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2019-2020学年江苏省泰州市海陵区九年级（上）期末数学试卷(解析版)
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这是一份初中数学苏科版九年级上册本册综合课时练习，共23页。试卷主要包含了一组数据等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年江苏省泰州市海陵区九年级（上）期末数学试卷
一.选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）一元二次方程x2﹣3x＝0的两个根是（ ）
A．x1＝0，x2＝﹣3 B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3
2．（3分）若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比等于（ ）
A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
3．（3分）已知⊙O的直径是5，点O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
4．（3分）某次校运会共有13名同学报名参加百米赛跑，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小勇同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
5．（3分）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝1：2，则∠A的度数等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．80°
6．（3分）点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＝y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＝y2＞y3
二.填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.把答案直接填在答题卡相对应的位置上）
7．（3分）已知3a＝4b≠0，那么＝ ．
8．（3分）一组数据：3，2，1，2，2，3，则这组数据的众数是 ．
9．（3分）已知圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则圆锥的侧面积为 cm2．（结果保留π）
10．（3分）将一枚标有数字1、2、3、4、5、6的均匀正方体骰子抛掷一次，则向上一面数字为奇数的概率等于 ．
11．（3分）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2020的值为 ．
12．（3分）把函数y＝2x2的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新函数的图象，则新函数的表达式是 ．
13．（3分）如图，点G为△ABC的重心，GE∥AC，若DE＝2，则DC＝ ．
14．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0有实数根，则m的取值范围是 ．
15．（3分）如图，E是▱ABCD的BC边的中点，BD与AE相交于F，则△ABF与四边形ECDF的面积之比等于 ．
16．（3分）已知点P（x1，y1）和Q（2，y2）在二次函数y＝（x+k）（x﹣k﹣2）的图象上，其中k≠0，若y1＞y2，则x1的取值范围为 ．
三.解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10分）解下列方程：
（1）（y﹣1）2﹣4＝0；
（2）3x2﹣x﹣1＝0．
18．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点（1，﹣4）和（﹣1，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）x在什么范围内，y随x增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值．
19．（8分）一只不透明的袋子中装有标号分别为1、2、3、4、5的5个小球，这些球除标号外都相同．
（1）从袋中任意摸出一个球，摸到标号为偶数的概率是 ；
（2）先从袋中任意摸出一个球后不放回，将球上的标号作为十位上的数字，再从袋中任意摸出一个球，将球上的标号作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数是奇数的概率．
20．（10分）某市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了四次测试，测试成绩如表（单位：环）：
第一次
第二次
第三次
第四次
甲
9
8
8
7
乙
10
6
7
9
（1）根据表格中的数据，分别计算甲、乙两名运动员的平均成绩；
（2）分别计算甲、乙两人四次测试成绩的方差；根据计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适？请说明理由．
21．（10分）小亮晚上在广场散步，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置．
（1）请你在图中画出小亮站在AB处的影子BE；
（2）小亮的身高为1.6m，当小亮离开灯杆的距离OB为2.4m时，影长为1.2m，若小亮离开灯杆的距离OD＝6m时，则小亮（CD）的影长为多少米？
22．（10分）如图，BD、CE是△ABC的高．
（1）求证：△ACE∽△ABD；
（2）若BD＝8，AD＝6，DE＝5，求BC的长．
23．（10分）某公司研发了一种新产品，成本是200元/件，为了对新产品进行合理定价，公司将该产品按拟定的价格进行销售，调查发现日销量y（件）与单价x（元/件）之间存在一次函数关系y＝﹣2x+800（200＜x＜400）．
（1）要使新产品日销售利润达到15000元，则新产品的单价应定为多少元？
（2）为使公司日销售获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？
24．（10分）如图，扇形OAB的半径OA＝4，圆心角∠AOB＝90°，点C是弧AB上异于A、B的一点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE，过点C作弧AB所在圆的切线CG交OA的延长线于点G．
（1）求证：∠CGO＝∠CDE；
（2）若∠CGD＝60°，求图中阴影部分的面积．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，B点的坐标为（6，0），点M为抛物线上的一个动点．
（1）若该二次函数图象的对称轴为直线x＝4时：
①求二次函数的表达式；
②当点M位于x轴下方抛物线图象上时，过点M作x轴的垂线，交BC于点Q，求线段MQ的最大值；
（2）过点M作BC的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n．在点M运动的过程中，试问m+n的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出m+n的值．
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+2的图象与y轴交于A点，与x轴交于B点，⊙P的半径为，其圆心P在x轴上运动．
（1）如图1，当圆心P的坐标为（1，0）时，求证：⊙P与直线AB相切；
（2）在（1）的条件下，点C为⊙P上在第一象限内的一点，过点C作⊙P的切线交直线AB于点D，且∠ADC＝120°，求D点的坐标；
（3）如图2，若⊙P向左运动，圆心P与点B重合，且⊙P与线段AB交于E点，与线段BO相交于F点，G点为弧EF上一点，直接写出AG+OG的最小值 ．
2019-2020学年江苏省泰州市海陵区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）一元二次方程x2﹣3x＝0的两个根是（ ）
A．x1＝0，x2＝﹣3 B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3
【分析】先把方程的左边利用提公因式法进行因式分解，再根据有理数的乘法法则计算，得到方程的解．
【解答】解：x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x＝0或x﹣3＝0，
x1＝0，x2＝3，
故选：B．
2．（3分）若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比等于（ ）
A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是1：2，
∴这两个三角形们的面积比为1：4，
故选：D．
3．（3分）已知⊙O的直径是5，点O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
【分析】通过比较圆的半径与点O到直线l的距离的大小判定直线l与⊙O的位置关系．
【解答】解：∵⊙O的直径是5，
∴⊙O的半径是2.5，
∵点O到直线l的距离为3，
∴点O到直线l的距离大于圆的半径，
∴直线l与⊙O的位置关系为相离．
故选：A．
4．（3分）某次校运会共有13名同学报名参加百米赛跑，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小勇同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【分析】由于有13名同学参加百米赛跑，要取前6名参加决赛，故应考虑中位数的大小．
【解答】解：共有13名学生参加比赛，取前6名，所以小勇需要知道自己的成绩是否进入前六．
我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第7名学生的成绩是这组数据的中位数，
所以小勇知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．
故选：C．
5．（3分）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝1：2，则∠A的度数等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．80°
【分析】设∠A、∠C分别为x、2x，根据圆内接四边形的性质列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设∠A、∠C分别为x、2x，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴x+2x＝180°，
解得，x＝60°，即∠A＝60°，
故选：C．
6．（3分）点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＝y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＝y2＞y3
【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x＝1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，可判断y1＝y2＞y3．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+c，
∴对称轴为x＝1，开口向下，
P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵3＜5，
∴y2＞y3，
根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，
故y1＝y2＞y3，
故选：D．
二.填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.把答案直接填在答题卡相对应的位置上）
7．（3分）已知3a＝4b≠0，那么＝ ．
【分析】根据等式的性质：两边都除以（3b），可得答案．
【解答】解：两边都除以（3b），得
＝，
故答案为：．
8．（3分）一组数据：3，2，1，2，2，3，则这组数据的众数是 2 ．
【分析】找出这组数据中出现次数最多的数据，根据众数的概念判断即可．
【解答】解：在数据：3，2，1，2，2，3中，2出现3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是2，
故答案为：2．
9．（3分）已知圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则圆锥的侧面积为 15π cm2．（结果保留π）
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：底面圆的半径为3cm，则底面周长＝6πcm，侧面面积＝×6π×5＝15π（cm2）．
故答案为：15π．
10．（3分）将一枚标有数字1、2、3、4、5、6的均匀正方体骰子抛掷一次，则向上一面数字为奇数的概率等于 ．
【分析】在正方体骰子中，写有奇数的有3面，一共有6面，根据概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比求解即可．
【解答】解：∵在正方体骰子中，朝上的数字共有6种，为奇数的情况有3种，分别是：1，3，5，
∴朝上的数字为奇数的概率是＝；
故答案为：．
11．（3分）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2020的值为 2023 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1，
∴原式＝3（2m2﹣3m）+2020＝2023．
故答案为：2023．
12．（3分）把函数y＝2x2的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新函数的图象，则新函数的表达式是 y＝2（x﹣3）2﹣2 ．
【分析】根据函数图象的平移规律，可得答案．
【解答】解：由函数y＝2x2的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新函数的图象，得
新函数的表达式是y＝2（x﹣3）2﹣2，
故答案为y＝2（x﹣3）2﹣2．
13．（3分）如图，点G为△ABC的重心，GE∥AC，若DE＝2，则DC＝ 6 ．
【分析】先根据三角形重心的性质得到AG：DG＝2：1，然后根据平行线分线段成比例定理求出CE，从而得到CD的长．
【解答】解：∵点G为△ABC的重心，
∴AG：DG＝2：1，
∵GE∥AC，
∴＝＝2，
∴CE＝2DE＝2×2＝4，
∴CD＝DE+CE＝2+4＝6．
故答案为：6．
14．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0有实数根，则m的取值范围是 m≤且m≠1 ．
【分析】一元二次方程有实数根应注意两种情况：△≥0，二次项的系数不为0．
【解答】解：由题意得：△＝1﹣4（m﹣1）≥0且m﹣1≠0，
解得：m≤且m≠1．
故答案为：m≤且m≠1．
15．（3分）如图，E是▱ABCD的BC边的中点，BD与AE相交于F，则△ABF与四边形ECDF的面积之比等于 ．
【分析】根据同高的三角形面积之比为底与底的比和平行四边形的面积公式，分别用△ABF的面积表示△ABE、△ADF和平行四边形ABCD的面积，进而可求出△ABF与四边形ECDF的面积之比．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
又∵E是▱ABCD的BC边的中点，
∴＝＝＝＝，
∵△ABE和△ABF同高，
∴＝＝，
∴S△ABE＝S△ABF，
设▱ABCD中，BC边上的高为h，
∵S△ABE＝×BE×h，S▱ABCD＝BC×h＝2×BE×h，
∴S▱ABCD＝4S△ABE＝4×S△ABF＝6S△ABF，
∵△ABF与△ADF等高，
∴＝＝2，
∴S△ADF＝2S△ABF，
∴S四边形ECDF＝S▱ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF＝S△ABF，
∴＝，
故答案为：．
16．（3分）已知点P（x1，y1）和Q（2，y2）在二次函数y＝（x+k）（x﹣k﹣2）的图象上，其中k≠0，若y1＞y2，则x1的取值范围为 x1＞2或x1＜0 ．
【分析】根据点P（x1，y1）和Q（2，y2）在二次函数y＝（x+k）（x﹣k﹣2）的图象上，可得y1＝（x1﹣1）2﹣1﹣2k，y2＝﹣2k，根据y1＞y2，即可求出x1 的取值范围．
【解答】解：y＝（x+k）（x﹣k﹣2）
＝（x﹣1）2﹣1﹣2k，
∵点P（x1，y1）和Q（2，y2）在二次函数y＝（x+k）（x﹣k﹣2）的图象上，
∴y1＝（x1﹣1）2﹣1﹣2k，
y2＝﹣2k，
∵y1＞y2，
∴（x1﹣1）2﹣1﹣2k＞﹣2k，
∴（x1﹣1）2＞1，
∴x1＞2或x1＜0．
故答案为：x1＞2或x1＜0．
三.解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10分）解下列方程：
（1）（y﹣1）2﹣4＝0；
（2）3x2﹣x﹣1＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法解出方程；
（2）利用公式法解方程．
【解答】解：（1）（y﹣1）2﹣4＝0，
（y﹣1）2＝4，
y﹣1＝±2，
y＝±2+1，
y1＝3，y2＝﹣1；
（2）3x2﹣x﹣1＝0，
a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1，
△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×3×（﹣1）＝13＞0，
x＝，
x1＝，x2＝．
18．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点（1，﹣4）和（﹣1，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）x在什么范围内，y随x增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值．
【分析】（1）把两个已知点的坐标代入y＝ax2+bx﹣3中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可；
（2）先把一般式化为顶点式，然后利用二次函数的性质解决问题．
【解答】解；（1）根据题意得，解得，
所以抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），
∵a＞0，
∴当x＜1时，y随x增大而减小，该函数有最小值，最小值为﹣4．
19．（8分）一只不透明的袋子中装有标号分别为1、2、3、4、5的5个小球，这些球除标号外都相同．
（1）从袋中任意摸出一个球，摸到标号为偶数的概率是 ；
（2）先从袋中任意摸出一个球后不放回，将球上的标号作为十位上的数字，再从袋中任意摸出一个球，将球上的标号作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数是奇数的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有20种等可能的结果数，找出组成的两位数是奇数的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）从袋中任意摸出一个球，摸到标号为偶数的概率＝；
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中组成的两位数是奇数的结果数为12，
所以组成的两位数是奇数的概率＝＝．
20．（10分）某市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了四次测试，测试成绩如表（单位：环）：
第一次
第二次
第三次
第四次
甲
9
8
8
7
乙
10
6
7
9
（1）根据表格中的数据，分别计算甲、乙两名运动员的平均成绩；
（2）分别计算甲、乙两人四次测试成绩的方差；根据计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适？请说明理由．
【分析】（1）根据平均数的计算公式即可得甲、乙两名运动员的平均成绩；
（2）根据方差公式即可求出甲、乙两名运动员的方差，进而判断出荐谁参加省比赛更合适．
【解答】解：（1）甲的平均成绩是：
（9+8+8+7）÷4＝8，
乙的平均成绩是：
（10+6+7+9）÷4＝8，
（2）甲的方差是：
[（9﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（7﹣8）2]＝，
乙的方差是：
[（10﹣8）2+（6﹣8）2+（7﹣8）2+（9﹣8）2]＝．
所以推荐甲参加省比赛更合适．理由如下：
两人的平均成绩相等，说明实力相当；
但是甲的四次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，
故推荐甲参加省比赛更合适．
21．（10分）小亮晚上在广场散步，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置．
（1）请你在图中画出小亮站在AB处的影子BE；
（2）小亮的身高为1.6m，当小亮离开灯杆的距离OB为2.4m时，影长为1.2m，若小亮离开灯杆的距离OD＝6m时，则小亮（CD）的影长为多少米？
【分析】（1）延长PA交OB于E，则BE为小亮站在AB处的影子；
（2）延长PC交OD于F，如图，则DF为小亮站在CD处的影子，先证明△EBA∽△EOP，利用相似比得到OP＝4.8，再证明△FCD∽△FPO，利用相似的性质得到＝，然后•根据比例的性质求出DF即可．
【解答】解：（1）如图，BE为所作；
（2）延长PC交OD于F，如图，则DF为小亮站在CD处的影子，AB＝CD＝1.6，OB＝2.4，BE＝1.2，OD＝6，
∵AB∥OP，
∴△EBA∽△EOP，
∴＝，即＝，解得OP＝4.8，
∵CD∥OP，
∴△FCD∽△FPO，
∴＝，即＝，解得FD＝3
答：小亮（CD）的影长为3m．
22．（10分）如图，BD、CE是△ABC的高．
（1）求证：△ACE∽△ABD；
（2）若BD＝8，AD＝6，DE＝5，求BC的长．
【分析】（1）BD、CE是△ABC的高，可得∠ADB＝∠AEC＝90°，进而可以证明△ACE∽△ABD；
（2）在Rt△ABD中，BD＝8，AD＝6，根据勾股定理可得AB＝10，结合（1）△ACE∽△ABD，对应边成比例，进而证明△AED∽△ACB，对应边成比例即可求出BC的长．
【解答】解：（1）证明：∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ACE∽△ABD；
（2）在Rt△ABD中，BD＝8，AD＝6，
根据勾股定理，得
AB＝＝10，
∵△ACE∽△ABD，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴＝，
∵DE＝5，
∴BC＝＝．
23．（10分）某公司研发了一种新产品，成本是200元/件，为了对新产品进行合理定价，公司将该产品按拟定的价格进行销售，调查发现日销量y（件）与单价x（元/件）之间存在一次函数关系y＝﹣2x+800（200＜x＜400）．
（1）要使新产品日销售利润达到15000元，则新产品的单价应定为多少元？
（2）为使公司日销售获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？
【分析】（1）根据销售利润＝销量×单件的利润列方程即可得到结论；
（2）设公司日销售获得的利润为w元，根据题意得列函数关系式，由二次函数的性质即可得到结论．．
【解答】解：（1）根据题意得，（﹣2x+800）（x﹣200）＝15000，
解得：x1＝250，x2＝350，
答要使新产品日销售利润达到15000元，则新产品的单价应定为250元或350元；
（2）设公司日销售获得的利润为w元，
根据题意得，w＝y（x﹣200）＝（﹣2x+800）（x﹣200）＝﹣2x2+1200x﹣160000＝﹣2（x﹣300）2+20000，
∵﹣2＜0，
∴当x＝300时，获得最大利润为20000元，
答：为使公司日销售获得最大利润，该产品的单价应定为300元．
24．（10分）如图，扇形OAB的半径OA＝4，圆心角∠AOB＝90°，点C是弧AB上异于A、B的一点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE，过点C作弧AB所在圆的切线CG交OA的延长线于点G．
（1）求证：∠CGO＝∠CDE；
（2）若∠CGD＝60°，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC，推出四边形CEOD是矩形，根据矩形的性质得到CG＝DF＝EF＝OF，∠ECD＝90°，由切线的性质得到∠OCG＝90°，于是得到结论；
（2）解直角三角形得到CD＝2，OD＝2，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）连接OC交DE于F，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CEO＝∠AOB＝∠CDO＝90°，
∴四边形CEOD是矩形，
∴CG＝DF＝EF＝OF，∠ECD＝90°，
∴∠FCD＝∠CDF，∠ECF+∠FCD＝90°，
∵CG是⊙O的切线，
∴∠OCG＝90°，
∴∠OCD+∠GCD＝90°，
∴∠ECF＝∠GCD，
∵∠DCG+∠CGD＝90°，
∴∠FCD＝∠CGD，
∴∠CGO＝∠CDE；
（2）由（1）知，∠CGD＝∠CDE＝60°，
∴∠DCO＝60°，
∴∠COD＝30°，
∵OC＝OA＝4，
∴CD＝2，OD＝2，
∴图中阴影部分的面积＝﹣2×2＝π﹣2．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，B点的坐标为（6，0），点M为抛物线上的一个动点．
（1）若该二次函数图象的对称轴为直线x＝4时：
①求二次函数的表达式；
②当点M位于x轴下方抛物线图象上时，过点M作x轴的垂线，交BC于点Q，求线段MQ的最大值；
（2）过点M作BC的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n．在点M运动的过程中，试问m+n的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出m+n的值．
【分析】（1）①利用待定系数法，对称轴公式构建方程组求出b，c即可．
②如图1中，设M（m，m2﹣8m+12），求出直线BC的解析式，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
（2）结论：m+n的值为定值．由题意直线BC的解析式为y＝（6+b）x﹣36﹣6b，因为MN∥CB，所以可以假设直线MN的解析式为y＝（6+b）x+b′，由，消去y得到：x2﹣6x﹣36﹣6b﹣b′＝0，利用根与系数的关系即可解决问题．
【解答】解：（1）①由题意，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣8x+12．
②如图1中，设M（m，m2﹣8m+12），
∵B（6，0），C（12，0），
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+12，
∵MQ⊥x轴，
∴Q（m，﹣2m+12），
∴QM＝﹣2m+12﹣（m2﹣8m+12）＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣3）2+9，
∵﹣1＜0，
∴m＝﹣3时，QM有最大值，最大值为9．
（2）结论：m+n的值为定值．
理由：如图2中，
由题意B（6，0），C（0，﹣36﹣6b），
设直线BC的解析式为y＝kx﹣36﹣6b，
把（6，0）代入得到：b＝6+b，
∴直线BC的解析式为y＝（6+b）x﹣36﹣6b，
∵MN∥CB，
∴可以假设直线MN的解析式为y＝（6+b）x+b′，
由，消去y得到：x2﹣6x﹣36﹣6b﹣b′＝0，
∴x1+x2＝6，
∵点M、N的横坐标为m、n，
∴m+n＝6．
∴m+n为定值，m+n＝6．
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+2的图象与y轴交于A点，与x轴交于B点，⊙P的半径为，其圆心P在x轴上运动．
（1）如图1，当圆心P的坐标为（1，0）时，求证：⊙P与直线AB相切；
（2）在（1）的条件下，点C为⊙P上在第一象限内的一点，过点C作⊙P的切线交直线AB于点D，且∠ADC＝120°，求D点的坐标；
（3）如图2，若⊙P向左运动，圆心P与点B重合，且⊙P与线段AB交于E点，与线段BO相交于F点，G点为弧EF上一点，直接写出AG+OG的最小值 ．
【分析】（1）如图1中，连接PA．利用相似三角形的性质证明∠PAO＝∠ABO，推出∠BAP＝90°即可解决问题．
（2）如图1﹣1中，连接PA，PD．解直角三角形求出AD，设D（m，m+2），构建方程求出m即可解决问题．
（3）在BA上取一点J，使得BJ＝，连接BG，OJ，JG．利用相似三角形的性质证明GJ＝AG，把求AG+OG的最小值，转化为求JG+OG的最小值，求出OJ即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，连接PA．
∵一次函数y＝x+2的图象与y轴交于A点，与x轴交于B点，
∴A（0，2），B（﹣4，0），
∴OA＝2，OB＝4，
∵P（1，0），
∴OP＝1，
∴OA2＝OB•OP，
∴＝，
∵∠AOB＝∠AOP＝90°，
∴△AOB∽△POA，
∴∠OAP＝∠ABO，
∵∠OAP+∠APO＝90°，
∴∠ABO+∠APO＝90°，
∴∠BAP＝90°，
∴PA⊥AB，
∴AB是⊙P的切线．
（2）如图1﹣1中，连接PA，PD．
∵DA，DC是⊙P的切线，∠ADC＝120°，
∴∠ADP＝∠PDC＝∠ADC＝60°，
∵∠APD＝30°，
∵∠PAD＝90°
∴AD＝PA•tan30°＝，
设D（m，m+2），
∵A（0，2），
∴m2+（m+2﹣2）2＝，
解得m＝±，
∵点D在第一象限，
∴m＝，
∴D（，+2）．
（3）在BA上取一点J，使得BJ＝，连接BG，OJ，JG．
∵OA＝2，OB＝4，∠AOB＝90°，
∴AB＝＝＝2，
∵BG＝，BJ＝，
∴BG2＝BJ•BA，
∴＝，
∵∠JBG＝∠ABG，
∴△BJG∽△BGA，
∴＝＝，
∴GJ＝AG，
∴AG+OG＝GJ+OG，
∵BJ＝，
∴J（﹣3，），
∴OJ＝＝
∵GJ+OG≥OJ，
∴AG+OG≥，
∴AG+OG的最小值为．
故答案为．
2019-2020学年江苏省泰州市海陵区九年级（上）期末数学试卷
一.选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）一元二次方程x2﹣3x＝0的两个根是（ ）
A．x1＝0，x2＝﹣3 B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3
2．（3分）若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比等于（ ）
A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
3．（3分）已知⊙O的直径是5，点O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
4．（3分）某次校运会共有13名同学报名参加百米赛跑，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小勇同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
5．（3分）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝1：2，则∠A的度数等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．80°
6．（3分）点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＝y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＝y2＞y3
二.填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.把答案直接填在答题卡相对应的位置上）
7．（3分）已知3a＝4b≠0，那么＝ ．
8．（3分）一组数据：3，2，1，2，2，3，则这组数据的众数是 ．
9．（3分）已知圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则圆锥的侧面积为 cm2．（结果保留π）
10．（3分）将一枚标有数字1、2、3、4、5、6的均匀正方体骰子抛掷一次，则向上一面数字为奇数的概率等于 ．
11．（3分）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2020的值为 ．
12．（3分）把函数y＝2x2的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新函数的图象，则新函数的表达式是 ．
13．（3分）如图，点G为△ABC的重心，GE∥AC，若DE＝2，则DC＝ ．
14．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0有实数根，则m的取值范围是 ．
15．（3分）如图，E是▱ABCD的BC边的中点，BD与AE相交于F，则△ABF与四边形ECDF的面积之比等于 ．
16．（3分）已知点P（x1，y1）和Q（2，y2）在二次函数y＝（x+k）（x﹣k﹣2）的图象上，其中k≠0，若y1＞y2，则x1的取值范围为 ．
三.解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10分）解下列方程：
（1）（y﹣1）2﹣4＝0；
（2）3x2﹣x﹣1＝0．
18．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点（1，﹣4）和（﹣1，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）x在什么范围内，y随x增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值．
19．（8分）一只不透明的袋子中装有标号分别为1、2、3、4、5的5个小球，这些球除标号外都相同．
（1）从袋中任意摸出一个球，摸到标号为偶数的概率是 ；
（2）先从袋中任意摸出一个球后不放回，将球上的标号作为十位上的数字，再从袋中任意摸出一个球，将球上的标号作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数是奇数的概率．
20．（10分）某市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了四次测试，测试成绩如表（单位：环）：
第一次
第二次
第三次
第四次
甲
9
8
8
7
乙
10
6
7
9
（1）根据表格中的数据，分别计算甲、乙两名运动员的平均成绩；
（2）分别计算甲、乙两人四次测试成绩的方差；根据计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适？请说明理由．
21．（10分）小亮晚上在广场散步，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置．
（1）请你在图中画出小亮站在AB处的影子BE；
（2）小亮的身高为1.6m，当小亮离开灯杆的距离OB为2.4m时，影长为1.2m，若小亮离开灯杆的距离OD＝6m时，则小亮（CD）的影长为多少米？
22．（10分）如图，BD、CE是△ABC的高．
（1）求证：△ACE∽△ABD；
（2）若BD＝8，AD＝6，DE＝5，求BC的长．
23．（10分）某公司研发了一种新产品，成本是200元/件，为了对新产品进行合理定价，公司将该产品按拟定的价格进行销售，调查发现日销量y（件）与单价x（元/件）之间存在一次函数关系y＝﹣2x+800（200＜x＜400）．
（1）要使新产品日销售利润达到15000元，则新产品的单价应定为多少元？
（2）为使公司日销售获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？
24．（10分）如图，扇形OAB的半径OA＝4，圆心角∠AOB＝90°，点C是弧AB上异于A、B的一点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE，过点C作弧AB所在圆的切线CG交OA的延长线于点G．
（1）求证：∠CGO＝∠CDE；
（2）若∠CGD＝60°，求图中阴影部分的面积．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，B点的坐标为（6，0），点M为抛物线上的一个动点．
（1）若该二次函数图象的对称轴为直线x＝4时：
①求二次函数的表达式；
②当点M位于x轴下方抛物线图象上时，过点M作x轴的垂线，交BC于点Q，求线段MQ的最大值；
（2）过点M作BC的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n．在点M运动的过程中，试问m+n的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出m+n的值．
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+2的图象与y轴交于A点，与x轴交于B点，⊙P的半径为，其圆心P在x轴上运动．
（1）如图1，当圆心P的坐标为（1，0）时，求证：⊙P与直线AB相切；
（2）在（1）的条件下，点C为⊙P上在第一象限内的一点，过点C作⊙P的切线交直线AB于点D，且∠ADC＝120°，求D点的坐标；
（3）如图2，若⊙P向左运动，圆心P与点B重合，且⊙P与线段AB交于E点，与线段BO相交于F点，G点为弧EF上一点，直接写出AG+OG的最小值 ．
2019-2020学年江苏省泰州市海陵区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）一元二次方程x2﹣3x＝0的两个根是（ ）
A．x1＝0，x2＝﹣3 B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3
【分析】先把方程的左边利用提公因式法进行因式分解，再根据有理数的乘法法则计算，得到方程的解．
【解答】解：x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x＝0或x﹣3＝0，
x1＝0，x2＝3，
故选：B．
2．（3分）若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比等于（ ）
A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是1：2，
∴这两个三角形们的面积比为1：4，
故选：D．
3．（3分）已知⊙O的直径是5，点O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
【分析】通过比较圆的半径与点O到直线l的距离的大小判定直线l与⊙O的位置关系．
【解答】解：∵⊙O的直径是5，
∴⊙O的半径是2.5，
∵点O到直线l的距离为3，
∴点O到直线l的距离大于圆的半径，
∴直线l与⊙O的位置关系为相离．
故选：A．
4．（3分）某次校运会共有13名同学报名参加百米赛跑，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小勇同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【分析】由于有13名同学参加百米赛跑，要取前6名参加决赛，故应考虑中位数的大小．
【解答】解：共有13名学生参加比赛，取前6名，所以小勇需要知道自己的成绩是否进入前六．
我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第7名学生的成绩是这组数据的中位数，
所以小勇知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．
故选：C．
5．（3分）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝1：2，则∠A的度数等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．80°
【分析】设∠A、∠C分别为x、2x，根据圆内接四边形的性质列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设∠A、∠C分别为x、2x，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴x+2x＝180°，
解得，x＝60°，即∠A＝60°，
故选：C．
6．（3分）点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＝y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＝y2＞y3
【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x＝1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，可判断y1＝y2＞y3．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+c，
∴对称轴为x＝1，开口向下，
P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵3＜5，
∴y2＞y3，
根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，
故y1＝y2＞y3，
故选：D．
二.填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.把答案直接填在答题卡相对应的位置上）
7．（3分）已知3a＝4b≠0，那么＝ ．
【分析】根据等式的性质：两边都除以（3b），可得答案．
【解答】解：两边都除以（3b），得
＝，
故答案为：．
8．（3分）一组数据：3，2，1，2，2，3，则这组数据的众数是 2 ．
【分析】找出这组数据中出现次数最多的数据，根据众数的概念判断即可．
【解答】解：在数据：3，2，1，2，2，3中，2出现3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是2，
故答案为：2．
9．（3分）已知圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则圆锥的侧面积为 15π cm2．（结果保留π）
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：底面圆的半径为3cm，则底面周长＝6πcm，侧面面积＝×6π×5＝15π（cm2）．
故答案为：15π．
10．（3分）将一枚标有数字1、2、3、4、5、6的均匀正方体骰子抛掷一次，则向上一面数字为奇数的概率等于 ．
【分析】在正方体骰子中，写有奇数的有3面，一共有6面，根据概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比求解即可．
【解答】解：∵在正方体骰子中，朝上的数字共有6种，为奇数的情况有3种，分别是：1，3，5，
∴朝上的数字为奇数的概率是＝；
故答案为：．
11．（3分）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2020的值为 2023 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1，
∴原式＝3（2m2﹣3m）+2020＝2023．
故答案为：2023．
12．（3分）把函数y＝2x2的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新函数的图象，则新函数的表达式是 y＝2（x﹣3）2﹣2 ．
【分析】根据函数图象的平移规律，可得答案．
【解答】解：由函数y＝2x2的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新函数的图象，得
新函数的表达式是y＝2（x﹣3）2﹣2，
故答案为y＝2（x﹣3）2﹣2．
13．（3分）如图，点G为△ABC的重心，GE∥AC，若DE＝2，则DC＝ 6 ．
【分析】先根据三角形重心的性质得到AG：DG＝2：1，然后根据平行线分线段成比例定理求出CE，从而得到CD的长．
【解答】解：∵点G为△ABC的重心，
∴AG：DG＝2：1，
∵GE∥AC，
∴＝＝2，
∴CE＝2DE＝2×2＝4，
∴CD＝DE+CE＝2+4＝6．
故答案为：6．
14．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0有实数根，则m的取值范围是 m≤且m≠1 ．
【分析】一元二次方程有实数根应注意两种情况：△≥0，二次项的系数不为0．
【解答】解：由题意得：△＝1﹣4（m﹣1）≥0且m﹣1≠0，
解得：m≤且m≠1．
故答案为：m≤且m≠1．
15．（3分）如图，E是▱ABCD的BC边的中点，BD与AE相交于F，则△ABF与四边形ECDF的面积之比等于 ．
【分析】根据同高的三角形面积之比为底与底的比和平行四边形的面积公式，分别用△ABF的面积表示△ABE、△ADF和平行四边形ABCD的面积，进而可求出△ABF与四边形ECDF的面积之比．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
又∵E是▱ABCD的BC边的中点，
∴＝＝＝＝，
∵△ABE和△ABF同高，
∴＝＝，
∴S△ABE＝S△ABF，
设▱ABCD中，BC边上的高为h，
∵S△ABE＝×BE×h，S▱ABCD＝BC×h＝2×BE×h，
∴S▱ABCD＝4S△ABE＝4×S△ABF＝6S△ABF，
∵△ABF与△ADF等高，
∴＝＝2，
∴S△ADF＝2S△ABF，
∴S四边形ECDF＝S▱ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF＝S△ABF，
∴＝，
故答案为：．
16．（3分）已知点P（x1，y1）和Q（2，y2）在二次函数y＝（x+k）（x﹣k﹣2）的图象上，其中k≠0，若y1＞y2，则x1的取值范围为 x1＞2或x1＜0 ．
【分析】根据点P（x1，y1）和Q（2，y2）在二次函数y＝（x+k）（x﹣k﹣2）的图象上，可得y1＝（x1﹣1）2﹣1﹣2k，y2＝﹣2k，根据y1＞y2，即可求出x1 的取值范围．
【解答】解：y＝（x+k）（x﹣k﹣2）
＝（x﹣1）2﹣1﹣2k，
∵点P（x1，y1）和Q（2，y2）在二次函数y＝（x+k）（x﹣k﹣2）的图象上，
∴y1＝（x1﹣1）2﹣1﹣2k，
y2＝﹣2k，
∵y1＞y2，
∴（x1﹣1）2﹣1﹣2k＞﹣2k，
∴（x1﹣1）2＞1，
∴x1＞2或x1＜0．
故答案为：x1＞2或x1＜0．
三.解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10分）解下列方程：
（1）（y﹣1）2﹣4＝0；
（2）3x2﹣x﹣1＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法解出方程；
（2）利用公式法解方程．
【解答】解：（1）（y﹣1）2﹣4＝0，
（y﹣1）2＝4，
y﹣1＝±2，
y＝±2+1，
y1＝3，y2＝﹣1；
（2）3x2﹣x﹣1＝0，
a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1，
△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×3×（﹣1）＝13＞0，
x＝，
x1＝，x2＝．
18．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点（1，﹣4）和（﹣1，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）x在什么范围内，y随x增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值．
【分析】（1）把两个已知点的坐标代入y＝ax2+bx﹣3中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可；
（2）先把一般式化为顶点式，然后利用二次函数的性质解决问题．
【解答】解；（1）根据题意得，解得，
所以抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），
∵a＞0，
∴当x＜1时，y随x增大而减小，该函数有最小值，最小值为﹣4．
19．（8分）一只不透明的袋子中装有标号分别为1、2、3、4、5的5个小球，这些球除标号外都相同．
（1）从袋中任意摸出一个球，摸到标号为偶数的概率是 ；
（2）先从袋中任意摸出一个球后不放回，将球上的标号作为十位上的数字，再从袋中任意摸出一个球，将球上的标号作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数是奇数的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有20种等可能的结果数，找出组成的两位数是奇数的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）从袋中任意摸出一个球，摸到标号为偶数的概率＝；
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中组成的两位数是奇数的结果数为12，
所以组成的两位数是奇数的概率＝＝．
20．（10分）某市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了四次测试，测试成绩如表（单位：环）：
第一次
第二次
第三次
第四次
甲
9
8
8
7
乙
10
6
7
9
（1）根据表格中的数据，分别计算甲、乙两名运动员的平均成绩；
（2）分别计算甲、乙两人四次测试成绩的方差；根据计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适？请说明理由．
【分析】（1）根据平均数的计算公式即可得甲、乙两名运动员的平均成绩；
（2）根据方差公式即可求出甲、乙两名运动员的方差，进而判断出荐谁参加省比赛更合适．
【解答】解：（1）甲的平均成绩是：
（9+8+8+7）÷4＝8，
乙的平均成绩是：
（10+6+7+9）÷4＝8，
（2）甲的方差是：
[（9﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（7﹣8）2]＝，
乙的方差是：
[（10﹣8）2+（6﹣8）2+（7﹣8）2+（9﹣8）2]＝．
所以推荐甲参加省比赛更合适．理由如下：
两人的平均成绩相等，说明实力相当；
但是甲的四次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，
故推荐甲参加省比赛更合适．
21．（10分）小亮晚上在广场散步，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置．
（1）请你在图中画出小亮站在AB处的影子BE；
（2）小亮的身高为1.6m，当小亮离开灯杆的距离OB为2.4m时，影长为1.2m，若小亮离开灯杆的距离OD＝6m时，则小亮（CD）的影长为多少米？
【分析】（1）延长PA交OB于E，则BE为小亮站在AB处的影子；
（2）延长PC交OD于F，如图，则DF为小亮站在CD处的影子，先证明△EBA∽△EOP，利用相似比得到OP＝4.8，再证明△FCD∽△FPO，利用相似的性质得到＝，然后•根据比例的性质求出DF即可．
【解答】解：（1）如图，BE为所作；
（2）延长PC交OD于F，如图，则DF为小亮站在CD处的影子，AB＝CD＝1.6，OB＝2.4，BE＝1.2，OD＝6，
∵AB∥OP，
∴△EBA∽△EOP，
∴＝，即＝，解得OP＝4.8，
∵CD∥OP，
∴△FCD∽△FPO，
∴＝，即＝，解得FD＝3
答：小亮（CD）的影长为3m．
22．（10分）如图，BD、CE是△ABC的高．
（1）求证：△ACE∽△ABD；
（2）若BD＝8，AD＝6，DE＝5，求BC的长．
【分析】（1）BD、CE是△ABC的高，可得∠ADB＝∠AEC＝90°，进而可以证明△ACE∽△ABD；
（2）在Rt△ABD中，BD＝8，AD＝6，根据勾股定理可得AB＝10，结合（1）△ACE∽△ABD，对应边成比例，进而证明△AED∽△ACB，对应边成比例即可求出BC的长．
【解答】解：（1）证明：∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ACE∽△ABD；
（2）在Rt△ABD中，BD＝8，AD＝6，
根据勾股定理，得
AB＝＝10，
∵△ACE∽△ABD，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴＝，
∵DE＝5，
∴BC＝＝．
23．（10分）某公司研发了一种新产品，成本是200元/件，为了对新产品进行合理定价，公司将该产品按拟定的价格进行销售，调查发现日销量y（件）与单价x（元/件）之间存在一次函数关系y＝﹣2x+800（200＜x＜400）．
（1）要使新产品日销售利润达到15000元，则新产品的单价应定为多少元？
（2）为使公司日销售获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？
【分析】（1）根据销售利润＝销量×单件的利润列方程即可得到结论；
（2）设公司日销售获得的利润为w元，根据题意得列函数关系式，由二次函数的性质即可得到结论．．
【解答】解：（1）根据题意得，（﹣2x+800）（x﹣200）＝15000，
解得：x1＝250，x2＝350，
答要使新产品日销售利润达到15000元，则新产品的单价应定为250元或350元；
（2）设公司日销售获得的利润为w元，
根据题意得，w＝y（x﹣200）＝（﹣2x+800）（x﹣200）＝﹣2x2+1200x﹣160000＝﹣2（x﹣300）2+20000，
∵﹣2＜0，
∴当x＝300时，获得最大利润为20000元，
答：为使公司日销售获得最大利润，该产品的单价应定为300元．
24．（10分）如图，扇形OAB的半径OA＝4，圆心角∠AOB＝90°，点C是弧AB上异于A、B的一点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE，过点C作弧AB所在圆的切线CG交OA的延长线于点G．
（1）求证：∠CGO＝∠CDE；
（2）若∠CGD＝60°，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC，推出四边形CEOD是矩形，根据矩形的性质得到CG＝DF＝EF＝OF，∠ECD＝90°，由切线的性质得到∠OCG＝90°，于是得到结论；
（2）解直角三角形得到CD＝2，OD＝2，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）连接OC交DE于F，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CEO＝∠AOB＝∠CDO＝90°，
∴四边形CEOD是矩形，
∴CG＝DF＝EF＝OF，∠ECD＝90°，
∴∠FCD＝∠CDF，∠ECF+∠FCD＝90°，
∵CG是⊙O的切线，
∴∠OCG＝90°，
∴∠OCD+∠GCD＝90°，
∴∠ECF＝∠GCD，
∵∠DCG+∠CGD＝90°，
∴∠FCD＝∠CGD，
∴∠CGO＝∠CDE；
（2）由（1）知，∠CGD＝∠CDE＝60°，
∴∠DCO＝60°，
∴∠COD＝30°，
∵OC＝OA＝4，
∴CD＝2，OD＝2，
∴图中阴影部分的面积＝﹣2×2＝π﹣2．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，B点的坐标为（6，0），点M为抛物线上的一个动点．
（1）若该二次函数图象的对称轴为直线x＝4时：
①求二次函数的表达式；
②当点M位于x轴下方抛物线图象上时，过点M作x轴的垂线，交BC于点Q，求线段MQ的最大值；
（2）过点M作BC的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n．在点M运动的过程中，试问m+n的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出m+n的值．
【分析】（1）①利用待定系数法，对称轴公式构建方程组求出b，c即可．
②如图1中，设M（m，m2﹣8m+12），求出直线BC的解析式，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
（2）结论：m+n的值为定值．由题意直线BC的解析式为y＝（6+b）x﹣36﹣6b，因为MN∥CB，所以可以假设直线MN的解析式为y＝（6+b）x+b′，由，消去y得到：x2﹣6x﹣36﹣6b﹣b′＝0，利用根与系数的关系即可解决问题．
【解答】解：（1）①由题意，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣8x+12．
②如图1中，设M（m，m2﹣8m+12），
∵B（6，0），C（12，0），
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+12，
∵MQ⊥x轴，
∴Q（m，﹣2m+12），
∴QM＝﹣2m+12﹣（m2﹣8m+12）＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣3）2+9，
∵﹣1＜0，
∴m＝﹣3时，QM有最大值，最大值为9．
（2）结论：m+n的值为定值．
理由：如图2中，
由题意B（6，0），C（0，﹣36﹣6b），
设直线BC的解析式为y＝kx﹣36﹣6b，
把（6，0）代入得到：b＝6+b，
∴直线BC的解析式为y＝（6+b）x﹣36﹣6b，
∵MN∥CB，
∴可以假设直线MN的解析式为y＝（6+b）x+b′，
由，消去y得到：x2﹣6x﹣36﹣6b﹣b′＝0，
∴x1+x2＝6，
∵点M、N的横坐标为m、n，
∴m+n＝6．
∴m+n为定值，m+n＝6．
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+2的图象与y轴交于A点，与x轴交于B点，⊙P的半径为，其圆心P在x轴上运动．
（1）如图1，当圆心P的坐标为（1，0）时，求证：⊙P与直线AB相切；
（2）在（1）的条件下，点C为⊙P上在第一象限内的一点，过点C作⊙P的切线交直线AB于点D，且∠ADC＝120°，求D点的坐标；
（3）如图2，若⊙P向左运动，圆心P与点B重合，且⊙P与线段AB交于E点，与线段BO相交于F点，G点为弧EF上一点，直接写出AG+OG的最小值 ．
【分析】（1）如图1中，连接PA．利用相似三角形的性质证明∠PAO＝∠ABO，推出∠BAP＝90°即可解决问题．
（2）如图1﹣1中，连接PA，PD．解直角三角形求出AD，设D（m，m+2），构建方程求出m即可解决问题．
（3）在BA上取一点J，使得BJ＝，连接BG，OJ，JG．利用相似三角形的性质证明GJ＝AG，把求AG+OG的最小值，转化为求JG+OG的最小值，求出OJ即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，连接PA．
∵一次函数y＝x+2的图象与y轴交于A点，与x轴交于B点，
∴A（0，2），B（﹣4，0），
∴OA＝2，OB＝4，
∵P（1，0），
∴OP＝1，
∴OA2＝OB•OP，
∴＝，
∵∠AOB＝∠AOP＝90°，
∴△AOB∽△POA，
∴∠OAP＝∠ABO，
∵∠OAP+∠APO＝90°，
∴∠ABO+∠APO＝90°，
∴∠BAP＝90°，
∴PA⊥AB，
∴AB是⊙P的切线．
（2）如图1﹣1中，连接PA，PD．
∵DA，DC是⊙P的切线，∠ADC＝120°，
∴∠ADP＝∠PDC＝∠ADC＝60°，
∵∠APD＝30°，
∵∠PAD＝90°
∴AD＝PA•tan30°＝，
设D（m，m+2），
∵A（0，2），
∴m2+（m+2﹣2）2＝，
解得m＝±，
∵点D在第一象限，
∴m＝，
∴D（，+2）．
（3）在BA上取一点J，使得BJ＝，连接BG，OJ，JG．
∵OA＝2，OB＝4，∠AOB＝90°，
∴AB＝＝＝2，
∵BG＝，BJ＝，
∴BG2＝BJ•BA，
∴＝，
∵∠JBG＝∠ABG，
∴△BJG∽△BGA，
∴＝＝，
∴GJ＝AG，
∴AG+OG＝GJ+OG，
∵BJ＝，
∴J（﹣3，），
∴OJ＝＝
∵GJ+OG≥OJ，
∴AG+OG≥，
∴AG+OG的最小值为．
故答案为．
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