别是两异面直线的方向向量，则
2、直线与平面所成的角
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，
则 .
3、二面角
（1）如图①，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小

① ② ③
（2）如图 ② ③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足，二面角的平面角大小是向量与的夹角（或其补角）
【常用结论】
点到平面的距离
如图所示，已知为平面的一条斜线段，为平面的法向量，则到平面的距离为.
【典题分析】
题型1：求异面直线所成的角
例1已知直三棱柱中，，，,则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【方法规律】 用向量法求异面直线所成角的一般步骤：
（1）选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系.（2）确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量.（3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.（4）两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.
【题组练习】
1、在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．

2、直三棱柱中，，，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
3、如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，.
（1）求证：平面；
（2）若，求与所成角的余弦值.
题型2：直线与平面所成的角
例2 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，分别是的中点.
（1）求证：；
（2）求与平面所成角的正弦值.
【方法规律】 利用向量法求线面角的2种方法
（1）法一：分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）.
（2）法二：通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的角（夹角为钝角时取其补角），取其余角就是斜线和平面所成的角.
【题组练习】
1、在正方体中，棱，的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
2、在正四棱锥中，为顶点在底面上的射影，为侧棱的中点，且，则直线与平面所成的角是________．
3、如图，在三棱锥中，平面，，分别是棱的中点，，.
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求点到平面的距离.
题型3：求二面角
例3在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，，分别为的中点.
（1）证明：；
（2）求二面角的大小；
（3）求点到平面的距离.
【方法规律】 利用向量计算二面角大小的常用方法
找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐（钝）二面角.
找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
【题组练习】
1、如图所示，二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，，，，则该二面角的大小为 .
2、在底面是直角梯形的四棱锥中，，，平面，，，则平面与平面所成锐二面角的余弦值是 .
3、已知菱形中，∠，沿对角线折叠之后,使得平面平面，则二面角的余弦值为（ ）.
A．2 B． C． D．
4、如图三棱柱，为菱形，，，M为的中点，平面平面．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若直线与平面所成角为45°，求二面角所成角的余弦值．
与的夹角
与所成的角
范围

关系