2021高三数学第一轮复习 导学案 第69讲离散型随机变量的均值与方差、正态分布

第六十九讲：n次独立重复实验与二项分布（共1.5课时）

【核心考点】

1. 理解随机变量的均值、方差与标准差的概念；
2. 能计算简单的随机变量的均值与方差。
3. 了解正态分布的意义，理解正态曲线的性质。

【知识梳理】

1、离散型随机变量的均值与方差

（1）若离散型随机变量X的概率分布为

则称                   为随机变量X的均值或数学期望；

称                       为X的方差，

叫做随机变量X的        ，记作：     。

2、离散型随机变量的期望与方差的性质

(1)离散型随机变量的均值反映变量取值的        。随机变量的方差和标准差都反映了变量取值偏离于均值的          ，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度       。

(2)若，为常数，则      ，         。

3、常见离散型随机变量的期望与方差

二项分布：若随机变量，则        ，        。

4、正态分布

正态分布的意义：如果随机变量X的概率密度函数为称X服从参数为的正态分布，记作，其中分别表示总体的       和       。

正态分布的性质

①曲线在轴的上方，与轴不相交；

②曲线关于直线        ；

③曲线在时位于          ；

④当时，曲线           ；当时，曲线           ；并且当曲线向左右两边无限延伸。

⑤当一定时，曲线形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越       ；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越       。

【典题分析】  

题型一：正态分布

例1：已知随机变量X服从分布，且，则（   ）

A．      B．      C．      D．

【方法规律】利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间围成的面积为1.

【题组练习】

1、设随机变量服从正态分布，若（   ）

A．      B．     C．      D．

2、设两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则有（   ）

A．，    B．，

C．，    D．，

题型二：期望、方差的综合计算

例2：为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：

（1）已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；

（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）.

【方法规律】求离散型随机变量X的均值与方差的步骤

⑴理解X的意义，写出X的所有可能取值；⑵求X取每个值的概率；⑶写出分布列；⑷由均值的定义求；⑸由方差的定义求。

当随机变量服从二项分布时，可不用分布列，直接由公式求出和

【题组练习】

1. 设随机变量，，则的值分别为（ ）

A．      B．

C．      D．

2、已知随机变量的分布列为下表所示

则的标准差为

A、    B、   C、    D、

3、某种种子每粒发芽的概率都是为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望是（    ）

A．   B．   C．   D．

4、已知，则分别是（    ）

A．         B．      C．        D．

5、某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

  以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．

 （Ⅰ）求X的分布列；

 （Ⅱ）若要求，确定的最小值；

 （Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？

【课堂小结】本节课，你收获了什么？