初中数学人教版八年级上册第十五章 分式综合与测试优秀练习

这是一份初中数学人教版八年级上册第十五章 分式综合与测试优秀练习，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

人教版八上数学第十五章 分式 培优测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1.已知两个分式： A＝4x2－4 ， B＝1x＋2＋12－x ，其中x≠±2，则A与B的关系是(      )
A. 相等                             B. 互为倒数                             C. 互为相反数                             D. A大于B
答案：C
解析：∵ B＝1x＋2＋12－x＝1x＋2－1x－2＝x－2－(x＋2)x2－4＝－4x2－4
∴A与B互为相反数．
故答案为：C．
分析：先对B利用分式加减法进行计算，即可得到答案。
2.已知公式 1R=1R1+1R2 （ R1≠R2 ），则表示 R1 的公式是（    ）
A. R1=R2−RRR2             B. R1=RR2R−R2             C. R1=R(R1+R2)R2             D. R1=RR2R2−R
答案： D
解析：∵ 1R=1R1+1R2 ，∴1R=R2R1·R2+R1R1·R2=R1+R2R1·R2,∴RR1+R2=R1·R2,∴RR1+RR2=R1R2,∴RR2=R1R2−RR1 ∴ R1R2−R=RR2,∵ R1≠R2 ，∴ R1=RR2R2−R;
故答案为 ：D。
分析：将方程的右边利用异分母分式的加法法则通分计算，然后根据两内项之积等于两外项之积去分母，再移项合并同类项，再根据等式的性质，方程的两边都除以(R2-R)即可得出答案。
3.若关于x的方程 ax−1+1=x+ax+1 的解为负数，且关于x的不等式组 {−12(x−a)>0x−1≥2x+13 无解，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ）
A. 5                                           B. 7                                           C. 9                                           D. 10
答案： C
解析： ax−1+1=x+ax+1
方程两边同乘（x﹣1）（x+1），得a（x+1）+（x﹣1）（x+1）=（x﹣1）（x+a），
整理得，x=1﹣2a，
∵该方程的解是负数，
∴1﹣2a＜0且1﹣2a≠±1，
解得，a＞ 12 且a≠1，
解不等式组 {−12(x−a)>0x−1≥2x+13 得，4≤x，x＜a，
∵不等式组无解，
∴a≤4，
则 12 ＜a≤4，a≠1，
∴所有满足条件的整数a的值之和为：2+3+4=9，
故答案为：C．

分析：分式方程的左右两边都乘以（x﹣1）（x+1）约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程，用含a的式子表示出x的值，又根据分式方程的解是负数，从而列出不等式组，求解得出a的取值范围；分别解出不等式组中每一个不等式的解集，由不等式组无解，可得a≤4，综上所述即可得出a的取值范围，再在其取值范围内找出整数解，并算出其和即可。
4.甲、乙两城市之间的高铁全程长1500km,列车运行速度为bkm/h,经过长时间试运行后,铁路部门决定将列车运行速度再提高50km/h,,则提速后列车跑完全程可省时（   ）
A. 7500b(b+50)ℎ                          B. 75000b(b+50)ℎ                          C. 7500b(b−50)ℎ                          D. 75000b(b−50)ℎ
答案： B
解析：列车原速度跑完全程需要的时间为：1500b小时，提速后列车跑完全程需要的时间为：1500b+50小时，提速后列车跑完全程可节省的时间为：
1500b−1500b+50=1500(b+50)b(b+50)−1500bb(b+50)=1500b+75000−1500bb(b+50)=75000bb+50
。
故答案为：B。分析：分别求出列出原速度跑完全程需要的时间及提速后跑完全程需要的时间，再根据异分母分式的减法算出其差即可。
5.已知 1a+1b=1a+b ，则 ba+ab 的值为（    ）
A. 1                                         B. 0                                         C. ﹣1                                         D. ﹣2
答案：C
解析：把已知 1a+1b=1a+b 去分母，得
（a+b）2=ab，即a2+b2=﹣ab
∴ ba+ab = a2+b2ab = −abab =﹣1．
故答案为：C
分析：根据分式的性质，对分式去分母后进行化简，将后者的式子进行通分，将前式化简的结果代入求值即可。
6.学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（    ）

A. 10000x ﹣ 9000x−5 =100                                       B. 9000x−5 ﹣ 10000x =100
C. 10000x−5 ﹣ 9000x =100                                       D. 9000x ﹣ 10000x−5 =100
答案：B
解析：科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为：
9000x−5 ﹣ 10000x =100，
故答案为：B．
分析：此题的等量关系是：购买科普书的数量=购买文学书的数量-100；科普类图书的单价-5=文学类图书的单价；列方程可得出答案。
7.已知 1x−1y =3，则代数式 2x+3xy−2yx−xy−y 的值是（   ）
A. −72                                      B. −112                                      C. 92                                      D. 34
答案： D
解析：∵ 1x−1y =3，
∴ y−xxy =3，
∴x﹣y=﹣3xy，
则原式= 2(x−y)+3xy(x−y)−xy
= −6xy+3xy−3xy−xy
= −3xy−4xy
= 34 ，
故答案为：D．
分析：首先分式方程的两边都成语xy约去分母，得出x﹣y=﹣3xy，再将代数式的分子分母分别分组，再整体代入合并并约分即可得出答案。
8.若a1=1﹣ 1m ， a2=1﹣ 1a1 ， a3=1﹣ 1a2 ， 则a2017的值为（    ）
A. 1﹣ 1m                                      B. 1m−1                                      C. m                                      D. 1m
答案：A
解析：a1=1﹣ 1m ， a2=1﹣ 1a1 =1﹣ 11−1m =1﹣ mm−1 =﹣ 1m−1 ， a3=1﹣ 1a2 =1+ 11−1m =m，a4=1﹣ 1m ，
依此类推，
∵2017÷3=672…1，
∴a2017的值为1﹣ 1m ，
故答案为：A
分析：由已知条件将a1代入a2计算，再将a2代入a3计算，…，可知，经过3次一个循环，所以用2017除以3，根据余数即可求解。
9.从﹣3，﹣1， 12 ，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组 {13(2x+7)≥3x−a<0 无解，且使关于x的分式方程 xx−3 ﹣ a−23−x =﹣1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是（   ）

A. ﹣3                                       B. ﹣2                                       C. ﹣ 32                                       D. 12
答案： B
解析：解 {13(2x+7)≥3x−a<0 得 {x≥1x ∵不等式组 {13(2x+7)≥3x−a<0 无解，
∴a≤1，
解方程 xx−3 ﹣ a−23−x =﹣1得x= 5−a2 ，
∵x= 5−a2 为整数，a≤1，
∴a=﹣3或1，
∴所有满足条件的a的值之和是﹣2，
故答案为：B
分析：根据题意由不等式组无解，得到a的取值范围；找出最简公分母，分式方程两边都乘以最简公分母，求出分式方程的解，根据分式方程有整数解，求出a的值，得到所有满足条件的a的值之和.
10.若x2﹣4x﹣1=0，则 3x2x4−7x2+1 =（    ）
A. 311                                       B. ﹣1                                       C. 13                                       D. ﹣ 35
答案：A
解析：∵x2﹣4x﹣1=0，x≠0，
∴x﹣4﹣ 1x =0，即x﹣ 1x =4，
∴x2﹣2+ 1x2 =16，即x2+ 1x2 =18，
∴ 3x2x4−7x2+1 = 3x2−7+1x2 = 318−7 = 311 ，
故答案为：A．
分析：将分式进行约分化简；对二次函数进行变形，等式两边分别除以x2 ， 将变形后的式子代入分式中求值即可。
11.已知 x+y=43 ， x−y=3 ，则式子 (x−y+4xyx−y)(x+y−4xyx+y) 的值是（   ）
A. 48                                       B. 123                                       C. 16                                       D. 12
答案：D
解析：（x-y+ 4xyx−y ）（x+y- 4xyx+y ）
= (x−y)2+4xyx−y•(x+y)2−4xyx+y
= (x+y)2x−y•(x−y)2x+y
=（x+y）（x-y），
当x+y=4 3 ，x-y= 3 时，原式=4 3 × 3 =12，
故答案为：D．
分析：先把整式看成分母为1的式子，通分计算分式的加减法，再计算分式的乘法，分子分母能分解因式的必须分解因式，然后约分化为最简形式，再整体代入计算出结果。
12.张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x+ 1x （x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是 1x ，矩形的周长是2（x+ 1x ）；当矩形成为正方形时，就有x= 1x （0＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（x+ 1x ）=4最小，因此x+ 1x （x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子 x2+9x （x＞0）的最小值是（   ）
A. 2                                           B. 1                                           C. 6                                           D. 10
答案： C
解析：∵x＞0，
∴在原式中分母分子同除以x，
即 x2+9x =x+ 9x ，
在面积是9的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是 9x ，
矩形的周长是2（x+ 9x ）；
当矩形成为正方形时，就有x= 9x ，（x＞0），
解得x=3，
这时矩形的周长2（x+ 9x ）=12最小，
因此x+ 9x （x＞0）的最小值是6．
故答案为：C
分析：因为题中的已知解释了x+1x的意义，所以可以按照这个解释将x2+9x进行化简，可得x+9x，由此可知该矩形的面积应为9，两边长分别为x、9x，因为面积一定的矩形，当是正方形时，其周长最小，由此可知x=9x，周长是两边的和乘以2，即可求出最小值.

二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13.已知 xx−1=y2+4y−2y2+4y−1 ，则的y2+4y+x值为________．
答案：2
解析：由于 xx−1=y2+4y−2y2+4y−1 ，则通过变形可得： 1+1x−1=1−1y2+4y−1 ，即 1x−1=−1y2+4y−1 ，∴y2+4y+x=2
故答案为：2.
分析：对等式的具体变式过程为：xx−1=x−1+1x−1=1+1x−1，y2+4y−2y2+4y−1=y2+4y−1−1y2+4y−1=1−1y2+4y−1.
14.已知方程x+ 1x=c+1c （c是常数，c≠0）的解是c或 1c ，那么方程x+ 14x−6=a2+3a+12a  （a是常数，且a≠0）的解是________或________．
答案：a+32；12a+32
解析：原方程变形为 x+14x−6  = a2 32  + 12a  ，
方程的两边同乘2，得2x+ 12x−3  =a+3+ 1a  ，
两边同时减去3，得2x﹣3+ 12x−3 =a+ 1a  ，
∴2x﹣3=a或2x﹣3= 1a ，
∴x= a+32 或x= 12a+32 ．
故答案为 a+32 ， 12a+32 ．
分析：将所求方程的右边变形为已知方程的右边的类型，对照已知方程的解题思路可得2x﹣3=a或2x﹣3=1a，解这两个一元一次方程即可求解。
15.如果x- 1x =3,那么x2+ 1x2 的值为________
答案：11
解析：x2+ 1x2 =x2-2+ 1x2 +2= (x-1x)2 +2=32+2=11分析：将代数式配方，用含x−1x的式子表示，然后整体代入求值即可。
16.已知实数a，b，c满足 ab+c+bc+a+ca+b=1 ，则 a2b+c+b2c+a+c2a+b= ________．
答案： 0
解析：解: 设a+b+c=d，则有a=d-（b+c），b=d-（a+c），c=d-（a+b），
∵ ab+c+bc+a+ca+b=1 ,
∴ a2b+c+b2c+a+c2a+b
=ab+c×a+bc+a×b+ca+b×a  
=ab+c×[d−(b+c)]+bc+a×[d−(a+c)]+ca+b×[d−(a+b)]
=ab+c×d−a+bc+a×d−b+ca+b×d−c
=d(ab+c+bc+a+ca+b)−(a+b+c)
=d−(a+b+c)
= =(a+b+c)−(a+b+c)=0
分析： 设a+b+c=d，则有a=d-（b+c），b=d-（a+c），c=d-（a+b）， 然后把它们代入的所求分式中化简即可求出答案。
17.已知：a+x2=2015，b+x2=2016，c+x2=2017，且abc=12，则 abc+cab+bac−1a−1b−1c  =________
答案：0.25
解析：由题意得： {a+x2=2015①b+x2=2016②c+x2=2017③   
①−②得：a−b=−1
①−③得：a−c=−2
②−③得：b−c=−1
∴ abc+cab+bac−1a−1b−1c=a2+b2+c2−bc−ac−ababc=(a−b)2+(b−c)2+(a−c)22abc,  
(−2)2+(−1)2+(−1)22×12=14=0.25.  
故答案为：0.25.
分析：根据等式的性质由a+x2=2015，b+x2=2016，c+x2=2017，得出a−b=−1，a−c=−2，b−c=−1，然后将代数式通分计算，及完全平方公式的分解因式，再整体代入即可得出答案。
18.若关于x的方程 axx-2 = 4x-2 +1无解,则a的值是________
答案：2或1
解析：∵原方程无解
∴x-2=0,解之：x=2
方程两边同时乘以x-2得
ax=4+x-2①
（a-1）x=2
∵方程无解
∴a-1=0，即a=1;
将x=2代入①得
2a=4
a=2
故答案为：2或1
分析：将原方程去分母,化简得(a-1)x=2，再把方程的增根x=2代入方程①求出a的值；再由a-1=0求出a的值，即可解答。

三、解答题（本大题有7小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤
19.解方程:  x+2x+1 + x+8x+7 = x+6x+5 + x+4x+3 .
答案： 解:解法一：原方程可化为 x+2x+1 - x+4x+3 = x+6x+5 - x+8x+7 .
整理,得 (1+1x+1) - (1+1x+3) = (1+1x+5) - (1+1x+7) ,即 1x+1 - 1x+3 = 1x+5 - 1x+7 .
左右两边分别通分,得 (x+3)−(x+1)(x+1)(x+3) = (x+7)−(x+5)(x+5)(x+7) ,
即 2(x+1)(x+3) = 2(x+5)(x+7) .
去分母,得2(x+5)(x+7)=2(x+1)(x+3).
解得x=-4.
经检验,x=-4是原方程的解
解法二：原方程可化为：
左右两边分别通分得："1x+5x+1=1x+7x+3"
去分母得：（x+7）（x+3）=（x+5）（x+1）
去括号移项合并得：4x=-16
解之得：x=-4
经检验,x=-4是原方程的解.
解析：根据方程的特点，将原方程变形后，分别将方程两边通分，然后根据化简后方程的特点，去分母转化为整式方程，求解检验即可得出答案。
20.已知x2+y2+8x+6y+25=0,求 x2−4y2x2+4xy+4y2 - xx+2y 的值.
答案：解:∵x2+y2+8x+6y+25=0 ，
∴(x+4)2+(y+3)2=0.
∴x+4=0 ,y+3=0 ,
∴x=-4,y=-3.
x2−4y2x2+4xy+4y2 - xx+2y = (x+2y)(x−2y)(x+2y)2 - xx+2y = x−2yx+2y - xx+2y = −2yx+2y .
当x=-4,y=-3时,原式=- 35 .
解析：首先用分组分解法将x2+y2+8x+6y+25=0，变形为(x+4)2+(y+3)2=0.再根据偶次方的非负性知几个非负数的和为零，则这几个数都为零，从而找到x,y的值，再将分式的分子分母分别分解因式，然后约分，再按同分母分式的减法法则计算出结果，最后再代入x,y的值算出答案。
21.化简代数式： (3xx−1−xx+1)÷xx2−1 ，再从不等式组 {x−2(x−1)≥16x+10>3x+1 的解集中取一个合适的整数值代入，求出代数式的值．
答案： 解： (3xx−1−xx+1)÷xx2−1
= 3xx−1×(x+1)(x−1)x−xx+1×(x+1)(x−1)x  
=3（x+1）-（x-1）
=2x+4，
{x−2(x−1)≥1①6x+10>3x+1② ，
解①得：x≤1，
解②得：x＞-3，
故不等式组的解集为：-3＜x≤1，
把x=-2代入得：原式=0 
解析：通分计算括号里的异分母分式的减法，再计算括号外的除法，把各个分式的分子分母能分解因式的分别分解因式，再将除式的分子分母交换位置，将除法转变为乘法，然后约分化为最简分式；然后解出不等式组中每一个不等式的解集，再根据大小小大中间找得出其解集，并求出不等式组的整数解，又根据分式有意义的条件得出x不能取±1,0，故x只能取-2，将x=-2代入分式化简的结果，即可按有理数的运算顺序即可得出答案。

22.已知a、b、c均为非零的实数，且满足 a−b−cc = a−b+cb = −a+b+ca ，求 (a+b)(b+c)(c+a)abc 的值．
答案：解：当a+b+c≠0时，利用比例的性质化简已知等式得： a−b−cc = a−b+cb = −a+b+ca = a+b−c+a−b+c−a+b+ca+b+c = a+b+ca+b+c =1，
即a+b﹣c=c，a﹣b+c=b，﹣a+b+c=a，
整理得：a+b=2c，a+c=2b，b+c=2a，
此时原式= 8abcabc =8；
当a+b+c=0时，可得：a+b=﹣c，a+c=﹣b，b+c=﹣a，
则原式=﹣1．
综上可知， (a+b)(b+c)(c+a)abc 的值为8或﹣1
解析：根据比例的等比性质进行解答，分情况进行讨论，共有a+b+c≠0和a+b+c=0两种情况，对分式进行通分和约分，求出最终的值即可。
23.已知 x,y 为整数，且满足 (1x+1y)(1x2+1y2)=−23(1x4−1y4) ，求 x+y 的值。
答案：解：由已知等式得 x+yxy⋅x2+y2x2y2=23⋅x4−y4x4y4 ，显然 x,y 均不为0，∴ x+y ＝0或 3xy=2(x−y)
若 3xy=2(x−y) ，则 (3x+2)(3y−2)=−4 .
又 x,y 为整数，可求得 {x=−1，y=2, 或 {x=−2，y=1.
∴ x+y=1 或 x+y=−1  
∴， x+y 的值为0或±1.
解析：首先根据异分母分式的加法法则将原式变形为x+yxy·x2+y2x2y2=23·x4−y4x4y4,根据分式有意义的条件知 x , y 均不为0，从而得出 x + y ＝0或 3 x y = 2 ( x − y )，由3 x y = 2 ( x − y )通过配方可以得到( 3 x + 2 ) ( 3 y − 2 ) = − 4 ，根据x,y都是整数，从而得出x=−1y=2,x=−2y=1;从而得出x + y = 1 或 x + y = − 1  ，综上所述，从而得出答案。
24.已知abc≠0且a+b+c=0,求a (1b+1c) +b (1c+1a) +c (1a+1b) 的值.
答案：解法一:∵abc≠0,
∴a≠0,b≠0,c≠0.
∴原式=a（ 1b+1c+1a ）+b（ 1c+1a+1b ）+c（ 1a+1b+1c ）-3=（ 1a+1b+1c ）(a+b+c)-3.
∵a+b+c=0,
∴原式=-3.
解法二:a (1b+1c) +b (1c+1a) +c (1a+1b)
= ab + ac + bc + ba + ca + cb
=（ ac + bc ）+（ ba + ca ）+（ ab + cb ）
= a+bc + b+ca + a+cb .
∵a+b+c=0,
∴-a=b+c,-b=a+c,-c=a+b.
∴原式= −cc + −aa + −bb =-3
解析：解法一:由于abc≠0,故a≠0,b≠0,c≠0.根据1可以改写成aa'bb'cc,将原式改写成a1b+1c+1a+b1c+1a+1b+c1a+1b+1c−3=1a+1b+1ca+b+c−3;又由于a+b+c=0,从而根据0乘以任何数都等于0,0加任何数得任何数，从而得出答案；
解法二:先用乘法分配律去括号，然后利用加法的交换律的结合律按同分母分式的加法法则进行计算，然后由a+b+c=0,得-a=b+c,-b=a+c,-c=a+b.再整体替换，约分得出结果。
25.某农场为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
答案： （1）解：设规定时间为x天，则甲需x天完成，每天可完成 1x ，乙需1.5x天完成，每天可完成 11.5x ，根据题意列方程
(1x+11.5x)×15+5x=1
解得x=30
检验 x=30≠0
∴x=30 为原方程的解
即规定时间为30天

（2）解：根据题意，合作完成的时间为 1÷（130+11.5×30）=18（天）
则施工费用= 18×（6500+3500）=180000 （元）
解析：（1）工程问题的基本数量关系：工作效率×时间=工作总量。题目中由题意可分别设出甲、乙单独完成工程的时间，继而可表示出甲、乙的工作效率，合作15天，再由乙单独完成，工作量和为1，列出方程即可求出完成工程的规定时间；
（2）根据时间=1÷甲、乙的工作效率和求出合作完成该项工程的时间，再由甲、乙每天的施工费用即可求出该工程的总施工费用。