上海市上海中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题+Word版含答案

上海中学2020学年第二学期高一年级数学期中考试

2021.04

一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.

1.角度大小为7弧度的角是第________象限角

2.用弧度制表示所有终边位于第四象限角平分线的角构成的集合________.

3.函数的定义域是________.

4.若角的始边落在轴正半轴，终边落在直线上，则________.

5.已知角，且满足：，则角为________.

6.已知圆的一段弧长等于其内接正三角形的周长，则这段弧所对圆心角的弧度数是________.

7.在中，，，，则的面积为________.

8.函数的单调递减区间为________.

9.已知正六边形，若，，则用，表示为________.

10.已知，则________.

11.已知函数，满足：，且时，则当时，的最小值为________.

12.在锐角三角形中，若，则的最小值是________.

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

13.命题：“角小于”是命题：“角是第一象限角”的（      ）条件.

A.充要                B.充分非必要            C.必要非充分            D.既非充分又非必要

14.若，的化简结果是（      ）.

A.             B.               C.             D.

15.现给出以下4个命题：

（1）对于任意的向量，都有；

（2）已知向量，，，若且，则；

（3）已知三个非零向量，，，则与不垂直；

（4）已知向量，，则是“，中至少有一个是”的充要条件.

其中正确的个数是（      ）

A.3                   B.2                     C.1                     D.0

16.2021年第十届中国花卉博览会兴办在即，其中，以“蝶恋花”为造型的世纪馆引人貝目（如图①），而美妙的蝴蝶轮变不仅带来生活中的赏心悦目，也展示了极致的数学美学世界.数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图像，探究如下：

如图②，平面上有两定点，，两动点，，且，绕点逆时针旋转到所形成的角记为.

设函数，，其中，，令，作随着的变化，就得到了的轨迹，其形似“蝴蝶”.则以下4幅图中，点的轨迹（考虑糊蝶的朝向）最有可能为（      ）

图①图②

A                 B                     C                        D

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

17.（本题满分8分）

已知，两个向量，，，，求在方向上的投影与数量投影.

18.（本题满分8分）

已知的数

（1）有解时，求实数的取值范围；

（2）当时，总有，求定的取值范围.

19.（本题满分10分）

在中，角，，的对边分别为，，且.

（1）求；

（2）若，求的周长的取值范围.

20.（本题满分10分）

数学建模搭建了数学与外部世界联系的桥梁，也是应用数学解决实际问题的基本手段.某中学程老师根据实际情境提出如下问题：有一家具，其水平截面如图③所示（各邻边垂直）.一房间的门框宽（即房门两边墙之间距离）为0.9米，门框厚为0.28米，思考能否将家具水平移入房内.（注：门框高度及房内外空间不受限制，且移动时均不发生形变.）

（1）如图④，（米），在移动家具时，为顺利过门，家具的两个边，紧贴，，设直线和直线的夹角为，家具的初始位置对应，与重合时可视为移动成功，延长交于点，设（米），请写出关于的函数

（2）基于（1），请问家具能否移动成功？并说明理由.

21.（本题满分12分）

对于函数，，如果存在一组正常数，，…，，（其中为正整数），满足）使得当取任意实数时，有，则称函数具有“性质”.

（1）判断以下函数是否具有“性质”，并说明理由：

①函数②函数，对任意实数均成立；

（2）证明：具有性质；

（3）设函数，其中，，是不全为0的实数且存在，使得，证明：存在，使得.

答案及其解析

一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.

1.【答案】：一

【解析】∶，所以第一象限

2.【答案】：

【解析】：由已知得，第四象限角平分线的角构成的集合为

3.【答案】：

【解析】：由得，定义域是

4.【答案】：

【解析】：由已知得，终边落在直线上，，

5.【答案】：，

【解析】：由已知得，，，，，

又因为，所以，

6.【答案】：

【解析】：设正三角形边长为，外接圆的半径为，则，，∴

7.【答案】：或

【解析】：由已知得，，，或16，所以

或

8.【答案】：

【解析】：由题意得，

所以，所以

9.【答案】：

【解析】：

10.【答案】：1

【解析】：由切化弦得，

∴，再由积化和差，

∴

11.【答案】：

【解析】：由迭代递推得

∴

①当时，，

，故的最小值

②当时，，

，

，故的最小值为，

综上所述，当时，的最小值为.

12.【答案】：16

【解析】：由已知得，，.：.

所以，又因为

所以

所以

，当且仅当时取到等号.

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

13.【答案】：D

【解析】：取，左推不出右，取，右推不出左，故选D

14.【答案】：A

【解析】：由，，得，

故选A.

15.【答案】：C

【解析】：对于（1）对于任意的向量，都有，所以（1）错误；

对于（2）已知向量，，，若且，只要保证和方向上的数量投影相等即可

∴，故（2）错误；

对于（3）：，垂直，故（3）错误；

对于（4）：或，故（4）正确，故选C

16.【答案】：B

【解析】：本题比较抽象，考虑特殊情况.

先考虑与共线的蝴蝶身方向，令，，要满足，故排除A，C；

再考虑与垂直的方向，令，要满足，故排除D，故选B.

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

17.（本题满分8分）

【答案】：见解析

【解析】：由题意得，；

则在方向上的投影：

在方向上的数量投影：

18.（本题满分8分）

【答案】：见解析

【解析】：（1）由已知得，

所以

（2）由已知得恒成立，

则

所以实数的取值范围为

19.（本题满分10分）

【答案】：见解析

【解析】：（1）

，

所以，

（2）由已知得，，

，，∴

∴

∴

∴

20.（本题满分10分）

【答案】：见解析

【解析】：，

（2）由已知得，添加辅助线，要使家具能白移入房间内，

则要求外抛角点到一边门框厚度的距离，

设点距离所在直线距离为：

（当且仅当），所以能移动成功.

21.（本题满分12分）

【解析】：（1）①由已知得，所以具有“性质”；

②由已知得，，

得，易知对任意，

所以具有“性质”；

（2）单位圆的性质，易令满足，

证明如下：

（3）本题难度较大，对其进行分类讨论：

①若，此时取即可；

②若，采取反证法，若不存在，使得，则恒成立，

又

∵，，

∴，

再由恒成立，

故，进而，与，，是不全为0矛盾；

故存在，使得.

③若，由，

得，命题成立.