云南省大理下关一中教育集团2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题+Word版含答案

下关一中教育集团2020-2021学年高一年级下学期期中考试

数学试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．下列结论不正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，则

C．若，则

D．若，，则

3．已知复数满足，则复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

4．一元二次方程（）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

5．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

6．如图，在正方体中，，，分别是，，的中点，则下列命题正确的是（    ）

A． B． C．平面D．平面

7．函数的图象大致为（    ）

A．B．C．D．

8．函数的最小正周期为（    ）

A． B． C． D．

9．在中，，，，则直线通过的（    ）

A．垂心 B．外心 C．重心 D．内心

10．《掷铁饼者》取材于古希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”掷铁饼者的肩宽约为米，一只手臂长约为米（两臂等长），“弓”所在圆的半径约为米，则掷铁饼者双手之间的直线距离约为（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米

11．若向量，是不共线的两个向量，与共线，当时，的最小值为（    ）

A．4 B．2 C． D．

12．已知函数是上偶函数，且对于都有成立，当，，且时，都有．对于下列叙述；

①；

②直线是函数的一条对称轴；

③函数在区间上为增函数；

④函数在区间上有四个零点．其中正确命题的序号是（    ）

A．①②③ B．①② C．②④ D．①②④

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13．已知是任意角，且满足，则常数的一个取值为______．

14．将一个直角边长为1的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体的体积为______．

15．在山顶铁塔上处测得地面上一点的俯角，在塔底处测得点的俯角，已知铁塔部分高32米，山高______．

16．已知定义在上的函数满足且，函数的表达式为，则方程在区间上的所有实数根之和为______．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分。

17．（本小题满分10分）向量，

（1）求向量的模长；

（2）若向量，且，求实数的值．

18．（本小题满分12分）若向量，，设函数

（1）求在上的单调增区间；

（2）在角为锐角的中，角、、的对边分别为、、，且的面积为3，，求的值．

19．（本小题满分12分）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为，凤眼莲的覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型（，）与（，）可供选择。

（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；

（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：，）．

20．（本小题满分12分）已知内角、、所对的边分别为、、，A为锐角，在以下三个条件中任选一个：①；②；③；并解答以下问题：

（1）若选______（填序号），求的值；

（2）在（1）的条件下，若，求面积的最大值．

21．（本小题满分12分）如图所示，已知是所在平面外一点，，分别是，的中点，平面平面．

（1）求证：；

（2）与平面是否平行？试证明你的结论．

22．选做题（本小题满分12分，考生在下列两个题中选做一个题，注意，下关一中学生必须选做第2题）．

1．已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时，．

（1）求的值；

（2）求的解析式；

（3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．

2．已知集合是满足下列条件的函数全体：在定义域内存在实数，使得成立．

（1）判断幂函数是否属于集合？并说明理由；

（2）设，，

ⅰ）当时，若，求的取值范围；

ⅱ）若对任意的，都有，求的取值范围．

下关一中教育集团2020~2021学年高一年级下学期期中考试试题

数学参考答案

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

【解析】

1．，∴，故选C．

2．由同乘法则知A，C对，由同加法则知B对，故选D．

3．因为，所以，所以复数的虚部为，故选B．

4．一元二次方程（）有一个正根和一个负根的充要条件是，即，而的一个充分不必要条件是，故选C．

5．，，∵，∴，，则，故选A．

6．如图1，

A：和是异面直线，故选项不正确；

B：和是异面直线，故选项不正确；

C：记，∵在正方体中，，分别是，的中点，∴，，∴为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面，故选C．

7．为奇函数，排除C，D，易知，故选A．

8．由已知，，∴最小正周期为，故选C．

9．，又，在的平分线上，故选D．

10．

掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”，即如图2中的及弦，取的中点，连接．由题设可得的弧长为，而，故，故的长度为，故选C．

11．因为与共线，由平面向量共线定理可知，所以，所以，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故选A．

12．根据题意，对于①，在中，令可得，，即，又由函数是上偶函数，则，则①正确；对于②，由①可得，，又由，则有，即是以6为周期的函数，又由函数是上的偶函数，即的一条对称轴为轴，即，则直线也是函数的一条对称轴，②正确；对于③，由当，都有，可得在上为单调递增函数，又由函数是上的偶函数，则在上为递减函数，又由是以6为周期的函数，则函数在区间上为递减函数，③错误；对于④，由①可得，，又由是以6为周期的函数，则，，即函数在区间上有四个零点，④正确；正确的命题为①②④，故选D．

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

【解析】

14．几何体是一个高为1，底面半径为1的圆锥，．

15．设，则由三角形相似比得，求得．

16．法一：由题意，当时，，；当时，，即，解得；当时，，，无解；当时，，，无解；当时，，，无解；当时，，，无解；当时，，，则，解得；则；当时，，可得所有根之和为．

法二：函数满足则关于点对称，又因为，故关于点对称，也关于点对称，如图3，

过点和，，，由于点不在上，所有根之和为．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

解：（Ⅰ），．

（Ⅱ），且，

∴．

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ），

，

令（），

得（），

∴在上的单调递增区间为（）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，

∴，

因为，所有，

从而，

∴，

又∵，

∴，又，

∴

，

∴．

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）函数（，）与（，）在上都是递增函数，随着的增加，函数（，）的值增加的越来越快，而函数的值增加的越来越慢，由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型（，）符合要求．

根据题意可知当时，；

当时，，

∴解得

故该函数模型的解析式为，，．

（Ⅱ）当时，，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是，

由，得，

∴，

∵，∴，

即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份．

20．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）若选①，因为，

由正弦定理有，

即，

所以，

在中，，

所以．

若选②，∵，

∴，

∵在中，，

∴，

∴，

∴，

∴或（舍），

∴．

若选③，因为，由正弦定理有，

因为在中，，

所以，

又，为锐角，

解得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，

由，为锐角，得，

∴由余弦定理可知，，

∵，

∴，

∴，

∴，当且仅当时等号成立，

∴面积，

所以面积的最大值为．

21．（本小题满分12分）

法一：（Ⅰ）证明：因为，平面，平面，

所以平面，

又因为平面平面，所以．

（Ⅱ）解：平行．

如图4，取的中点，连接，

可以证得，且，

可知四边形为平行四边形，

∴．

又平面，平面，

所以平面．

法二：（Ⅰ）证明：由于，

平面，平面，

∴平面．

又因为平面平面，

所以，故．

（Ⅱ）解：平行．

如图5，设是的中点，连接，，

则，，

而，所以平面平面，

而平面，

所以平面．

22．（选做题，本小题共12分，请从以下两题中任选一题作答，下关一中考生须选22题第2题作答）

1．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）因为定义域为的函数是奇函数，

所以．

（Ⅱ）因为当时，，所以，

又因为函数是奇函数，所以，所以，

综上，

（Ⅲ）由，得，

因为是奇函数，所以，

又在上是减函数，所以，

即对任意恒成立，

令，则，

由，解得，

故实数的取值范围为．

2．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ），理由如下：令，

则，即，

解得，，均满足定义域，

当时，．

（Ⅱ）（ⅰ）当时，，

∵，∴∴，

由题知在上有解，

∴，

∴（），令，则，

∴，即，

∴，，

从而，原问题等价于或，

∴或，

又在上恒成立，

∴，∴．

（ⅱ）由（ⅰ）知：对任意，在上有解，

∴，

即（），令，则，

则在上有解，

令，，

则即

由，可得

令，

则

∴

∴．