2021高三数学第一轮复习 导学案 第32讲：平面向量的应用

第三十二讲：平面向量的应用

【学习目标】

1. 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题
2. 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。

【知识梳理】

1、用向量法处理垂直问题

（1）对非零向量与，            

（2）若非零向量,,                        

2、用向量法处理平行问题

（1）向量与非零向量共线，当且仅当存在唯一一个实数，使得           

（2）设,是平面向量，则向量与非零向量共线的充要条件是            

3、用向量法求角

（1）设是两个非零向量，夹角记为，则           

（2）若,是平面向量，则           

4、用向量法处理距离（长度）问题

（1）设，则         ，即       

（2）若，且,则              ；                     

5、向量在物理中的应用

（1）向量在力的分解与合成中的应用

（2）向量在速度的分解与合成中的应用

6、向量方法解决几何问题的步骤

（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系；

（3）把运算结果“翻译”成几何关系

【典题分析】 

题型1：向量在三角函数与解三角形中的应用

例1（1）、平面上有四个互异点，已知则的形状是（）

A、直角三角形   B、等腰直角三角形    C、等腰三角形   D、无法确定

（2）2．（2017-2018学年全国18名校大联考高三第二次联考）已知向量,,其中,且.

(1)求和的值;      (2)若,且,求角.

方法：通常考查平面向量坐标运算，结合三角函数公式进行变换。

【题组训练】

1．已知向量，，则的面积为_____________ .

2．在中，，则面积的最大值是____________

3．在中，,则的形状一定是（  ）

A、等边三角形    B、等腰三角形    C、直角三角形    D、等腰直角三角形

4．已知函数，其中，，.

（1）求函数的周期和单调递增区间；

（2）在中，角，，所对的边分别为，，，，，且，求的面积.

题型2：向量在几何中的应用

例2．如图，在平行四边形中，分别是上的点，且满足，记，，试以为平面向量的一组基底.利用向量的有关知识解决下列问题；

（1）用来表示向量；

（2）若，且，求；

方法：用向量法解决几何问题

①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系。

【题组训练】

1．如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，求的余弦值．

2．在中，，分别为边上的点，且．求证：．

题型3：向量在解析几何中的应用

例3 已知点,点在轴上，点在轴上的正半轴上，点在直线上，满足,,当点在轴上移动时，求动点的轨迹方程。

方法：在处理解析几何问题时，需要将向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则，性质列出方程。

【题组训练】

1．倾斜角为的直线经过椭圆右焦点，与椭圆交于、两点，且，则该椭圆的离心率为（  ）

A． B． C． D．

2、平面直角坐标系中，若定点与动点满足，则点的轨迹方程为                    

3、直线与圆相交于两点,若，则(为坐标原点)等于（   ）

A、     B、    C、7     D、14

4、已知圆及点,是圆上的任意一点，点在线段的延长线上，且,则点的轨迹方程为                         。

题型4：向量在物理及其它知识中的应用

例4（1）．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（    ）

（参考数据：取重力加速度大小为）

A．63      B．69      C．75      D．81

（2）．力作用于质点P，使P产生的位移为,则力对质点P做的功是________.

方法：主要应用在受力分析、速度合成与分解及求作用力做功。

【题组训练】

1．长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度的大小，水流的速度的大小，设和所成角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则等于（    ）

A． B． C． D．

2、若向量分别表示两个力与,则为（  ）

A、   B、   C、     D、5

3、已知等差数列的前项和为，若,且三点共线（该直线不过原点），则（  ）

A、100    B、101    C、200    D、201

4、为非零向量，“”是“函数为一次函数”的（  ）

A、充分不必要条件    B、必要不充分条件

C、充要条件       D、既不充分也不必要条件

5．设 满足约束条件，则向量，则的最大值为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3