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江苏省无锡市2020-2021学年上学期期末考试八年级数学试卷 解析版
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这是一份江苏省无锡市2020-2021学年上学期期末考试八年级数学试卷 解析版，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列图案不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．给出下列一组数：0，，，﹣4，，0.1818818881…（每两个1之间依次多1个8），其中，无理数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．已知点P在第三象限内，点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是1，那么点P的坐标为（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，﹣1）
4．一次函数y＝3x﹣4的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．一次函数y＝2x﹣1与y＝x+1的图象交点坐标为（ ）
A．（﹣2，3）B．（2，﹣3）C．（2，3）D．（﹣2，﹣3）
6．给出下列四个说法：①一个数的平方等于1，那么这个数就是1；②4是8的算术平方根；③平方根等于它本身的数只有0；④8的立方根是±2．其中，正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．②③D．③
7．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．6，12，8B．7，24，25C．1.5，2，2.5D．9，12，15
8．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（ ）
A．25°B．25或40°C．25°或 35°D．40°
9．下列条件中，能判断两个直角三角形全等的是（ ）
A．有两条边分别相等
B．有一个锐角和一条边相等
C．有一条斜边相等
D．有一直角边和斜边上的高分别相等
10．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，2）和点B（﹣2，0），一次函数y＝mx的图象经过点A，则关于x的不等式组0＜kx+b＜mx的解集为（ ）
A．﹣2＜x＜﹣1B．﹣1＜x＜0C．x＜﹣1D．x＞﹣1
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．9的平方根是 ．
12．某人一天饮水1890mL，请用四舍五入法将1890mL精确到1000mL，并用科学记数法表示为 mL．
13．点P（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标是 ．
14．已知一次函数y＝2x+m的图象是由一次函数y＝2x﹣3的图象沿y轴向上平移8个单位得到的，则m＝ ．
15．若直角三角形斜边上的高是4m，斜边上的中线是5m，则这个直角三角形的面积是 ．
16．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线交于点O，若∠BOC＝80°，则∠A＝ ．
17．如图，已知△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．CE为△ACD的角平分线，若CD＝12，BC＝13，且△BCE的面积为48，则点E到AC的距离为 ．
18．如图，已知直线AB与y轴交于点A（0，2），与x轴的负半轴交于点B，且∠ABO＝30°，点C为x轴的正半轴上一点，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转60°得线段CD，连接BD，若BD＝，则点C的坐标为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）计算：﹣（﹣π）0+（）﹣2；
（2）（2x﹣1）3﹣27＝0．
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC平分∠DAB，DE⊥AC，垂足为E，且AE＝AB．
（1）请找出图中的全等三角形，并给予证明；
（2）若∠DAC＝30°，求∠DCA的度数．
21．（8分）如图，已知点A（6，0）、点B（0，﹣2）．
（1）求直线AB所对应的函数表达式；
（2）在x轴上找一点P，满足PA＝PB，求P点的坐标．
22．（6分）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将此图形折叠得图②，折痕为AF，且点C恰好落在边AB上点C′处，求C′F的长．
23．（6分）如图，已知四边形ABCD．
（1）在边BC上找一点P，使得AP+PD的值最小，在图①中画出点P；
（2）请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：
①在线段AC上找一点M，使得BM＝CM，请在图②中作出点M；
②若AB与CD不平行，且AB＝CD，请在线段AC上找一点N，使得△ABN和△CDN的面积相等，请在图③中作出点N．
24．（10分）某企业准备购买一批爱心物资捐赠给学校．经了解，若购买洗手液300瓶和口罩200包，则共需6000元；若购买洗手液500瓶和口罩300包，则共需9500元．
（1）问：每瓶洗手液和每包口罩的价格各是多少元？
（2）现计划购买洗手液和口罩，若购买这两种物资的总费用不超过11500元，洗手液瓶数和口罩的包数之和为1000，且洗手液的瓶数不大于口罩包数的3倍．设购买洗手液m瓶，购买这两种物资的总费用为W元，请写出W（元）与m（瓶）之间的函数关系式，并求出W的最小值．
25．（10分）如图，已知一次函数y＝﹣x+8的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，与一次函数y＝x的图象相交于点C．
（1）求点C坐标．
（2）若点Q在直线AB上，且△OCQ的面积等于12，请求出点Q的坐标．
（3）小明在探究中发现：若P为x轴上一动点，将线段PC绕点P按顺时针方向旋转90°得线段PC'，在点P的运动过程中，点C′始终在某一直线上运动．请直接写出该直线所对应的函数关系式： ．
26．（10分）如图①，在长方形ABCD中，已知AB＝20，AD＝12，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，设点D关于AP的对称点为点E．
（1）如图②，射线PE恰好经过点B，试求此时t的值．
（2）当射线PE与边AB交于点Q时，
①请直接写出AQ长的取值范围： ；
②是否存在这样的t的值，使得QE＝QB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
2020-2021学年江苏省无锡市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1．下列图案不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、本选项中图案是轴对称图形，不符合题意；
B、本选项中图案是轴对称图形，不符合题意；
C、本选项中图案不是轴对称图形，符合题意；
D、本选项中图案是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
2．给出下列一组数：0，，，﹣4，，0.1818818881…（每两个1之间依次多1个8），其中，无理数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】无理数就是无限不循环小数，依据定义即可判断．
【解答】解：无理数有，，0.1818818881…（每两个1之间依次多1个8），共3个，
故选：B．
3．已知点P在第三象限内，点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是1，那么点P的坐标为（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，﹣1）
【分析】根据第三象限点的横坐标与纵坐标都是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答即可．
【解答】解：∵点P在第三象限内，点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是1，
∴点P的横坐标为﹣1，纵坐标为﹣2，
∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）．
故选：C．
4．一次函数y＝3x﹣4的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据k、b的值确定一次函数y＝3x﹣4的图象经过的象限．
【解答】解：k＝3＞0，图象过一三象限；b＝﹣4＜0，图象过第四象限，
∴一次函数y＝3x﹣4的图象不经过第二象限．
故选：B．
5．一次函数y＝2x﹣1与y＝x+1的图象交点坐标为（ ）
A．（﹣2，3）B．（2，﹣3）C．（2，3）D．（﹣2，﹣3）
【分析】联立两函数解析式，解方程组即可．
【解答】解：联立解得：，
∴函数y＝2x﹣1与y＝x+1的图象的交点坐标为（2，3）．
故选：C．
6．给出下列四个说法：①一个数的平方等于1，那么这个数就是1；②4是8的算术平方根；③平方根等于它本身的数只有0；④8的立方根是±2．其中，正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．②③D．③
【分析】分别根据算术平方根的定义、立方根的定义及平方根的定义对各小题进行逐一判断即可．
【解答】解：①∵（±1）2＝1，∴一个数的平方等于1，那么这个数就是1，故①错误；
②∵42＝16，∴4是16的算术平方根，故②错误，
③平方根等于它本身的数只有0，故③正确，
④8的立方根是2，故④错误．
故选：D．
7．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．6，12，8B．7，24，25C．1.5，2，2.5D．9，12，15
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
【解答】解：A、62+82≠122，不符合勾股定理的逆定理，故正确．
B、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，故错误；
C、1.52+22＝2.52，符合勾股定理的逆定理，故错误；
D、92+122＝152，符合勾股定理的逆定理，故错误；
故选：A．
8．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（ ）
A．25°B．25或40°C．25°或 35°D．40°
【分析】根据题意先画出图形，再分两种情况：50°为底角和50°为顶角求出答案．
【解答】解：当50°为底角时，
∵∠B＝∠ACB＝50°，
∴∠BCD＝90°﹣50°＝40°；
当50°为顶角时，
∵∠A＝50°，
∴∠B＝∠ACB＝65°，
∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°．
故选：B．
9．下列条件中，能判断两个直角三角形全等的是（ ）
A．有两条边分别相等
B．有一个锐角和一条边相等
C．有一条斜边相等
D．有一直角边和斜边上的高分别相等
【分析】根据全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS及直角三角形的判定定理HL对4个选项逐个分析，然后即可得出答案．
【解答】解：A、两边分别相等，但是不一定是对应边，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
B、一条边和一锐角对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
C、有一条斜边相等，两直角边不一定对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
D、有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等，故此选项符合题意；
故选：D．
10．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，2）和点B（﹣2，0），一次函数y＝mx的图象经过点A，则关于x的不等式组0＜kx+b＜mx的解集为（ ）
A．﹣2＜x＜﹣1B．﹣1＜x＜0C．x＜﹣1D．x＞﹣1
【分析】利用函数图象，写出在x轴上方且函数y＝kx+b的函数值小于函数y＝mx的函数值对应的自变量的范围即可．
【解答】解：当x＞﹣2时，y＝kx+b＞0；
当x＜﹣1时，kx+b＜mx，
所以不等式组0＜kx+b＜mx的解集为﹣2＜x＜﹣1．
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．9的平方根是 ±3 ．
【分析】直接利用平方根的定义计算即可．
【解答】解：∵±3的平方是9，
∴9的平方根是±3．
故答案为：±3．
12．某人一天饮水1890mL，请用四舍五入法将1890mL精确到1000mL，并用科学记数法表示为 2×103 mL．
【分析】先利用科学记数法表示，然后把百位上的数字8进行四舍五入即可．
【解答】解：1890mL≈2×103（精确到1000mL）．
故答案为：2×103．
13．点P（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标是 （﹣2，﹣3） ．
【分析】两点关于x轴对称，那么横坐标不变，纵坐标互为相反数．
【解答】解：点P（﹣2，3）关于x轴的对称，即横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴对称点的坐标是（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
14．已知一次函数y＝2x+m的图象是由一次函数y＝2x﹣3的图象沿y轴向上平移8个单位得到的，则m＝ 5 ．
【分析】根据平移的规律求得平移后的解析式，即可求得m的值．
【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣3的图象沿y轴向上平移8个单位得到y＝2x﹣3+8，即y＝2x+5，
∴m＝5，
故答案为5．
15．若直角三角形斜边上的高是4m，斜边上的中线是5m，则这个直角三角形的面积是 20m2 ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边的长，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线长是5m，
∴斜边长为10m，
∵直角三角形斜边上的高是4m，
∴这个直角三角形的面积＝×10×4＝20（m2）．
故答案为：20m2．
16．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线交于点O，若∠BOC＝80°，则∠A＝ 40° ．
【分析】连接OA，根据三角形内角和定理得到∠OBC+∠OCB＝100°，根据线段垂直平分线的性质得到AO＝BO，AO＝CO，根据等腰三角形的性质计算即可．
【解答】解：连接OA，
∵∠BOC＝80°，
∴∠OBC+∠OCB＝100°，
∴∠OAB+∠OBA+∠OAC+∠OCA＝80°，
∵AB、AC的垂直平分线交于点O，
∴AO＝BO，AO＝CO，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，
∴∠A＝∠OAB+∠OAC＝40°，
故答案为：40°．
17．如图，已知△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．CE为△ACD的角平分线，若CD＝12，BC＝13，且△BCE的面积为48，则点E到AC的距离为 3 ．
【分析】如图，过点E作EF⊥AC于F，先根据勾股定理计算BD的长，由三角形面积公式可得BE的长，最后根据角平分线的性质可得结论．
【解答】解：如图，过点E作EF⊥AC于F，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
由勾股定理得：BD＝＝＝5，
∵S△BEC＝BE•CD，且CD＝12，且△BCE的面积为48，
∴48＝，
∴BE＝8，
∴DE＝8﹣5＝3，
∵CE为△ACD的角平分线，DE⊥CD，EF⊥AC，
∴EF＝DE＝3，即点E到AC的距离为3．
故答案为：3．
18．如图，已知直线AB与y轴交于点A（0，2），与x轴的负半轴交于点B，且∠ABO＝30°，点C为x轴的正半轴上一点，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转60°得线段CD，连接BD，若BD＝，则点C的坐标为 （5﹣2，0） ．
【分析】如图，过点B作BT⊥BC，使得BT＝AB，连接AT，CT．证明△BAD≌△TAC（SAS），推出BD＝CT＝，在Rt△BCT中，BC＝＝＝5，再求出OC，可得结论．
【解答】解：如图，过点B作BT⊥BC，使得BT＝AB，连接AT，CT．
∵A（0，2），
∴OA＝2，
∵∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，
∴AB＝2AO＝4，OB＝OA＝2，
∵TB⊥BC，
∴∠TBC＝90°，
∴∠TBA＝60°，
∵BT＝BA，
∴△ABT是等边三角形，
∴AT＝AB，∠BAT＝60°，
∵AC＝AD，∠CAD＝60°，
∴∠BAT＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠TAC，
在△BAD和△TAC中，
，
∴△BAD≌△TAC（SAS），
∴BD＝CT＝，
在Rt△BCT中，BC＝＝＝5，
∴OC＝BC﹣OB＝5﹣2，
∴C（5﹣2，0）．
三、解答题（本大题共8小题，共66分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）计算：﹣（﹣π）0+（）﹣2；
（2）（2x﹣1）3﹣27＝0．
【分析】（1）直接利用负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
（2）根据立方根的含义和求法计算即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣1+9
＝10；
（2）∵（2x﹣1）3﹣27＝0，
∴（2x﹣1）3＝27，
∴2x﹣1＝3，
解得x＝2．
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC平分∠DAB，DE⊥AC，垂足为E，且AE＝AB．
（1）请找出图中的全等三角形，并给予证明；
（2）若∠DAC＝30°，求∠DCA的度数．
【分析】（1）根据ASA证明△ABC≌△AED即可；
（2）根据△ABC≌△AED可得AC＝AD，根据等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）△ABC≌△AED．
证明：在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（ASA）；
（2）∵△ABC≌△AED，
∴AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠DAC＝30°，
∴∠ACD＝75°
21．（8分）如图，已知点A（6，0）、点B（0，﹣2）．
（1）求直线AB所对应的函数表达式；
（2）在x轴上找一点P，满足PA＝PB，求P点的坐标．
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的表达式；
（2）设点P的坐标为（m，0），结合点A，B的坐标可得出PA，PB的长，结合PA＝PB可得出关于m的方程，解之即可得出m的值，进而可得出点P的坐标．
【解答】解：（1）设直线AB所对应的函数表达式为y＝kx+b，
将A（6，0）、B（0，﹣2）代入，
得：，解得：，
∴一次函数的表达式为y＝x﹣2；
（2）设点P的坐标为（m，0）．
∵点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，﹣2），
∴PA＝|m﹣6|，PB＝．
∵PA＝PB，
∴（m﹣6）2＝m2+22，
∴m＝，
∴点P的坐标为（，0）．
22．（6分）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将此图形折叠得图②，折痕为AF，且点C恰好落在边AB上点C′处，求C′F的长．
【分析】利用勾股定理求出BA＝10，设C'F＝x，则BF＝8﹣x，在Rt△BC'F中，利用勾股定理解出x的值即可．
【解答】解：由折叠得：AC'＝AC＝6，C'F⊥AB，CF＝C'F，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，
∴AB＝＝10，
∴BC'＝10﹣6＝4，
设C'F＝x，则BF＝8﹣x，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解方程得：x＝3．
即C'F＝3．
23．（6分）如图，已知四边形ABCD．
（1）在边BC上找一点P，使得AP+PD的值最小，在图①中画出点P；
（2）请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：
①在线段AC上找一点M，使得BM＝CM，请在图②中作出点M；
②若AB与CD不平行，且AB＝CD，请在线段AC上找一点N，使得△ABN和△CDN的面积相等，请在图③中作出点N．
【分析】（1）作A点关于BC的对称点A′，连接DA′交BC于P点，利用PA＝PA′，则PA+PD＝DA′，根据两点之间线段最短可判断P点满足条件；
（2）①作BC的垂直平分线交AC于M；
②BA和CD的延长线相交于O点，作∠BOC的平分线交AC于N．
【解答】解：（1）如图①，点P为所作；
（2）①如图①，点M为所作；
②如图②，点N为所作．
24．（10分）某企业准备购买一批爱心物资捐赠给学校．经了解，若购买洗手液300瓶和口罩200包，则共需6000元；若购买洗手液500瓶和口罩300包，则共需9500元．
（1）问：每瓶洗手液和每包口罩的价格各是多少元？
（2）现计划购买洗手液和口罩，若购买这两种物资的总费用不超过11500元，洗手液瓶数和口罩的包数之和为1000，且洗手液的瓶数不大于口罩包数的3倍．设购买洗手液m瓶，购买这两种物资的总费用为W元，请写出W（元）与m（瓶）之间的函数关系式，并求出W的最小值．
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得每瓶洗手液和每包口罩的价格各是多少元；
（2）根据题意可以写出W（元）与m（瓶）之间的函数关系式，并求出W的最小值．
【解答】解：（1）设每瓶洗手液和每包口罩的价格分别为a元、b元，
，
解得，
答：每瓶洗手液和每包口罩的价格分别为10元、15元；
（2）由题意可得，
W＝10m+15（1000﹣m）＝﹣5m+15000，
∴W随m的增大而减小，
∵购买这两种物资的总费用不超过11500元，洗手液瓶数和口罩的包数之和为1000，且洗手液的瓶数不大于口罩包数的3倍，
∴，
解得700≤m≤750，
∴当m＝750时，W取得最小值，此时W＝11250，
答：W（元）与m（瓶）之间的函数关系式是W＝﹣5m+15000，W的最小值是11250．
25．（10分）如图，已知一次函数y＝﹣x+8的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，与一次函数y＝x的图象相交于点C．
（1）求点C坐标．
（2）若点Q在直线AB上，且△OCQ的面积等于12，请求出点Q的坐标．
（3）小明在探究中发现：若P为x轴上一动点，将线段PC绕点P按顺时针方向旋转90°得线段PC'，在点P的运动过程中，点C′始终在某一直线上运动．请直接写出该直线所对应的函数关系式： y＝x﹣7 ．
【分析】（1）解析式联立，解方程组即可求得C的坐标；
（2）求得A、B点的坐标，分两种情况讨论求得即可；
（3）设P的坐标为（m，0），作CM⊥x轴于M，C′N⊥x轴于N，通过证得△PCM≌△C′PN（AAS），求得C′（3+m，m﹣4），即可得出结论．
【解答】解：（1）由方程组得，
∴点C的坐标为（4，3）；
（2）∵一次函数y＝﹣x+8的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，
∴A（，0），B（0，8），
∵点Q在直线AB上，
∴设Q（x，﹣x+8），
当Q点在C的上方时，S△OCQ＝S△OBC﹣S△OBQ＝12，
∴×8×4﹣＝12，解得，x＝1，
∴此时Q的坐标为（1，）；
当Q点在C的下方时，S△OCQ＝S△OAC+S△OAQ＝12，
∴××3+＝12，解得，x＝7，
∴此时Q的坐标为（7，﹣），
故Q点的坐标为（1，）或（7，﹣）；
（3）设P的坐标为（m，0），作CM⊥x轴于M，C′N⊥x轴于N，
∵C（4，3），
∴OM＝4，CM＝3，
∴PM＝4﹣m，
∵∠CPM+∠C′PN＝90°＝∠CPM+∠PCM，
∴∠C′PN＝∠PCM，
在△PCM和△C′PN中，
，
∴△PCM≌△C′PN（AAS），
∴PN＝CM＝3，C′N＝PM＝4﹣m，
∴ON＝3+m，
∴C′（3+m，m﹣4），
∴点C′始终在直线上y＝x﹣7运动，
故答案为y＝x﹣7．
26．（10分）如图①，在长方形ABCD中，已知AB＝20，AD＝12，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，设点D关于AP的对称点为点E．
（1）如图②，射线PE恰好经过点B，试求此时t的值．
（2）当射线PE与边AB交于点Q时，
①请直接写出AQ长的取值范围： 12≤AQ≤20 ；
②是否存在这样的t的值，使得QE＝QB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先证明∠APD＝∠EPA＝∠PAB，得AB＝PB＝20，根据勾股定理得PC＝16，由PD＝4＝2t，可得结论；
（2）①解法一：作辅助线，计算AQ的长，根据勾股定理和完全平方公式可得结论；
解法二：分别计算两个边界点：由（1）知：t＝2时，AQ＝20，当AQ最小时，PQ⊥AB，此时AQ＝12，可得结论；
②分两种情况：点E在矩形的内部和外部，根据等量关系列方程可解答．
【解答】解：（1）如图1，
∵AB∥CD，
∴∠DPA＝∠PAB，
由轴对称得：∠DPA＝∠EPA，
∴∠EPA＝∠PAB，
∴BP＝AB＝20，
在Rt△PCB中，由勾股定理得：PC＝＝＝16，
∴PD＝4＝2t，
∴t＝2；
（2）①解法一：如图2，过点P作PH⊥AB于H，过点Q作QG⊥CD于G，
∴PH＝QG＝AD＝12，
∵∠APQ＝∠PAQ，
∴AQ＝PQ，
∵PQ2＝PG2+QG2＝PG2+122＝144+PG2，
∴AQ2＝144+PG2，
∵AQ＝DG＝DP+PG，
∴（DP+PG）2＝144+PG2，
∵PD＝2t，
∴（2t+PG）2＝144+PG2，
解得：PG＝，
∵AQ＝PD+PG＝2t+＝＝t+，
∵t+＝（t﹣）2+2≥2＝12，
∴AQ＝t+≥12，
由（1）可知：当t＝2时，Q与B重合，此时AQ＝AB＝20，
∴12≤AQ≤20；
解法二：由（1）可知：当t＝2时，Q与B重合，此时AQ＝AB＝20，
如图2，当PQ⊥AB时，E与Q重合，此时AQ＝AD＝12，
∴12≤AQ≤20，
故答案为：12≤AQ≤20；
②存在，分两种情况：
当点E在矩形ABCD内部时，如图3，
∵QE＝PQ﹣PE＝PQ﹣DP＝PQ﹣2t，
∵QE＝QB，PQ＝AQ，
∴QB＝AQ﹣2t，
∵AQ+BQ＝AB＝20，
∴AQ+AQ﹣2t＝20，
∴AQ＝10+t，
由①可知：AQ＝t+，
∴t+＝10+t，
解得：t＝3.6；
当点E在矩形ABCD的外部时，如图4，
∵QE＝PE﹣PQ＝DP﹣PQ＝2t﹣PQ，
∵QE＝QB，
∴BQ＝2t﹣AQ，
∴AB﹣AQ＝2t﹣AQ，
∴AB＝2t，
∴t＝＝10（此时P与C重合），
综上，存在这样的t值，使得QE＝QB，t的值为3.6或10．
1．下列图案不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．给出下列一组数：0，，，﹣4，，0.1818818881…（每两个1之间依次多1个8），其中，无理数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．已知点P在第三象限内，点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是1，那么点P的坐标为（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，﹣1）
4．一次函数y＝3x﹣4的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．一次函数y＝2x﹣1与y＝x+1的图象交点坐标为（ ）
A．（﹣2，3）B．（2，﹣3）C．（2，3）D．（﹣2，﹣3）
6．给出下列四个说法：①一个数的平方等于1，那么这个数就是1；②4是8的算术平方根；③平方根等于它本身的数只有0；④8的立方根是±2．其中，正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．②③D．③
7．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．6，12，8B．7，24，25C．1.5，2，2.5D．9，12，15
8．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（ ）
A．25°B．25或40°C．25°或 35°D．40°
9．下列条件中，能判断两个直角三角形全等的是（ ）
A．有两条边分别相等
B．有一个锐角和一条边相等
C．有一条斜边相等
D．有一直角边和斜边上的高分别相等
10．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，2）和点B（﹣2，0），一次函数y＝mx的图象经过点A，则关于x的不等式组0＜kx+b＜mx的解集为（ ）
A．﹣2＜x＜﹣1B．﹣1＜x＜0C．x＜﹣1D．x＞﹣1
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．9的平方根是 ．
12．某人一天饮水1890mL，请用四舍五入法将1890mL精确到1000mL，并用科学记数法表示为 mL．
13．点P（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标是 ．
14．已知一次函数y＝2x+m的图象是由一次函数y＝2x﹣3的图象沿y轴向上平移8个单位得到的，则m＝ ．
15．若直角三角形斜边上的高是4m，斜边上的中线是5m，则这个直角三角形的面积是 ．
16．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线交于点O，若∠BOC＝80°，则∠A＝ ．
17．如图，已知△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．CE为△ACD的角平分线，若CD＝12，BC＝13，且△BCE的面积为48，则点E到AC的距离为 ．
18．如图，已知直线AB与y轴交于点A（0，2），与x轴的负半轴交于点B，且∠ABO＝30°，点C为x轴的正半轴上一点，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转60°得线段CD，连接BD，若BD＝，则点C的坐标为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）计算：﹣（﹣π）0+（）﹣2；
（2）（2x﹣1）3﹣27＝0．
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC平分∠DAB，DE⊥AC，垂足为E，且AE＝AB．
（1）请找出图中的全等三角形，并给予证明；
（2）若∠DAC＝30°，求∠DCA的度数．
21．（8分）如图，已知点A（6，0）、点B（0，﹣2）．
（1）求直线AB所对应的函数表达式；
（2）在x轴上找一点P，满足PA＝PB，求P点的坐标．
22．（6分）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将此图形折叠得图②，折痕为AF，且点C恰好落在边AB上点C′处，求C′F的长．
23．（6分）如图，已知四边形ABCD．
（1）在边BC上找一点P，使得AP+PD的值最小，在图①中画出点P；
（2）请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：
①在线段AC上找一点M，使得BM＝CM，请在图②中作出点M；
②若AB与CD不平行，且AB＝CD，请在线段AC上找一点N，使得△ABN和△CDN的面积相等，请在图③中作出点N．
24．（10分）某企业准备购买一批爱心物资捐赠给学校．经了解，若购买洗手液300瓶和口罩200包，则共需6000元；若购买洗手液500瓶和口罩300包，则共需9500元．
（1）问：每瓶洗手液和每包口罩的价格各是多少元？
（2）现计划购买洗手液和口罩，若购买这两种物资的总费用不超过11500元，洗手液瓶数和口罩的包数之和为1000，且洗手液的瓶数不大于口罩包数的3倍．设购买洗手液m瓶，购买这两种物资的总费用为W元，请写出W（元）与m（瓶）之间的函数关系式，并求出W的最小值．
25．（10分）如图，已知一次函数y＝﹣x+8的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，与一次函数y＝x的图象相交于点C．
（1）求点C坐标．
（2）若点Q在直线AB上，且△OCQ的面积等于12，请求出点Q的坐标．
（3）小明在探究中发现：若P为x轴上一动点，将线段PC绕点P按顺时针方向旋转90°得线段PC'，在点P的运动过程中，点C′始终在某一直线上运动．请直接写出该直线所对应的函数关系式： ．
26．（10分）如图①，在长方形ABCD中，已知AB＝20，AD＝12，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，设点D关于AP的对称点为点E．
（1）如图②，射线PE恰好经过点B，试求此时t的值．
（2）当射线PE与边AB交于点Q时，
①请直接写出AQ长的取值范围： ；
②是否存在这样的t的值，使得QE＝QB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
2020-2021学年江苏省无锡市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1．下列图案不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、本选项中图案是轴对称图形，不符合题意；
B、本选项中图案是轴对称图形，不符合题意；
C、本选项中图案不是轴对称图形，符合题意；
D、本选项中图案是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
2．给出下列一组数：0，，，﹣4，，0.1818818881…（每两个1之间依次多1个8），其中，无理数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】无理数就是无限不循环小数，依据定义即可判断．
【解答】解：无理数有，，0.1818818881…（每两个1之间依次多1个8），共3个，
故选：B．
3．已知点P在第三象限内，点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是1，那么点P的坐标为（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，﹣1）
【分析】根据第三象限点的横坐标与纵坐标都是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答即可．
【解答】解：∵点P在第三象限内，点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是1，
∴点P的横坐标为﹣1，纵坐标为﹣2，
∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）．
故选：C．
4．一次函数y＝3x﹣4的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据k、b的值确定一次函数y＝3x﹣4的图象经过的象限．
【解答】解：k＝3＞0，图象过一三象限；b＝﹣4＜0，图象过第四象限，
∴一次函数y＝3x﹣4的图象不经过第二象限．
故选：B．
5．一次函数y＝2x﹣1与y＝x+1的图象交点坐标为（ ）
A．（﹣2，3）B．（2，﹣3）C．（2，3）D．（﹣2，﹣3）
【分析】联立两函数解析式，解方程组即可．
【解答】解：联立解得：，
∴函数y＝2x﹣1与y＝x+1的图象的交点坐标为（2，3）．
故选：C．
6．给出下列四个说法：①一个数的平方等于1，那么这个数就是1；②4是8的算术平方根；③平方根等于它本身的数只有0；④8的立方根是±2．其中，正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．②③D．③
【分析】分别根据算术平方根的定义、立方根的定义及平方根的定义对各小题进行逐一判断即可．
【解答】解：①∵（±1）2＝1，∴一个数的平方等于1，那么这个数就是1，故①错误；
②∵42＝16，∴4是16的算术平方根，故②错误，
③平方根等于它本身的数只有0，故③正确，
④8的立方根是2，故④错误．
故选：D．
7．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．6，12，8B．7，24，25C．1.5，2，2.5D．9，12，15
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
【解答】解：A、62+82≠122，不符合勾股定理的逆定理，故正确．
B、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，故错误；
C、1.52+22＝2.52，符合勾股定理的逆定理，故错误；
D、92+122＝152，符合勾股定理的逆定理，故错误；
故选：A．
8．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（ ）
A．25°B．25或40°C．25°或 35°D．40°
【分析】根据题意先画出图形，再分两种情况：50°为底角和50°为顶角求出答案．
【解答】解：当50°为底角时，
∵∠B＝∠ACB＝50°，
∴∠BCD＝90°﹣50°＝40°；
当50°为顶角时，
∵∠A＝50°，
∴∠B＝∠ACB＝65°，
∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°．
故选：B．
9．下列条件中，能判断两个直角三角形全等的是（ ）
A．有两条边分别相等
B．有一个锐角和一条边相等
C．有一条斜边相等
D．有一直角边和斜边上的高分别相等
【分析】根据全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS及直角三角形的判定定理HL对4个选项逐个分析，然后即可得出答案．
【解答】解：A、两边分别相等，但是不一定是对应边，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
B、一条边和一锐角对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
C、有一条斜边相等，两直角边不一定对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
D、有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等，故此选项符合题意；
故选：D．
10．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，2）和点B（﹣2，0），一次函数y＝mx的图象经过点A，则关于x的不等式组0＜kx+b＜mx的解集为（ ）
A．﹣2＜x＜﹣1B．﹣1＜x＜0C．x＜﹣1D．x＞﹣1
【分析】利用函数图象，写出在x轴上方且函数y＝kx+b的函数值小于函数y＝mx的函数值对应的自变量的范围即可．
【解答】解：当x＞﹣2时，y＝kx+b＞0；
当x＜﹣1时，kx+b＜mx，
所以不等式组0＜kx+b＜mx的解集为﹣2＜x＜﹣1．
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．9的平方根是 ±3 ．
【分析】直接利用平方根的定义计算即可．
【解答】解：∵±3的平方是9，
∴9的平方根是±3．
故答案为：±3．
12．某人一天饮水1890mL，请用四舍五入法将1890mL精确到1000mL，并用科学记数法表示为 2×103 mL．
【分析】先利用科学记数法表示，然后把百位上的数字8进行四舍五入即可．
【解答】解：1890mL≈2×103（精确到1000mL）．
故答案为：2×103．
13．点P（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标是 （﹣2，﹣3） ．
【分析】两点关于x轴对称，那么横坐标不变，纵坐标互为相反数．
【解答】解：点P（﹣2，3）关于x轴的对称，即横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴对称点的坐标是（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
14．已知一次函数y＝2x+m的图象是由一次函数y＝2x﹣3的图象沿y轴向上平移8个单位得到的，则m＝ 5 ．
【分析】根据平移的规律求得平移后的解析式，即可求得m的值．
【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣3的图象沿y轴向上平移8个单位得到y＝2x﹣3+8，即y＝2x+5，
∴m＝5，
故答案为5．
15．若直角三角形斜边上的高是4m，斜边上的中线是5m，则这个直角三角形的面积是 20m2 ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边的长，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线长是5m，
∴斜边长为10m，
∵直角三角形斜边上的高是4m，
∴这个直角三角形的面积＝×10×4＝20（m2）．
故答案为：20m2．
16．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线交于点O，若∠BOC＝80°，则∠A＝ 40° ．
【分析】连接OA，根据三角形内角和定理得到∠OBC+∠OCB＝100°，根据线段垂直平分线的性质得到AO＝BO，AO＝CO，根据等腰三角形的性质计算即可．
【解答】解：连接OA，
∵∠BOC＝80°，
∴∠OBC+∠OCB＝100°，
∴∠OAB+∠OBA+∠OAC+∠OCA＝80°，
∵AB、AC的垂直平分线交于点O，
∴AO＝BO，AO＝CO，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，
∴∠A＝∠OAB+∠OAC＝40°，
故答案为：40°．
17．如图，已知△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．CE为△ACD的角平分线，若CD＝12，BC＝13，且△BCE的面积为48，则点E到AC的距离为 3 ．
【分析】如图，过点E作EF⊥AC于F，先根据勾股定理计算BD的长，由三角形面积公式可得BE的长，最后根据角平分线的性质可得结论．
【解答】解：如图，过点E作EF⊥AC于F，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
由勾股定理得：BD＝＝＝5，
∵S△BEC＝BE•CD，且CD＝12，且△BCE的面积为48，
∴48＝，
∴BE＝8，
∴DE＝8﹣5＝3，
∵CE为△ACD的角平分线，DE⊥CD，EF⊥AC，
∴EF＝DE＝3，即点E到AC的距离为3．
故答案为：3．
18．如图，已知直线AB与y轴交于点A（0，2），与x轴的负半轴交于点B，且∠ABO＝30°，点C为x轴的正半轴上一点，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转60°得线段CD，连接BD，若BD＝，则点C的坐标为 （5﹣2，0） ．
【分析】如图，过点B作BT⊥BC，使得BT＝AB，连接AT，CT．证明△BAD≌△TAC（SAS），推出BD＝CT＝，在Rt△BCT中，BC＝＝＝5，再求出OC，可得结论．
【解答】解：如图，过点B作BT⊥BC，使得BT＝AB，连接AT，CT．
∵A（0，2），
∴OA＝2，
∵∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，
∴AB＝2AO＝4，OB＝OA＝2，
∵TB⊥BC，
∴∠TBC＝90°，
∴∠TBA＝60°，
∵BT＝BA，
∴△ABT是等边三角形，
∴AT＝AB，∠BAT＝60°，
∵AC＝AD，∠CAD＝60°，
∴∠BAT＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠TAC，
在△BAD和△TAC中，
，
∴△BAD≌△TAC（SAS），
∴BD＝CT＝，
在Rt△BCT中，BC＝＝＝5，
∴OC＝BC﹣OB＝5﹣2，
∴C（5﹣2，0）．
三、解答题（本大题共8小题，共66分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）计算：﹣（﹣π）0+（）﹣2；
（2）（2x﹣1）3﹣27＝0．
【分析】（1）直接利用负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
（2）根据立方根的含义和求法计算即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣1+9
＝10；
（2）∵（2x﹣1）3﹣27＝0，
∴（2x﹣1）3＝27，
∴2x﹣1＝3，
解得x＝2．
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC平分∠DAB，DE⊥AC，垂足为E，且AE＝AB．
（1）请找出图中的全等三角形，并给予证明；
（2）若∠DAC＝30°，求∠DCA的度数．
【分析】（1）根据ASA证明△ABC≌△AED即可；
（2）根据△ABC≌△AED可得AC＝AD，根据等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）△ABC≌△AED．
证明：在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（ASA）；
（2）∵△ABC≌△AED，
∴AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠DAC＝30°，
∴∠ACD＝75°
21．（8分）如图，已知点A（6，0）、点B（0，﹣2）．
（1）求直线AB所对应的函数表达式；
（2）在x轴上找一点P，满足PA＝PB，求P点的坐标．
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的表达式；
（2）设点P的坐标为（m，0），结合点A，B的坐标可得出PA，PB的长，结合PA＝PB可得出关于m的方程，解之即可得出m的值，进而可得出点P的坐标．
【解答】解：（1）设直线AB所对应的函数表达式为y＝kx+b，
将A（6，0）、B（0，﹣2）代入，
得：，解得：，
∴一次函数的表达式为y＝x﹣2；
（2）设点P的坐标为（m，0）．
∵点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，﹣2），
∴PA＝|m﹣6|，PB＝．
∵PA＝PB，
∴（m﹣6）2＝m2+22，
∴m＝，
∴点P的坐标为（，0）．
22．（6分）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将此图形折叠得图②，折痕为AF，且点C恰好落在边AB上点C′处，求C′F的长．
【分析】利用勾股定理求出BA＝10，设C'F＝x，则BF＝8﹣x，在Rt△BC'F中，利用勾股定理解出x的值即可．
【解答】解：由折叠得：AC'＝AC＝6，C'F⊥AB，CF＝C'F，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，
∴AB＝＝10，
∴BC'＝10﹣6＝4，
设C'F＝x，则BF＝8﹣x，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解方程得：x＝3．
即C'F＝3．
23．（6分）如图，已知四边形ABCD．
（1）在边BC上找一点P，使得AP+PD的值最小，在图①中画出点P；
（2）请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：
①在线段AC上找一点M，使得BM＝CM，请在图②中作出点M；
②若AB与CD不平行，且AB＝CD，请在线段AC上找一点N，使得△ABN和△CDN的面积相等，请在图③中作出点N．
【分析】（1）作A点关于BC的对称点A′，连接DA′交BC于P点，利用PA＝PA′，则PA+PD＝DA′，根据两点之间线段最短可判断P点满足条件；
（2）①作BC的垂直平分线交AC于M；
②BA和CD的延长线相交于O点，作∠BOC的平分线交AC于N．
【解答】解：（1）如图①，点P为所作；
（2）①如图①，点M为所作；
②如图②，点N为所作．
24．（10分）某企业准备购买一批爱心物资捐赠给学校．经了解，若购买洗手液300瓶和口罩200包，则共需6000元；若购买洗手液500瓶和口罩300包，则共需9500元．
（1）问：每瓶洗手液和每包口罩的价格各是多少元？
（2）现计划购买洗手液和口罩，若购买这两种物资的总费用不超过11500元，洗手液瓶数和口罩的包数之和为1000，且洗手液的瓶数不大于口罩包数的3倍．设购买洗手液m瓶，购买这两种物资的总费用为W元，请写出W（元）与m（瓶）之间的函数关系式，并求出W的最小值．
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得每瓶洗手液和每包口罩的价格各是多少元；
（2）根据题意可以写出W（元）与m（瓶）之间的函数关系式，并求出W的最小值．
【解答】解：（1）设每瓶洗手液和每包口罩的价格分别为a元、b元，
，
解得，
答：每瓶洗手液和每包口罩的价格分别为10元、15元；
（2）由题意可得，
W＝10m+15（1000﹣m）＝﹣5m+15000，
∴W随m的增大而减小，
∵购买这两种物资的总费用不超过11500元，洗手液瓶数和口罩的包数之和为1000，且洗手液的瓶数不大于口罩包数的3倍，
∴，
解得700≤m≤750，
∴当m＝750时，W取得最小值，此时W＝11250，
答：W（元）与m（瓶）之间的函数关系式是W＝﹣5m+15000，W的最小值是11250．
25．（10分）如图，已知一次函数y＝﹣x+8的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，与一次函数y＝x的图象相交于点C．
（1）求点C坐标．
（2）若点Q在直线AB上，且△OCQ的面积等于12，请求出点Q的坐标．
（3）小明在探究中发现：若P为x轴上一动点，将线段PC绕点P按顺时针方向旋转90°得线段PC'，在点P的运动过程中，点C′始终在某一直线上运动．请直接写出该直线所对应的函数关系式： y＝x﹣7 ．
【分析】（1）解析式联立，解方程组即可求得C的坐标；
（2）求得A、B点的坐标，分两种情况讨论求得即可；
（3）设P的坐标为（m，0），作CM⊥x轴于M，C′N⊥x轴于N，通过证得△PCM≌△C′PN（AAS），求得C′（3+m，m﹣4），即可得出结论．
【解答】解：（1）由方程组得，
∴点C的坐标为（4，3）；
（2）∵一次函数y＝﹣x+8的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，
∴A（，0），B（0，8），
∵点Q在直线AB上，
∴设Q（x，﹣x+8），
当Q点在C的上方时，S△OCQ＝S△OBC﹣S△OBQ＝12，
∴×8×4﹣＝12，解得，x＝1，
∴此时Q的坐标为（1，）；
当Q点在C的下方时，S△OCQ＝S△OAC+S△OAQ＝12，
∴××3+＝12，解得，x＝7，
∴此时Q的坐标为（7，﹣），
故Q点的坐标为（1，）或（7，﹣）；
（3）设P的坐标为（m，0），作CM⊥x轴于M，C′N⊥x轴于N，
∵C（4，3），
∴OM＝4，CM＝3，
∴PM＝4﹣m，
∵∠CPM+∠C′PN＝90°＝∠CPM+∠PCM，
∴∠C′PN＝∠PCM，
在△PCM和△C′PN中，
，
∴△PCM≌△C′PN（AAS），
∴PN＝CM＝3，C′N＝PM＝4﹣m，
∴ON＝3+m，
∴C′（3+m，m﹣4），
∴点C′始终在直线上y＝x﹣7运动，
故答案为y＝x﹣7．
26．（10分）如图①，在长方形ABCD中，已知AB＝20，AD＝12，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，设点D关于AP的对称点为点E．
（1）如图②，射线PE恰好经过点B，试求此时t的值．
（2）当射线PE与边AB交于点Q时，
①请直接写出AQ长的取值范围： 12≤AQ≤20 ；
②是否存在这样的t的值，使得QE＝QB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先证明∠APD＝∠EPA＝∠PAB，得AB＝PB＝20，根据勾股定理得PC＝16，由PD＝4＝2t，可得结论；
（2）①解法一：作辅助线，计算AQ的长，根据勾股定理和完全平方公式可得结论；
解法二：分别计算两个边界点：由（1）知：t＝2时，AQ＝20，当AQ最小时，PQ⊥AB，此时AQ＝12，可得结论；
②分两种情况：点E在矩形的内部和外部，根据等量关系列方程可解答．
【解答】解：（1）如图1，
∵AB∥CD，
∴∠DPA＝∠PAB，
由轴对称得：∠DPA＝∠EPA，
∴∠EPA＝∠PAB，
∴BP＝AB＝20，
在Rt△PCB中，由勾股定理得：PC＝＝＝16，
∴PD＝4＝2t，
∴t＝2；
（2）①解法一：如图2，过点P作PH⊥AB于H，过点Q作QG⊥CD于G，
∴PH＝QG＝AD＝12，
∵∠APQ＝∠PAQ，
∴AQ＝PQ，
∵PQ2＝PG2+QG2＝PG2+122＝144+PG2，
∴AQ2＝144+PG2，
∵AQ＝DG＝DP+PG，
∴（DP+PG）2＝144+PG2，
∵PD＝2t，
∴（2t+PG）2＝144+PG2，
解得：PG＝，
∵AQ＝PD+PG＝2t+＝＝t+，
∵t+＝（t﹣）2+2≥2＝12，
∴AQ＝t+≥12，
由（1）可知：当t＝2时，Q与B重合，此时AQ＝AB＝20，
∴12≤AQ≤20；
解法二：由（1）可知：当t＝2时，Q与B重合，此时AQ＝AB＝20，
如图2，当PQ⊥AB时，E与Q重合，此时AQ＝AD＝12，
∴12≤AQ≤20，
故答案为：12≤AQ≤20；
②存在，分两种情况：
当点E在矩形ABCD内部时，如图3，
∵QE＝PQ﹣PE＝PQ﹣DP＝PQ﹣2t，
∵QE＝QB，PQ＝AQ，
∴QB＝AQ﹣2t，
∵AQ+BQ＝AB＝20，
∴AQ+AQ﹣2t＝20，
∴AQ＝10+t，
由①可知：AQ＝t+，
∴t+＝10+t，
解得：t＝3.6；
当点E在矩形ABCD的外部时，如图4，
∵QE＝PE﹣PQ＝DP﹣PQ＝2t﹣PQ，
∵QE＝QB，
∴BQ＝2t﹣AQ，
∴AB﹣AQ＝2t﹣AQ，
∴AB＝2t，
∴t＝＝10（此时P与C重合），
综上，存在这样的t值，使得QE＝QB，t的值为3.6或10．
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