2021高三数学第一轮复习 导学案 第62讲 排列与组合(1)

第六十二讲：排列与组合（2课时）

【核心考点】

1. 掌握排列的概念，排列数的计算公式；解决排列问题的基本方法及技巧。
2. 理解组合的概念，掌握组合数公式及组合数性质；并能解决一些简单的组合应用问题。

【知识梳理】

1、排列

（1）定义：从n个____________元素中取出个元素，按照______________排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.

（2）排列数公式:____________________

2、组合

（1）定义：从n个__________元素中，取出个元素_______________,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

( 2 ) 组合数及组合数公式:

从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示。

  组合数公式：

= ＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿

（３）组合数的两个性质：

【学情自测】

1、有A，B，C，D四个不同的元素，组成没有重复元素的排列的个数有               （     ）

A、4个   B、24个    C、48个    D、64个

2、用0，1，2，3，4组成数字不重复的四位数的不正确的解法是                  （       ）

A、           B、   

C、        D、

3、将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（   ）

A、12      B、18        C、36        D、54

4、将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（     ）

A、12种     B、10种     C、9种     D、8种

5、甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（    ）

A、6     B、12       C、24        D、30

【典题分析】

题型1：有限制条件的排列问题

例1： 六人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？

（1）甲，乙必须相邻；

（2）甲，乙不相邻；

（3）甲，乙之间间隔两人

（4）甲，乙，丙三个从左至右按从高到矮的排列。

【方法规律】

本题包括了有限制条件的排列问题的几种基本类型，注重在处理这类问题时一般应遵循：“先特殊，后一般”的原则，即先考虑特殊的元素或特殊的位置，再考虑一般的元素和位置，对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“间接法”，对特殊元素优先考虑，对于“必相邻”元素，常采用“捆绑法”的技巧，对于“不相邻”元素常采用“插空法”的技巧，此外“正难则反”是处理排列问题的一个很重要策略，还是检查结果是否正确的重要手段。

题型2：有限制条件的组合问题

例2 男演员4名，女演员6名，其中男女队长各1人，选派5人外出演出，在下列情形下，各有多少种选派方法？

（１）队长至少有1人参加；

（２）至少有一名男演员；

（３）只需一名队长参加。

【方法规律】

在解组合问题时，常遇到至多、至少问题，此时可考虑有间接法求解以减少运算量。如果同一个问题涉及排列组合问题应注意先选后排的原则。

例3：6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法。

（１）分给甲、乙、丙三人，每人2本；

（２）分为三份，每份2本；

（３）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；

（４）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本。

【方法规律】

对于分组问题，要理解均匀分组和非均匀分组的区别。

（１）  平均分堆到指定位置可用“填空法”

（２）  平均分堆不到指定位置，其分法数为：

，分堆到位相当于分堆后各堆再全排列，即平均分堆到位的分法数 = 平均分堆不到指定位置数 * 堆数的阶乘。

【题组练习】

1、用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为                     （     ）

A、8    B、24    C、48     D、120

2、一天有语文、数学、英语、物理、化学、生物、体育七节课，体育不在第一节上，数学不在第六、七节上，这天课表的不同排法种数为（     ）

A、      B、

C、      D、

3、“2012”含有数字0，1，2，且有两个数字2，则含有数字0，1，2，且有两个相同数字的四位数的个数为                        （      ）

A、18    B、24    C、27     D、36

4、2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是            （      ）

A、60种     B、48种    C、42种    D、36种

5、从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动,选出的3人中男女同学都有的概率为________(结果用数值表示).

6、北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作。若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，刚开幕式当天不同的排班种数为                        （     ）

A、              B、

C、              D、

7、现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（  ）

A、232      B、252     C、472     D、484