2021高三数学第一轮复习 导学案 第61讲 两个计数原理 (1)(1)

第六十一讲：两个计数原理

【核心考点】

1. 掌握分类加法计数原理，分步乘法计数原理。

2. 能利用两个原理解决一些简单的实际问题。

【知识梳理】

1、分类计数原理。

  完成一件事，可以有n类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…,在第n类办法中有种不同的方法,那么完成这件事共有N = ____________________种不同的方法。

2、分步计数原理

  完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法……做第n步有种不同的方法,那么完成这件事共有N = __________________________种不同的方法.

3、说明

（1）应用分类计数原理要求分类的每一种方法都能把事件独立完成（注：分类做到不重不漏）；应用分步计数原理要求各步均是完成事件必须经过的若干彼此独立的步骤。

（2）一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复与是遗漏。分步时要注意步与步之间的连续性。

（3）元素重复的问题，往往用分步乘法计数原理。

【学情自测】

1、从甲地到乙地，可以乘火车，可以乘汽车，也可以乘轮船，还可以坐飞机，一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班，飞机有1班，那么一天中乘坐这些交通工具，从甲地到乙地共有_________种不同的走法

.

2、由电键组A，B组成的串联电路中，接通电源要使电灯发光的方法共有_______________种

3、已知集合A=，B=，C=现在从这三个集合中取出两个元素的集合，则一共可以组成多少个集合      （     ）

A．24个   B．36个   C．26个   D．27 个

4、现有6名同学听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可以自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是                          （     ）

A．                B．

C．      D．

【典题分析】

题型1：分类加法计数原理

例1 用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有____________个(用数字作答)

【方法规律】

应用分类加法计数原理,首先根据问题的特点，确定分类的标准，分类应满足：完成一件事的任何一种方法，必属于某一类且仅属于某一类，要做到不重不漏，尽量做到一题多解，从不同的角度考虑问题。

题型2：分步乘法计数原理

例2 有0，1，2，…，8这9个数字，用五张卡片，正反两面分别写上0，8；1，7；2，5；3，4；6，6；且6可作9用，则这五张卡片共能拼成不同的四位数的个数为______________个.

点评：运用分步乘法计数原理,要确定好次序解题时,关键是分清楚完成这件事是分类还是分步,在应用分步乘法计数原理时,各个步骤都完成,才算完成这件事,步骤之间互不影响,即前一步用什么方法,还要注意元素是否可以重复选取.

题型3：综合应用

例3如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为(  )

A．96    B．84

C．60    D．48

【方法规律】

用两个计数原理解决计数问题时，最重要的就是在开始计算之前要仔细分析，首先我们可以考虑问题是否应当分类，分类能使问题的复杂程度大大降低。

总结提升（学习小结）

1、两个原理是推导排列、组合数公式的依据，又是解决排列、组合问题的基本方法；同时，又能独立地解决一些简单的计数问题，因此掌握两个原理是学好本章的基础。

2、在运用这两个原理解决有关计数问题时，第一要注意搞清楚“完成一件事”的具体含义，应善于从语言的差异与变化中弄清面临怎样的“一件事”；第二要善于分清具体问题的“分类”与“分步”。“分类”表现为其中任何一类的任何一种方法均可独立完成所给事情，而“分步”必须把各步均完成才能完成所给事情。在解题过程中要能正确地得出结论，还必须有科学处理题中所给事件的能力，对于同一事件可做不同的处理，从而得到不同的解法。

【题组练习】

1、满足，且关于的方程有实数解的有序数对的个数为                                （     ）

A．14    B．13    C．12     D．10

2、从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为，共可得到的不同值的个数是                        （     ） 

A．9    B．10     C．18     D．20

3、从0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为              （     ）

A、243    B、252     C、261     D、279

4、已知集合，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是                  （     ）

A、18    B、10     C、16      D、14

5、若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有  （     ）

A、60种    B、63种   C、65种    D、66种