一轮大题专练14—导数（任意、存在性问题2）-2022届高三数学一轮复习

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这是一份一轮大题专练14—导数（任意、存在性问题2）-2022届高三数学一轮复习，共6页。试卷主要包含了已知函数，，设，已知函数，函数，已知函数在处取得极值，，已知函数，，等内容，欢迎下载使用。

（1）讨论的单调性；
（2）当，时，求证：．
解：（1）的定义域为，，
①当时，，即在上单调递减；
②当时，，
由，解得，由，解得，
即在上单调递减，在，上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在，上单调递增．
（2）证明：，即，
令，，则，
令，则，
令，则，
所以即在上单调递增，
又，
①当时，，则恒成立，即在上单调递增，
则有；
②当时，，
，则，
即存在使得，即，
且，
即，
综上所述，恒成立，即在上单调递增，
所以，即．
2．设，已知函数，函数．
（Ⅰ）若，求函数的最小值；
（Ⅱ）若对任意实数和正数，均有，求的取值范围．
（注为自然对数的底数）
解：（Ⅰ）当时，为增函数，且，
所以在递减，在递增，
所以．
（Ⅱ）因为，
由于函数在上单增，且，（1），
所以存在唯一的使得．且．
再令，，可知在单增，
而由可知，，，所以．
于是，所以．
又为增函数，
当时，，当时，；
又当时，，当时，（3），
所以对任意，存在唯一实数，使得，即，且．
由题意，即使得，
也即，即，
又由于单增且，
所以的值范围为，，代入，求得的取值范围为，．
3．已知函数在处取得极值，．
（1）求的值与的单调区间；
（2）设，已知函数，若对于任意、，，都有，求实数的取值范围．
解：（1）由题意得的定义域为，，
函数在处取得极值，
（2），解得，
则由得或，
、、的关系如下表：
函数的单调递增区间为、，单调递减区间为；
（2）由（1）得函数，
当时，对任意、，，都有，
即当，，时，，
在，上单调递减，，，，
在，上单调递减，
则，，
则，
即，解得或，结合，得，
故实数的取值范围为．
4．已知函数，，
（1）设函数，求的单调区间和极值；
（2）对任意的，存在，使得，求的最小值
解：（1）由已知
所以（1分）
当时，恒成立，所以在定义域单调递增，没有极值．（2分）
当时，令，得，列表得
所以，在区间单调递减，在单调递增，时取到极小值（a），没有极大值（5分）
综上，当时，在定义域单调递增，没有极值．
当时，在区间单调递减，在单调递增，（a），没有极大值（6分）
（2）由已知，设
即，
解得，，所以，
令，（8分）
则
令，则恒成立，
所以在单调递增，且（1）
当时，，，所以单调递减
当时，，，所以单调递增，
即时取到极小值，也是最小值，所以（1）
所以的最小值为（12分）
5．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，，．不等式恒成立，求实数的取值范围．
解：（1），定义域是，
，
令，△，
①即时，恒成立，
即恒成立，在单调递增，
②即或时，有2个不相等的实数根，
此时，，
时，，，
故时，，即，
，时，，即，
，时，，即，
故在递增，在，递减，在，递增；
时，，，时，递增，
综上：时，在单调递增，
时，在递增，在，递减，在，递增．
（2），，当时，在，上恒成立，
在，上单调递增，（1），
故问题等价于：对于任意的，不等式恒成立，
即恒成立，记（a），，则（a），
令（a），则（a），
所以（a）在上递减，所以（a）（1），
故（a），所以（a）在上单调递减，
所以（2），
即实数的取值范围为，．
2
0
0
递增
极大值
递减
极小值
递增
负
0
正
单减
极小值
单增