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江苏省宿迁市沭阳县2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份苏科版九年级上册本册综合同步达标检测题，共28页。试卷主要包含了下列关系式中，属于二次函数的是等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷
一．选择题（共8小题）
1．下列关系式中，属于二次函数的是（x为自变量）（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ax2+bx+c
2．在平面直角坐标系中，圆O的半径为5，圆心O为坐标原点，则点P（﹣3，4）与圆O的位置关系是（ ）
A．在⊙O内 B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．不能确定
3．某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下：80，90，75，75，80，80．下列表述错误的是（ ）
A．众数是80 B．中位数是75 C．平均数是80 D．极差是15
4．某水果园2017年水果产量为50吨，2019年水果产量为70吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．50（1﹣x）2＝70 B．50（1+x）2＝70
C．70（1﹣x）2＝50 D．70（1+x）2＝50
5．如图，AB为⊙O直径，已知圆周角∠BCD＝30°，则∠ABD为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
6．（易错题）已知：如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则sinB等于（ ）
A． B． C． D．
8．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如：min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，﹣2}＝﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．0
二．填空题（共10小题）
9．一元二次方程4x2﹣9＝0的根是 ．
10．已知点P、Q为线段AB的黄金分割点，且AB＝2，则PQ＝ ．（结果保留根号）
11．如果x：y：z＝1：3：5，那么＝ ．
12．已知点A（﹣2，a），B（2，b）是抛物线y＝x2﹣4x上的两点，则a，b的大小关系 ．
13．如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于 ．
15．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，tan∠CPN为 ．
16．如图是小明设计用手电来测量都匀南沙州古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是 米（平面镜的厚度忽略不计）．
17．如图．在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点D的坐标为 ．
18．如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是 ．
三．解答题（共10小题）
19．（1）计算：3tan30°+cos45°﹣2sin60°
（2）解方程：x2+3x﹣4＝0．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，若BC＝6，sinA＝，求DE的长．
21．如图，△ABC在平面直角坐标系中，点A（2，﹣1），B（3，2），C（1，0）．解答问题：请按要求对△ABC作如下变换．
（1）将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，位似比为2：1，将△ABC在位似中心的异侧进行放大得到△A2B2C2．
22．在甲口袋中有三个球分别标有数码1，﹣2，3；在乙口袋中也有三个球分别标有数码4，﹣5，6；已知口袋均不透明，六个球除标码不同外其他均相同，小明从甲口袋中任取一个球，并记下数码，小林从乙口袋中任取一个球，并记下数码．
（1）用树状图或列表法表示所有可能的结果；
（2）求所抽取的两个球数码的乘积为负数的概率．
23．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长13cm，BC边上的高AD为6cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）求这个正方形零件的边长．
24．如图，直线AC与⊙O相切于点A，点B为⊙O上一点，且OC⊥OB于点O，连接AB交OC于点D．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若AC＝3，OB＝4，求OD的长度．
25．如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．
26．如图，以AB为直径作⊙O，过点A作⊙O的切线AC，连结BC，交⊙O于点D，点E是BC边的中点，连结AE．
（1）求证：∠AEB＝2∠C；
（2）若AB＝6，cosB＝，求DE的长．
27．如图，平行四边形ABCD中，以B为坐标原点建立如图所示直角坐标系，AB⊥AC，AB＝3，AD＝5，点P在边AD上运动（点P不与A重合，但可以与D点重合），以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．
（1）设AP为x，P点坐标为（ ， ）（用含x的代数式表示）
（2）当⊙P与边CD相切于点F时，求P点的坐标；
（3）随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围 ．
28．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点P在第一象限内，当OD＝4PE时：
①求点D、P、E的坐标；
②求四边形POBE的面积．
（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在上，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列关系式中，属于二次函数的是（x为自变量）（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ax2+bx+c
【分析】根据形如y＝ax2+bx+c，（a、b、c是常数，a≠0）是二次函数，可得答案．
【解答】解：A、是二次函数，故A正确；
B、不是二次函数，故B错误；
C、不是二次函数，故C错误；
D、a＝0是不是二次函数，故D错误；
故选：A．
2．在平面直角坐标系中，圆O的半径为5，圆心O为坐标原点，则点P（﹣3，4）与圆O的位置关系是（ ）
A．在⊙O内 B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．不能确定
【分析】利用勾股定理求出OP即可判断．
【解答】解：∵P（﹣3，4），
∴OP＝＝5，
∵OP＝r＝5，
∴点P在⊙O上，
故选：C．
3．某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下：80，90，75，75，80，80．下列表述错误的是（ ）
A．众数是80 B．中位数是75 C．平均数是80 D．极差是15
【分析】根据平均数，中位数，众数，极差的概念逐项分析．
【解答】解：A、80出现的次数最多，所以众数是80，A正确；
B、把数据按大小排列，中间两个数为80，80，所以中位数是80，B错误；
C、平均数是＝80，C正确；
D、极差是90﹣75＝15，D正确．
故选：B．
4．某水果园2017年水果产量为50吨，2019年水果产量为70吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．50（1﹣x）2＝70 B．50（1+x）2＝70
C．70（1﹣x）2＝50 D．70（1+x）2＝50
【分析】2019年的产量＝2017年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【解答】解：2018年的产量为50（1+x），
2019年的产量为50（1+x）（1+x）＝50（1+x）2，
即所列的方程为50（1+x）2＝70．
故选：B．
5．如图，AB为⊙O直径，已知圆周角∠BCD＝30°，则∠ABD为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】连接AD，根据AB为⊙O直径，直径所对的圆周角是直角求得∠ADB的度数，然后根据同弧所对的圆周角相等求得∠DAB的度数，然后可求解．
【解答】解：连接AD．
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵∠DAB＝∠BCD＝30°，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣30°＝60°．
故选：D．
6．（易错题）已知：如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【分析】根据已知先判定线段DE∥BC，再根据相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【解答】解：∵∠ADE＝∠ACD＝∠ABC
∴DE∥BC
∴△ADE∽△ABC，
∵DE∥BC
∴∠EDC＝∠DCB，
∵∠ACD＝∠ABC，
∴△EDC∽△DCB，
同理：∠ACD＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∵△ADE∽△ABC，△EDC∽△DCB，
∴△ADE∽△ACD
∴共4对
故选：D．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则sinB等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性质得出BD＝BC＝6，由勾股定理得出AD＝＝8，再由三角函数定义即可得出答案．
【解答】解：作AD⊥BC于D，如图所示：
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝BC＝6，
∴AD＝＝＝8，
∴sinB＝＝＝；
故选：A．
8．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如：min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，﹣2}＝﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．0
【分析】理解min{a，b}的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论．
【解答】解：在同一坐标系xOy中，画出函数二次函数y＝﹣x2+1与正比例函数y＝﹣x的图象，如图所示．设它们交于点A、B．
令﹣x2+1＝﹣x，即x2﹣x﹣1＝0，解得：x＝或，
∴A（，），B（，）．
观察图象可知：
①当x≤时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1，函数值随x的增大而增大，其最大值为；
②当＜x＜时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x，函数值随x的增大而减小，其最大值为；
③当x≥时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1，函数值随x的增大而减小，最大值为．
综上所示，min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是．
故选：A．
二．填空题（共10小题）
9．一元二次方程4x2﹣9＝0的根是 x1＝，x2＝ ．
【分析】先把方程变形为x2＝，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：4x2＝9，
x2＝，
所以x1＝，x2＝．
故答案为x1＝，x2＝．
10．已知点P、Q为线段AB的黄金分割点，且AB＝2，则PQ＝ 2﹣4 ．（结果保留根号）
【分析】先根据黄金分割的定义得出较长的线段AP＝BQ＝AB，再根据PQ＝AP+BQ﹣AB，即可得出结果．
【解答】解：根据黄金分割点的概念，可知AP＝BQ＝×2＝（﹣1）．
则PQ＝AP+BQ﹣AB＝（﹣1）×2﹣2＝（2﹣4）．
故本题答案为：2﹣4．
11．如果x：y：z＝1：3：5，那么＝ ﹣ ．
【分析】根据x：y：z＝1：3：5，可以设x＝k，y＝3k，z＝5k，把这三个式子代入所要求的式子，进行化简就可以求出式子的值．
【解答】解：∵x：y：z＝1：3：5，
设x＝k，y＝3k，z＝5k，
则＝＝﹣．
12．已知点A（﹣2，a），B（2，b）是抛物线y＝x2﹣4x上的两点，则a，b的大小关系 a＞b ．
【分析】把A（﹣2，a），B（2，b）代入y＝x2﹣4x，求得a、b的值即可判断．
【解答】解：∵点A（﹣2，a），B（2，b）是抛物线y＝x2﹣4x上的两点，
∴a＝（﹣2）2﹣4×（﹣2）＝12，b＝22﹣4×2＝﹣4
∴a＞b，
故答案为a＞b．
13．如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为 60πcm2 ．
【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．
【解答】解：∵h＝8，r＝6，
可设圆锥母线长为l，
由勾股定理，l＝＝10，
圆锥侧面展开图的面积为：S侧＝×2×6π×10＝60π，
所以圆锥的侧面积为60πcm2．
故答案为：60πcm2；
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于 5 ．
【分析】连接CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB＝2CD，求出圆的半径的长，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．
【解答】解：如图，∵∠C＝90°，点D为AB的中点，
∴AB＝2CD＝10，
∴CD＝5，
∴BC＝CD＝5，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝5．
故答案为：5．
15．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，tan∠CPN为 2 ．
【分析】连接格点MN、DM，可得MN∥EC，由平行线的性质得出∠DNM＝∠CPN，证出∠DMN＝90°，由三角函数定义即可得出答案．
【解答】解：连接格点MN、DM，如图所示：
则四边形MNCE是平行四边形，△DAM和△MBN都是等腰直角三角形，
∴EC∥MN，∠DMA＝∠NMB＝45°，DM＝AD＝2，MN＝BM＝，
∴∠CPN＝∠DNM，
∴tan∠CPN＝tan∠DNM，
∵∠DMN＝180°﹣∠DMA﹣∠NMB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴tan∠CPN＝tan∠DNM＝＝＝2，
故答案为2．
16．如图是小明设计用手电来测量都匀南沙州古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是 8 米（平面镜的厚度忽略不计）．
【分析】由已知得△ABP∽△CDP，根据相似三角形的性质可得，解答即可．
【解答】解：由题意知：光线AP与光线PC，∠APB＝∠CPD，
∴Rt△ABP∽Rt△CDP，
∴，
∴CD＝＝8（米）．
故答案为：8．
17．如图．在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点D的坐标为 （﹣，） ．
【分析】首先过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE＝DE，OA＝CD＝1，设OE＝x，那么CE＝3﹣x，DE＝x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD＝AB＝3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标．
【解答】解：如图，过D作DF⊥AO于F，
∵点B的坐标为（1，3），
∴BC＝AO＝1，AB＝OC＝3，
根据折叠可知：CD＝BC＝OA＝1，∠CDE＝∠B＝∠AOE＝90°，AD＝AB＝3，
在△CDE和△AOE中，
，
∴△CDE≌△AOE，
∴OE＝DE，OA＝CD＝1，AE＝CE，
设OE＝x，那么CE＝3﹣x，DE＝x，
∴在Rt△DCE中，CE2＝DE2+CD2，
∴（3﹣x）2＝x2+12，
∴x＝，
∴OE＝，AE＝CE＝OC﹣OE＝3﹣＝，
又∵DF⊥AF，
∴DF∥EO，
∴△AEO∽△ADF，
∴AE：AD＝EO：DF＝AO：AF，
即：3＝：DF＝1：AF，
∴DF＝，AF＝，
∴OF＝﹣1＝，
∴D的坐标为：（﹣，）．
故答案为：（﹣，）．
18．如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是 ．
【分析】如图，作FH⊥PE于H．利用勾股定理求出EF，再证明△CEF∽△FEP，可得EF2＝EC•EP，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，作FH⊥PE于H．
∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，
∴AC＝5，∠ACD＝∠FCH＝45°，
∵∠FHC＝90°，CF＝2，
∴CH＝HF＝，
∵CE＝4AE，
∴EC＝4，AE＝，
∴EH＝5，
在Rt△EFH中，EF2＝EH2+FH2＝（5）2+（）2＝52，
∵∠GEF＝∠GCF＝90°，
∴E，G，F，C四点共圆，
∴∠EFG＝∠ECG＝45°，
∴∠ECF＝∠EFP＝135°，
∵∠CEF＝∠FEP，
∴△CEF∽△FEP，
∴＝，
∴EF2＝EC•EP，
∴EP＝＝．
故答案为．
三．解答题（共10小题）
19．（1）计算：3tan30°+cos45°﹣2sin60°
（2）解方程：x2+3x﹣4＝0．
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值即可计算；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）3tan30°+cos45°﹣2sin60°
＝3×+﹣2×
＝+﹣
＝；
（2）x2+3x﹣4＝0．
（x﹣1）（x+4）＝0
∴x1＝1 x2＝﹣4．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，若BC＝6，sinA＝，求DE的长．
【分析】在Rt△ABC中，先求出AB，AC继而得出AD，再由△ADE∽△ACB，利用对应边成比例可求出DE．
【解答】解：∵BC＝6，sinA＝，
∴AB＝10，
∴AC＝＝8，
∵D是AB的中点，
∴AD＝AB＝5，
∵△ADE∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得：DE＝．
21．如图，△ABC在平面直角坐标系中，点A（2，﹣1），B（3，2），C（1，0）．解答问题：请按要求对△ABC作如下变换．
（1）将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，位似比为2：1，将△ABC在位似中心的异侧进行放大得到△A2B2C2．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C绕点O逆时针旋转90°的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）连接AO并延长至A2，使A2O＝2AO，连接BO并延长至B2，使B2O＝2BO，连接CO并延长至C2，使C2O＝2CO，然后顺次连接A2、B2、C2即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的图形；
（2）如图所示，△A2B2C2即为△ABC在位似中心O的异侧位似比为2：1的图形．
22．在甲口袋中有三个球分别标有数码1，﹣2，3；在乙口袋中也有三个球分别标有数码4，﹣5，6；已知口袋均不透明，六个球除标码不同外其他均相同，小明从甲口袋中任取一个球，并记下数码，小林从乙口袋中任取一个球，并记下数码．
（1）用树状图或列表法表示所有可能的结果；
（2）求所抽取的两个球数码的乘积为负数的概率．
【分析】（1）利用列表法可得所有等可能结果；
（2）从所有等可能结果中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案．
【解答】解：（1）列表如下：
1
﹣2
3
4
（1，4）
（﹣2，4）
（3，4）
﹣5
（1，﹣5）
（﹣2，﹣5）
（3，﹣5）
6
（1，6）
（﹣2，6）
（3，6）
（2）由表可知，共有9种等可能结果，其中所抽取的两个球数码的乘积为负数的由4种结果，
∴所抽取的两个球数码的乘积为负数的概率为．
23．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长13cm，BC边上的高AD为6cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）求这个正方形零件的边长．
【分析】（1）根据矩形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可．
（2）设正方形零件的边长为xmm，则KD＝EF＝x，AK＝6﹣x，根据EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果．
【解答】解：（1）∵正方形EGHF，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
（2）设EG＝EF＝x
∵△AEF∽△ABC
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
∴正方形零件的边长为cm．
24．如图，直线AC与⊙O相切于点A，点B为⊙O上一点，且OC⊥OB于点O，连接AB交OC于点D．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若AC＝3，OB＝4，求OD的长度．
【分析】（1）欲证明CD＝CA，只要证明∠CDA＝∠DAC即可．
（2）利用勾股定理求出OC即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵OD⊥OB，
∴∠DOB＝90°，
∴∠BDO+∠B＝90°，∠OAD+∠DAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAD＝∠B，
∴∠BDO＝∠DAC，
∵∠BDO＝∠CDA，
∴∠CDA＝∠DAC，
∴CD＝CA．
（2）在Rt△ACO中，OC＝＝＝5，
∵CA＝CD＝3，
∴OD＝OC﹣CD＝2．
25．如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．
【分析】（1）将点A的坐标代入二次函数解析式求出m的值，再根据二次函数解析式求出点C的坐标，然后求出点B的坐标，最后利用待定系数法求一次函数解析式求解即可；
（2）根据函数图象点A以及点A右边的部分，点B以及点B左边的部分的自变量x的取值范围即为不等式的解集．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），
∴0＝1+m，
∴m＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣1＝x2+4x+3，
∴点C坐标（0，3），
∵对称轴x＝﹣2，B、C关于对称轴对称，
∴点B坐标（﹣4，3），
∵y＝kx+b经过点A、B，
∴，
解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣x﹣1；
（2）由图象可知，满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围为x≤﹣4或x≥﹣1．
26．如图，以AB为直径作⊙O，过点A作⊙O的切线AC，连结BC，交⊙O于点D，点E是BC边的中点，连结AE．
（1）求证：∠AEB＝2∠C；
（2）若AB＝6，cosB＝，求DE的长．
【分析】（1）根据切线的性质证明即可；
（2）连接AD，根据三角函数解答即可．
【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的切线，
∴∠BAC＝90°．
∵点E是BC边的中点，
∴AE＝EC．
∴∠C＝∠EAC，
∵∠AEB＝∠C+∠EAC，
∴∠AEB＝2∠C．
（2）连结AD．
∵AB为直径作⊙O，
∴∠ABD＝90°．
∵AB＝6，，
∴BD＝．
在Rt△ABC中，AB＝6，，
∴BC＝10．
∵点E是BC边的中点，
∴BE＝5．
∴．
27．如图，平行四边形ABCD中，以B为坐标原点建立如图所示直角坐标系，AB⊥AC，AB＝3，AD＝5，点P在边AD上运动（点P不与A重合，但可以与D点重合），以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．
（1）设AP为x，P点坐标为（ +x ， ）（用含x的代数式表示）
（2）当⊙P与边CD相切于点F时，求P点的坐标；
（3）随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围 ＜AP＜或AP＝ ．
【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，由勾股定理可求AC＝4，由三角形的面积公式可得AE＝，由勾股定理可求BE的长，可得点A坐标，即可求点P坐标；
（2）连接PF，由切线的性质可得PF⊥CD，由平行四边形的性质，可得PF∥AC，由相似三角形的性质可得，可求AP的长，即可求点P坐标；
（3）通过图形可求解．
【解答】解：（1）如图，过点A作AE⊥BC于点E
∵AB⊥AC，AB＝3，AD＝5，
∴AC＝＝＝4，
∵S△ABC＝AB×AC＝BC×AE，
∴3×4＝5AE
∴AE＝，
∴BE＝＝＝，
∴点A坐标为（，）
∵AP＝x，
∴点P坐标为（+x，），
故答案为：+x，；
（2）如图，连接PF
∵⊙P与边CD相切于点F
∴PF⊥CD
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，且AB⊥AC
∴AC⊥CD
∴PF∥AC
∴△DPF∽△DAC
∴，
∴，
∴AP＝，
∴点P坐标为（，）；
（3）当＜AP＜或AP＝时，⊙P与平行四边形ABCD的边的4个公共点，如图所示，
28．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点P在第一象限内，当OD＝4PE时：
①求点D、P、E的坐标；
②求四边形POBE的面积．
（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在上，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝1，A（﹣2，0）在抛物线上，x＝﹣＝1，解得：a＝，b＝﹣，即可求解；
（2）设D（m，0），则E（m，m﹣2），P（m，m2﹣m﹣2），OD＝4PE，m＝4（m2﹣m﹣2﹣m+2），即可求解；
（3）分BD为对角线、BD为边，两种情况分别求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝1，A（﹣2，0）在抛物线上，∴x＝﹣＝1，解得：a＝，b＝﹣，
抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）令y＝x2﹣x﹣2＝0，x﹣2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4，
当x＝0时，y＝﹣2，
由B（4，0），C（0，﹣2），得，直线C的表达式为：y＝x﹣2
设D（m，0），∵DP∥y轴，∴E（m，m﹣2），P（m，m2﹣m﹣2），
∵OD＝4PE，
∴m＝4（m2﹣m﹣2﹣m+2），
∴m＝5，m＝0（舍去），
∴D（5，0），P（5，），E（5，），
∴四边形POBE的面积＝S△OPD﹣S△EBD＝×5×﹣×1×＝；
（3）存在，设M（n，n﹣2），
①以BD为对角线，如图1，
∵四边形BNDM是菱形，
∴MN垂直平分BD，
∴n＝4+，
∴M（，），
∵M，N关于x轴对称，
∴N（，﹣）；
②以BD为边，如图2，
∵四边形BDMN是菱形，
∴MN∥BD，MN＝BD＝MD＝1，
过M作MH⊥x轴于H，
∴MH2+DH2＝DM2，
即（n﹣2）2+（n﹣5）2＝12，
∴n1＝4（不合题意），n2＝5.6，
∴N（4.6，），
同理（n﹣2）2+（4﹣n）2＝1，
∴n1＝4+（不合题意，舍去），n2＝4﹣，
∴N（5﹣，﹣），
③以BD为边，如图3，
过M作MH⊥x轴于H，
∴MH2+BH2＝BM2，
即（n﹣2）2+（n﹣4）2＝12，
∴n1＝4+，n2＝4﹣（不合题意，舍去），
∴N（5+，），
综上所述，点N坐标为：（）或 （，）或（5﹣，）或 （5+，）．
2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷
一．选择题（共8小题）
1．下列关系式中，属于二次函数的是（x为自变量）（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ax2+bx+c
2．在平面直角坐标系中，圆O的半径为5，圆心O为坐标原点，则点P（﹣3，4）与圆O的位置关系是（ ）
A．在⊙O内 B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．不能确定
3．某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下：80，90，75，75，80，80．下列表述错误的是（ ）
A．众数是80 B．中位数是75 C．平均数是80 D．极差是15
4．某水果园2017年水果产量为50吨，2019年水果产量为70吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．50（1﹣x）2＝70 B．50（1+x）2＝70
C．70（1﹣x）2＝50 D．70（1+x）2＝50
5．如图，AB为⊙O直径，已知圆周角∠BCD＝30°，则∠ABD为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
6．（易错题）已知：如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则sinB等于（ ）
A． B． C． D．
8．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如：min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，﹣2}＝﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．0
二．填空题（共10小题）
9．一元二次方程4x2﹣9＝0的根是 ．
10．已知点P、Q为线段AB的黄金分割点，且AB＝2，则PQ＝ ．（结果保留根号）
11．如果x：y：z＝1：3：5，那么＝ ．
12．已知点A（﹣2，a），B（2，b）是抛物线y＝x2﹣4x上的两点，则a，b的大小关系 ．
13．如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于 ．
15．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，tan∠CPN为 ．
16．如图是小明设计用手电来测量都匀南沙州古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是 米（平面镜的厚度忽略不计）．
17．如图．在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点D的坐标为 ．
18．如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是 ．
三．解答题（共10小题）
19．（1）计算：3tan30°+cos45°﹣2sin60°
（2）解方程：x2+3x﹣4＝0．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，若BC＝6，sinA＝，求DE的长．
21．如图，△ABC在平面直角坐标系中，点A（2，﹣1），B（3，2），C（1，0）．解答问题：请按要求对△ABC作如下变换．
（1）将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，位似比为2：1，将△ABC在位似中心的异侧进行放大得到△A2B2C2．
22．在甲口袋中有三个球分别标有数码1，﹣2，3；在乙口袋中也有三个球分别标有数码4，﹣5，6；已知口袋均不透明，六个球除标码不同外其他均相同，小明从甲口袋中任取一个球，并记下数码，小林从乙口袋中任取一个球，并记下数码．
（1）用树状图或列表法表示所有可能的结果；
（2）求所抽取的两个球数码的乘积为负数的概率．
23．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长13cm，BC边上的高AD为6cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）求这个正方形零件的边长．
24．如图，直线AC与⊙O相切于点A，点B为⊙O上一点，且OC⊥OB于点O，连接AB交OC于点D．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若AC＝3，OB＝4，求OD的长度．
25．如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．
26．如图，以AB为直径作⊙O，过点A作⊙O的切线AC，连结BC，交⊙O于点D，点E是BC边的中点，连结AE．
（1）求证：∠AEB＝2∠C；
（2）若AB＝6，cosB＝，求DE的长．
27．如图，平行四边形ABCD中，以B为坐标原点建立如图所示直角坐标系，AB⊥AC，AB＝3，AD＝5，点P在边AD上运动（点P不与A重合，但可以与D点重合），以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．
（1）设AP为x，P点坐标为（ ， ）（用含x的代数式表示）
（2）当⊙P与边CD相切于点F时，求P点的坐标；
（3）随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围 ．
28．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点P在第一象限内，当OD＝4PE时：
①求点D、P、E的坐标；
②求四边形POBE的面积．
（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在上，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列关系式中，属于二次函数的是（x为自变量）（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ax2+bx+c
【分析】根据形如y＝ax2+bx+c，（a、b、c是常数，a≠0）是二次函数，可得答案．
【解答】解：A、是二次函数，故A正确；
B、不是二次函数，故B错误；
C、不是二次函数，故C错误；
D、a＝0是不是二次函数，故D错误；
故选：A．
2．在平面直角坐标系中，圆O的半径为5，圆心O为坐标原点，则点P（﹣3，4）与圆O的位置关系是（ ）
A．在⊙O内 B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．不能确定
【分析】利用勾股定理求出OP即可判断．
【解答】解：∵P（﹣3，4），
∴OP＝＝5，
∵OP＝r＝5，
∴点P在⊙O上，
故选：C．
3．某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下：80，90，75，75，80，80．下列表述错误的是（ ）
A．众数是80 B．中位数是75 C．平均数是80 D．极差是15
【分析】根据平均数，中位数，众数，极差的概念逐项分析．
【解答】解：A、80出现的次数最多，所以众数是80，A正确；
B、把数据按大小排列，中间两个数为80，80，所以中位数是80，B错误；
C、平均数是＝80，C正确；
D、极差是90﹣75＝15，D正确．
故选：B．
4．某水果园2017年水果产量为50吨，2019年水果产量为70吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．50（1﹣x）2＝70 B．50（1+x）2＝70
C．70（1﹣x）2＝50 D．70（1+x）2＝50
【分析】2019年的产量＝2017年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【解答】解：2018年的产量为50（1+x），
2019年的产量为50（1+x）（1+x）＝50（1+x）2，
即所列的方程为50（1+x）2＝70．
故选：B．
5．如图，AB为⊙O直径，已知圆周角∠BCD＝30°，则∠ABD为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】连接AD，根据AB为⊙O直径，直径所对的圆周角是直角求得∠ADB的度数，然后根据同弧所对的圆周角相等求得∠DAB的度数，然后可求解．
【解答】解：连接AD．
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵∠DAB＝∠BCD＝30°，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣30°＝60°．
故选：D．
6．（易错题）已知：如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【分析】根据已知先判定线段DE∥BC，再根据相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【解答】解：∵∠ADE＝∠ACD＝∠ABC
∴DE∥BC
∴△ADE∽△ABC，
∵DE∥BC
∴∠EDC＝∠DCB，
∵∠ACD＝∠ABC，
∴△EDC∽△DCB，
同理：∠ACD＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∵△ADE∽△ABC，△EDC∽△DCB，
∴△ADE∽△ACD
∴共4对
故选：D．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则sinB等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性质得出BD＝BC＝6，由勾股定理得出AD＝＝8，再由三角函数定义即可得出答案．
【解答】解：作AD⊥BC于D，如图所示：
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝BC＝6，
∴AD＝＝＝8，
∴sinB＝＝＝；
故选：A．
8．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如：min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，﹣2}＝﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．0
【分析】理解min{a，b}的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论．
【解答】解：在同一坐标系xOy中，画出函数二次函数y＝﹣x2+1与正比例函数y＝﹣x的图象，如图所示．设它们交于点A、B．
令﹣x2+1＝﹣x，即x2﹣x﹣1＝0，解得：x＝或，
∴A（，），B（，）．
观察图象可知：
①当x≤时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1，函数值随x的增大而增大，其最大值为；
②当＜x＜时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x，函数值随x的增大而减小，其最大值为；
③当x≥时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1，函数值随x的增大而减小，最大值为．
综上所示，min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是．
故选：A．
二．填空题（共10小题）
9．一元二次方程4x2﹣9＝0的根是 x1＝，x2＝ ．
【分析】先把方程变形为x2＝，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：4x2＝9，
x2＝，
所以x1＝，x2＝．
故答案为x1＝，x2＝．
10．已知点P、Q为线段AB的黄金分割点，且AB＝2，则PQ＝ 2﹣4 ．（结果保留根号）
【分析】先根据黄金分割的定义得出较长的线段AP＝BQ＝AB，再根据PQ＝AP+BQ﹣AB，即可得出结果．
【解答】解：根据黄金分割点的概念，可知AP＝BQ＝×2＝（﹣1）．
则PQ＝AP+BQ﹣AB＝（﹣1）×2﹣2＝（2﹣4）．
故本题答案为：2﹣4．
11．如果x：y：z＝1：3：5，那么＝ ﹣ ．
【分析】根据x：y：z＝1：3：5，可以设x＝k，y＝3k，z＝5k，把这三个式子代入所要求的式子，进行化简就可以求出式子的值．
【解答】解：∵x：y：z＝1：3：5，
设x＝k，y＝3k，z＝5k，
则＝＝﹣．
12．已知点A（﹣2，a），B（2，b）是抛物线y＝x2﹣4x上的两点，则a，b的大小关系 a＞b ．
【分析】把A（﹣2，a），B（2，b）代入y＝x2﹣4x，求得a、b的值即可判断．
【解答】解：∵点A（﹣2，a），B（2，b）是抛物线y＝x2﹣4x上的两点，
∴a＝（﹣2）2﹣4×（﹣2）＝12，b＝22﹣4×2＝﹣4
∴a＞b，
故答案为a＞b．
13．如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为 60πcm2 ．
【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．
【解答】解：∵h＝8，r＝6，
可设圆锥母线长为l，
由勾股定理，l＝＝10，
圆锥侧面展开图的面积为：S侧＝×2×6π×10＝60π，
所以圆锥的侧面积为60πcm2．
故答案为：60πcm2；
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于 5 ．
【分析】连接CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB＝2CD，求出圆的半径的长，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．
【解答】解：如图，∵∠C＝90°，点D为AB的中点，
∴AB＝2CD＝10，
∴CD＝5，
∴BC＝CD＝5，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝5．
故答案为：5．
15．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，tan∠CPN为 2 ．
【分析】连接格点MN、DM，可得MN∥EC，由平行线的性质得出∠DNM＝∠CPN，证出∠DMN＝90°，由三角函数定义即可得出答案．
【解答】解：连接格点MN、DM，如图所示：
则四边形MNCE是平行四边形，△DAM和△MBN都是等腰直角三角形，
∴EC∥MN，∠DMA＝∠NMB＝45°，DM＝AD＝2，MN＝BM＝，
∴∠CPN＝∠DNM，
∴tan∠CPN＝tan∠DNM，
∵∠DMN＝180°﹣∠DMA﹣∠NMB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴tan∠CPN＝tan∠DNM＝＝＝2，
故答案为2．
16．如图是小明设计用手电来测量都匀南沙州古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是 8 米（平面镜的厚度忽略不计）．
【分析】由已知得△ABP∽△CDP，根据相似三角形的性质可得，解答即可．
【解答】解：由题意知：光线AP与光线PC，∠APB＝∠CPD，
∴Rt△ABP∽Rt△CDP，
∴，
∴CD＝＝8（米）．
故答案为：8．
17．如图．在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点D的坐标为 （﹣，） ．
【分析】首先过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE＝DE，OA＝CD＝1，设OE＝x，那么CE＝3﹣x，DE＝x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD＝AB＝3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标．
【解答】解：如图，过D作DF⊥AO于F，
∵点B的坐标为（1，3），
∴BC＝AO＝1，AB＝OC＝3，
根据折叠可知：CD＝BC＝OA＝1，∠CDE＝∠B＝∠AOE＝90°，AD＝AB＝3，
在△CDE和△AOE中，
，
∴△CDE≌△AOE，
∴OE＝DE，OA＝CD＝1，AE＝CE，
设OE＝x，那么CE＝3﹣x，DE＝x，
∴在Rt△DCE中，CE2＝DE2+CD2，
∴（3﹣x）2＝x2+12，
∴x＝，
∴OE＝，AE＝CE＝OC﹣OE＝3﹣＝，
又∵DF⊥AF，
∴DF∥EO，
∴△AEO∽△ADF，
∴AE：AD＝EO：DF＝AO：AF，
即：3＝：DF＝1：AF，
∴DF＝，AF＝，
∴OF＝﹣1＝，
∴D的坐标为：（﹣，）．
故答案为：（﹣，）．
18．如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是 ．
【分析】如图，作FH⊥PE于H．利用勾股定理求出EF，再证明△CEF∽△FEP，可得EF2＝EC•EP，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，作FH⊥PE于H．
∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，
∴AC＝5，∠ACD＝∠FCH＝45°，
∵∠FHC＝90°，CF＝2，
∴CH＝HF＝，
∵CE＝4AE，
∴EC＝4，AE＝，
∴EH＝5，
在Rt△EFH中，EF2＝EH2+FH2＝（5）2+（）2＝52，
∵∠GEF＝∠GCF＝90°，
∴E，G，F，C四点共圆，
∴∠EFG＝∠ECG＝45°，
∴∠ECF＝∠EFP＝135°，
∵∠CEF＝∠FEP，
∴△CEF∽△FEP，
∴＝，
∴EF2＝EC•EP，
∴EP＝＝．
故答案为．
三．解答题（共10小题）
19．（1）计算：3tan30°+cos45°﹣2sin60°
（2）解方程：x2+3x﹣4＝0．
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值即可计算；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）3tan30°+cos45°﹣2sin60°
＝3×+﹣2×
＝+﹣
＝；
（2）x2+3x﹣4＝0．
（x﹣1）（x+4）＝0
∴x1＝1 x2＝﹣4．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，若BC＝6，sinA＝，求DE的长．
【分析】在Rt△ABC中，先求出AB，AC继而得出AD，再由△ADE∽△ACB，利用对应边成比例可求出DE．
【解答】解：∵BC＝6，sinA＝，
∴AB＝10，
∴AC＝＝8，
∵D是AB的中点，
∴AD＝AB＝5，
∵△ADE∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得：DE＝．
21．如图，△ABC在平面直角坐标系中，点A（2，﹣1），B（3，2），C（1，0）．解答问题：请按要求对△ABC作如下变换．
（1）将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，位似比为2：1，将△ABC在位似中心的异侧进行放大得到△A2B2C2．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C绕点O逆时针旋转90°的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）连接AO并延长至A2，使A2O＝2AO，连接BO并延长至B2，使B2O＝2BO，连接CO并延长至C2，使C2O＝2CO，然后顺次连接A2、B2、C2即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的图形；
（2）如图所示，△A2B2C2即为△ABC在位似中心O的异侧位似比为2：1的图形．
22．在甲口袋中有三个球分别标有数码1，﹣2，3；在乙口袋中也有三个球分别标有数码4，﹣5，6；已知口袋均不透明，六个球除标码不同外其他均相同，小明从甲口袋中任取一个球，并记下数码，小林从乙口袋中任取一个球，并记下数码．
（1）用树状图或列表法表示所有可能的结果；
（2）求所抽取的两个球数码的乘积为负数的概率．
【分析】（1）利用列表法可得所有等可能结果；
（2）从所有等可能结果中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案．
【解答】解：（1）列表如下：
1
﹣2
3
4
（1，4）
（﹣2，4）
（3，4）
﹣5
（1，﹣5）
（﹣2，﹣5）
（3，﹣5）
6
（1，6）
（﹣2，6）
（3，6）
（2）由表可知，共有9种等可能结果，其中所抽取的两个球数码的乘积为负数的由4种结果，
∴所抽取的两个球数码的乘积为负数的概率为．
23．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长13cm，BC边上的高AD为6cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）求这个正方形零件的边长．
【分析】（1）根据矩形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可．
（2）设正方形零件的边长为xmm，则KD＝EF＝x，AK＝6﹣x，根据EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果．
【解答】解：（1）∵正方形EGHF，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
（2）设EG＝EF＝x
∵△AEF∽△ABC
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
∴正方形零件的边长为cm．
24．如图，直线AC与⊙O相切于点A，点B为⊙O上一点，且OC⊥OB于点O，连接AB交OC于点D．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若AC＝3，OB＝4，求OD的长度．
【分析】（1）欲证明CD＝CA，只要证明∠CDA＝∠DAC即可．
（2）利用勾股定理求出OC即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵OD⊥OB，
∴∠DOB＝90°，
∴∠BDO+∠B＝90°，∠OAD+∠DAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAD＝∠B，
∴∠BDO＝∠DAC，
∵∠BDO＝∠CDA，
∴∠CDA＝∠DAC，
∴CD＝CA．
（2）在Rt△ACO中，OC＝＝＝5，
∵CA＝CD＝3，
∴OD＝OC﹣CD＝2．
25．如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．
【分析】（1）将点A的坐标代入二次函数解析式求出m的值，再根据二次函数解析式求出点C的坐标，然后求出点B的坐标，最后利用待定系数法求一次函数解析式求解即可；
（2）根据函数图象点A以及点A右边的部分，点B以及点B左边的部分的自变量x的取值范围即为不等式的解集．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），
∴0＝1+m，
∴m＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣1＝x2+4x+3，
∴点C坐标（0，3），
∵对称轴x＝﹣2，B、C关于对称轴对称，
∴点B坐标（﹣4，3），
∵y＝kx+b经过点A、B，
∴，
解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣x﹣1；
（2）由图象可知，满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围为x≤﹣4或x≥﹣1．
26．如图，以AB为直径作⊙O，过点A作⊙O的切线AC，连结BC，交⊙O于点D，点E是BC边的中点，连结AE．
（1）求证：∠AEB＝2∠C；
（2）若AB＝6，cosB＝，求DE的长．
【分析】（1）根据切线的性质证明即可；
（2）连接AD，根据三角函数解答即可．
【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的切线，
∴∠BAC＝90°．
∵点E是BC边的中点，
∴AE＝EC．
∴∠C＝∠EAC，
∵∠AEB＝∠C+∠EAC，
∴∠AEB＝2∠C．
（2）连结AD．
∵AB为直径作⊙O，
∴∠ABD＝90°．
∵AB＝6，，
∴BD＝．
在Rt△ABC中，AB＝6，，
∴BC＝10．
∵点E是BC边的中点，
∴BE＝5．
∴．
27．如图，平行四边形ABCD中，以B为坐标原点建立如图所示直角坐标系，AB⊥AC，AB＝3，AD＝5，点P在边AD上运动（点P不与A重合，但可以与D点重合），以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．
（1）设AP为x，P点坐标为（ +x ， ）（用含x的代数式表示）
（2）当⊙P与边CD相切于点F时，求P点的坐标；
（3）随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围 ＜AP＜或AP＝ ．
【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，由勾股定理可求AC＝4，由三角形的面积公式可得AE＝，由勾股定理可求BE的长，可得点A坐标，即可求点P坐标；
（2）连接PF，由切线的性质可得PF⊥CD，由平行四边形的性质，可得PF∥AC，由相似三角形的性质可得，可求AP的长，即可求点P坐标；
（3）通过图形可求解．
【解答】解：（1）如图，过点A作AE⊥BC于点E
∵AB⊥AC，AB＝3，AD＝5，
∴AC＝＝＝4，
∵S△ABC＝AB×AC＝BC×AE，
∴3×4＝5AE
∴AE＝，
∴BE＝＝＝，
∴点A坐标为（，）
∵AP＝x，
∴点P坐标为（+x，），
故答案为：+x，；
（2）如图，连接PF
∵⊙P与边CD相切于点F
∴PF⊥CD
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，且AB⊥AC
∴AC⊥CD
∴PF∥AC
∴△DPF∽△DAC
∴，
∴，
∴AP＝，
∴点P坐标为（，）；
（3）当＜AP＜或AP＝时，⊙P与平行四边形ABCD的边的4个公共点，如图所示，
28．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点P在第一象限内，当OD＝4PE时：
①求点D、P、E的坐标；
②求四边形POBE的面积．
（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在上，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝1，A（﹣2，0）在抛物线上，x＝﹣＝1，解得：a＝，b＝﹣，即可求解；
（2）设D（m，0），则E（m，m﹣2），P（m，m2﹣m﹣2），OD＝4PE，m＝4（m2﹣m﹣2﹣m+2），即可求解；
（3）分BD为对角线、BD为边，两种情况分别求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝1，A（﹣2，0）在抛物线上，∴x＝﹣＝1，解得：a＝，b＝﹣，
抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）令y＝x2﹣x﹣2＝0，x﹣2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4，
当x＝0时，y＝﹣2，
由B（4，0），C（0，﹣2），得，直线C的表达式为：y＝x﹣2
设D（m，0），∵DP∥y轴，∴E（m，m﹣2），P（m，m2﹣m﹣2），
∵OD＝4PE，
∴m＝4（m2﹣m﹣2﹣m+2），
∴m＝5，m＝0（舍去），
∴D（5，0），P（5，），E（5，），
∴四边形POBE的面积＝S△OPD﹣S△EBD＝×5×﹣×1×＝；
（3）存在，设M（n，n﹣2），
①以BD为对角线，如图1，
∵四边形BNDM是菱形，
∴MN垂直平分BD，
∴n＝4+，
∴M（，），
∵M，N关于x轴对称，
∴N（，﹣）；
②以BD为边，如图2，
∵四边形BDMN是菱形，
∴MN∥BD，MN＝BD＝MD＝1，
过M作MH⊥x轴于H，
∴MH2+DH2＝DM2，
即（n﹣2）2+（n﹣5）2＝12，
∴n1＝4（不合题意），n2＝5.6，
∴N（4.6，），
同理（n﹣2）2+（4﹣n）2＝1，
∴n1＝4+（不合题意，舍去），n2＝4﹣，
∴N（5﹣，﹣），
③以BD为边，如图3，
过M作MH⊥x轴于H，
∴MH2+BH2＝BM2，
即（n﹣2）2+（n﹣4）2＝12，
∴n1＝4+，n2＝4﹣（不合题意，舍去），
∴N（5+，），
综上所述，点N坐标为：（）或 （，）或（5﹣，）或 （5+，）．
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