2020-2021学年江西省宜春市某校初二（上）期末考试数学试卷

这是一份2020-2021学年江西省宜春市某校初二（上）期末考试数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列四个图案中，不是轴对称图案的是( )
A.B.C.D.

2. 下列计算正确的是( )
A.a3⋅a2=a6B.x3+x3=x6
C.−b23=−b6D.m−n2=m2−n2

3. 三角形两边长分别为2和3，则第三边的长可能为( )
A.1B.3C.5D.7

4. 如图，在△ABC中，DE是边AC的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点E，点P是直线DE上的一个动点，若AB=5，则PB+PC的最小值为( )

A.5B.6C.7D.8

5. 已知关于x的分式方程m−2x−1=1的解是正数，则m的取值范围是( )
A.m>1B.m≥1且m≠2C.m<1D.m>1且m≠2

6. 图1是一个长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，小长方形的长为a，宽为ba>b，然后按图2拼成一个正方形，通过计算，用拼接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证的等式是( )

A.a2b2=ab2B.a+b2=a−b2+4ab
C.a+b2=a2+b2+2abD.a2−b2=a+ba−b
二、填空题

1. 因式分解：a2−4b2=________.

2. 若分式x−22x+1的值为零，则x的值等于________．

3. 已知a−2b=2，则7−2a+4b=________.

4. 如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB 的角平分线相交于点D，若∠A=50∘，则∠D=________.


5. 上午9时，一条船从海岛A出发，以12海里/时的速度向正北航行，11时到达海岛B 处，如图，海岛A在灯塔C的南偏西32∘ 方向，灯塔C在海岛B的北偏东64∘ 方向，则灯塔C到海岛B的距离是________海里．


6. 如图，已知正五边形ABCDE，过点A作CD的平行线，交CB的延长线于点F，点P在正五边形的边上运动，运动路径为A→B→C→D.当△AFP为等腰三角形时，则△AFP的顶角为________度．

三、解答题

1.
(1)计算： 4a4b3÷−2ab2；

(2)解方程：1x−3−x3−x=2.

2. 先化简5x+2−1÷x2−9x+3，再从−3≤x≤3中选择一个合适的整数作为x的值代入求值．

3. 如图， △ABC和△BDE是等边三角形，连接AD，CE．求证：△ABD≅△CBE.


4. 如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120∘，AD⊥AB交BC于点D，AD=2，求BC的长．


5. 如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，且AB=BC. 请仅用无刻度直尺，完成以下作图（保留作图痕迹）．

(1)在图1中，找一格点D，使得△ABC≅△CDA；

(2)在图2中，作出△ABC中AB边上的高．

6. 小明、小花和老师一起探究一个问题：将m4+4因式分解．
请你依照上述做法，将下列各式因式分解：
(1)4x4+1；

(2)a4+c4−7a2c2.

7. 某市为缓解城区的交通压力，于2020年开工建设城市高架桥，某工程队承担了1千米长的改造任务，工程队在改造了400米后，引进了新设备，效率比原来提高了 20%，结果共用30天完成了任务，问引进新设备之前，工程队每天改造多少米？

8. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且ED=CD，BD平分∠ABC，过D点作DF⊥BC于点F，作DG⊥AB于点G， ∠ACB=60∘.

(1)求∠GED的度数；

(2)若BC−BE=6，求CD的长．

9. 在Rt△ABC中，∠CAB=90∘，AB=AC，点O是BC的中点，点P是射线CB上的一个动点（点P不与点C，O，B重合），过点C作CE⊥AP于点E，过点B作BF⊥AP于点F，连接EO，OF．

【问题探究】如图1，当P点在线段CO上运动时，延长EO交 BF于点G，
(1)求证：△AEC≅△BFA；

(2)BG与AF的数量关系为：________（直接写结论，不需说明理由）；

【拓展延伸】
(3)①如图2，当P点在线段OB上运动，EO的延长线与BF的延长线交于点G， ∠OFE的大小是否变化？若不变，求出∠OFE的度数；若变化，请说明理由；
②当P点在射线OB上运动时，若AE=2,CE=5，直接写出△OEF的面积，不需证明．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省宜春市某校初二（上）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
轴对称图形
【解析】
根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】
解：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形.
A，是轴对称图形，故本选项错误；
B，是轴对称图形，故本选项错误；
C，是轴对称图形，故本选项错误；
D，不是轴对称图形，故本选项正确．
故选D.
2.
【答案】
C
【考点】
有理数的乘方
合并同类项
完全平方公式
【解析】
根据同底数幂的运算法则计算判定A；根据合并同类项法则计算判定B；根据积的乘方与幂的乘方计算判定C，根据完全平方公式计算判定D.
【解答】
解：A，a3⋅a2=a5，故A错误；
B，x3+x3=2x3，故B错误；
C，(−b2)3=−b6，故C正确；
D，(m−n)2=m2−2mn+n2，故D错误.
故选C.
3.
【答案】
B
【考点】
三角形三边关系
【解析】
根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，即可得出答案.
【解答】
解：设第三边长为x，
则3−2解得：1故选B.
4.
【答案】
A
【考点】
轴对称——最短路线问题
线段垂直平分线的性质
【解析】
根据两点间线段最短，得出当点P与点E重合时，PB+PC最小，根据轴对称性质与线段垂直平分线性质得出PB+PC最小值为PB+PC=CE+BE=AE+BE=AB=求解即可.
【解答】
解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴点A与点C关于直线DE对称，
∴当点P与点E重合时，PB+PC最小，
最小值为PB+PC=CE+BE=AE+BE=AB=5.
故选A.
5.
【答案】
D
【考点】
分式方程的解
【解析】
首先解分式方程，进而得出m的取值范围．
【解答】
解：m−2x−1=1，
解得：x=m−1，
∵ 关于x的分式方程m−2x−1=1的解为正数，
∴ m−1>0，且m−2≠0，
解得m>1，且m≠2.
故选D．
6.
【答案】
B
【考点】
完全平方公式的几何背景
【解析】
由图2知大正方形的边长为a+b，小正方形的边长为a−b，则S阴影=(a+b)2−(a−b)2，根据两图形阴影面积相等求解即可.
【解答】
解：由图2可知：大正方形的边长为a+b，小正方形的边长为a−b，
∴S阴影=(a+b)2−(a−b)2,
∴(a+b)2−(a−b)2=4ab，
∴(a+b)2=(a−b)2+4ab.
故选B.
二、填空题
1.
【答案】
(a+2b)(a−2b)
【考点】
因式分解-运用公式法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：a2−4b2=(a+2b)(a−2b).
故答案为：(a+2b)(a−2b).
2.
【答案】
2
【考点】
分式值为零的条件
【解析】
根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【解答】
解：根据题意得：x−2=0，
解得：x=2．
此时2x+1=5，符合题意.
故答案为：2.
3.
【答案】
3
【考点】
列代数式求值
【解析】
将7−2a+4b变形为7−2(a−2b)，然后将已知代入计算即可.
【解答】
解：∵a−2b=2，
∴7−2a+4b=7−2(a−2b)=7−2×2=3.
故答案为：3.
4.
【答案】
115∘
【考点】
三角形内角和定理
角平分线的定义
【解析】
本题主要考察了角平分线的性质和三角形的内角和.
【解答】
解：∵ ∠A=50∘，
∴ ∠ABC+∠ACB=130∘．
∵ ∠ABC与∠ACB的平分线相交于D，
∴ ∠DBC+∠DCB=12(∠ABC+∠ACB)=65∘，
∴ ∠BDC=115∘．
故答案为：115∘.
5.
【答案】
24
【考点】
方向角
平行线的性质
等腰三角形的判定与性质
三角形的外角性质
【解析】
证△ABC是等腰三角形，即AB=BC，即可求解.
【解答】
解：如图，可知∠ACE=32∘，AB//CE，AB=(11−9)×12=24(海里)，
∵AB//CE，
∴∠BAC=∠ACE=32∘，
∵∠CBD=∠BAC+∠ACB，
∴∠ACB=∠CBD−∠BAC=32∘，
∴∠ACB=∠BAC，
∴BC=AB=24海里.
故答案为：24.
6.
【答案】
108或72或36
【考点】
等腰三角形的判定与性质
多边形的内角和
三角形内角和定理
【解析】
先求出∠AFB=72∘，∠ANF=72∘，再分类讨论：①当点P在AB上时，若AP=PF，若AP=AF；②当点P在BC上时，若AF=AP，若AF=PF；③当点P在CD上时，AP=PF.分别求解即可.
【解答】
解：∵四边形ABCDE为正五边形，
∴∠ABC=∠BCD=（5−2）×180∘5=108∘，
∴∠ABF=180∘−∠ABC=72∘.
∵CD//AF，
∴∠AFB=180∘−∠BCD=72∘，
∴∠BAF=180∘−∠ABF−∠AFB=36∘.
①当点P在AB上时，若AP=PF，
则∠AFP=∠FAP=36∘，
∴∠APF=180∘−36∘−36∘=108∘，
∴△AFP的顶角为108∘；
②当点P与点B重合时，此时AF=AP，
则∠PAF=∠BAF=36∘，
∴△AFP的顶角为36∘；
③当点P在BC上时，若AF=FP，
∠AFP=72∘，
∴△AFP的顶角为72∘；
④当点P与点C重合时，此时AP=PF，
∴∠FAP=∠AFP=72∘.
∴∠APF=180∘−72∘−72∘=36∘，
∴△AFP的顶角为36∘.
综上，当△AFP为等腰三角形时，
则△AFP的顶角为108∘或72∘或36∘.
故答案为：108或72或36.
三、解答题
1.
【答案】
解：1原式=4a4b3÷4a2b2=a2b．
21x−3−x3−x=2，
去分母得，1+x=2x−3，
去括号得，1+x=2x−6，
解得，x=7，
检验：当x=7时，x−3≠0，
∴x=7是原方程的解．
【考点】
整式的除法
解分式方程——可化为一元一次方程
【解析】
左侧图片未给解析
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【解答】
解：1原式=4a4b3÷4a2b2=a2b．
21x−3−x3−x=2，
去分母得，1+x=2x−3，
去括号得，1+x=2x−6，
解得，x=7，
检验：当x=7时，x−3≠0，
∴x=7是原方程的解．
2.
【答案】
解：原式=5x+2−x+2x+2⋅x+3x+3x−3
=3−xx+2⋅1x−3
=−1x+2，
因为x+2≠0，且(x+3)(x−3)≠0，
所以x≠−2，x≠−3，x≠3，
所以令x=−1，
原式=−1−1+2
=−1.
【考点】
分式的化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：原式=5x+2−x+2x+2⋅x+3x+3x−3
=3−xx+2⋅1x−3
=−1x+2，
因为x+2≠0，且(x+3)(x−3)≠0，
所以x≠−2，x≠−3，x≠3，
所以令x=−1，
原式=−1−1+2
=−1.
3.
【答案】
证明：∵△ABC，△BDE是等边三角形，
∴∠ABC=∠DBE=60∘，AB=BC，BD=BE，
∴∠ABC−∠DBC=∠DBE−∠DBC，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
∵ AB=BC，∠ABD=∠CBE，BD=BE，
∴△ABD≅△CBESAS.
【考点】
等边三角形的性质
全等三角形的判定
【解析】
无
【解答】
证明：∵△ABC，△BDE是等边三角形，
∴∠ABC=∠DBE=60∘，AB=BC，BD=BE，
∴∠ABC−∠DBC=∠DBE−∠DBC，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
∵ AB=BC，∠ABD=∠CBE，BD=BE，
∴△ABD≅△CBESAS.
4.
【答案】
解：∵AB=AC，∠BAC=120∘，
∴∠B=∠C=12180∘−∠BAC=30∘．
∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90∘，
∴∠CAD=∠BAC−∠BAD=120∘−90∘=30∘=∠C，
∴CD=AD=2．
在Rt△BAD中，∠B=30∘，
∴BD=2AD=4，
∴BC=BD+CD=4+2=6．
【考点】
等腰三角形的判定与性质
含30度角的直角三角形
【解析】
左侧图片未给解析
【解答】
解：∵AB=AC，∠BAC=120∘，
∴∠B=∠C=12180∘−∠BAC=30∘．
∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90∘，
∴∠CAD=∠BAC−∠BAD=120∘−90∘=30∘=∠C，
∴CD=AD=2．
在Rt△BAD中，∠B=30∘，
∴BD=2AD=4，
∴BC=BD+CD=4+2=6．
5.
【答案】
解：(1)点D如图所示.
(2)作AB边上的高CE如图所示.
【考点】
作图—应用与设计作图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)点D如图所示.
(2)作AB边上的高CE如图所示.
6.
【答案】
解：14x4+1
=2x22+12
=2x22+4x2+12−4x2
=2x2+12−2x2
=2x2+1+2x2x2+1−2x．
2a4+c4−7a2c2
=a4+c4+2a2c2−2a2c2−7a2c2
=a2+c22−9a2c2
=a2+c22−(3ac)2
=a2+c2+3aca2+c2−3ac．
【考点】
因式分解-运用公式法
【解析】
左侧图片未给解析
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【解答】
解：14x4+1
=2x22+12
=2x22+4x2+12−4x2
=2x2+12−2x2
=2x2+1+2x2x2+1−2x．
2a4+c4−7a2c2
=a4+c4+2a2c2−2a2c2−7a2c2
=a2+c22−9a2c2
=a2+c22−(3ac)2
=a2+c2+3aca2+c2−3ac．
7.
【答案】
解：设引进新设备之前，工程队每天改造x米，
由题得，400x+1000−4001+20%x=30，
解得：x=30，
经检验，x=30是原方程的解．
答：引进新设备之前，工程队每天改造30米．
【考点】
分式方程的应用
【解析】
左侧图片未给解析
【解答】
解：设引进新设备之前，工程队每天改造x米，
由题得，400x+1000−4001+20%x=30，
解得：x=30，
经检验，x=30是原方程的解．
答：引进新设备之前，工程队每天改造30米．
8.
【答案】
解：1∵DF⊥BC，DG⊥AB，BD平分∠ABC，
∴DG=DF，∠DFB=∠DGB=90∘．
∵ED=CD，
∴Rt△EDG≅Rt△CDFHL，
∴∠GED=∠ACB=60∘．
2在BC上取一点H，使得BH=BE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBH．
又∵BD=BD，
∴△BED≅△BHDSAS，
∴ED=HD，
∵ED=CD，
∴CD=HD．
又∵∠ACB=60∘，
∴△CHD是等边三角形，
∴CD=HC=BC−BH=BC−BE=6．
【考点】
全等三角形的性质与判定
三角形的角平分线
等边三角形的性质与判定
【解析】
左侧图片未给解析
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【解答】
解：1∵DF⊥BC，DG⊥AB，BD平分∠ABC，
∴DG=DF，∠DFB=∠DGB=90∘．
∵ED=CD，
∴Rt△EDG≅Rt△CDFHL，
∴∠GED=∠ACB=60∘．
2在BC上取一点H，使得BH=BE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBH．
又∵BD=BD，
∴△BED≅△BHDSAS，
∴ED=HD，
∵ED=CD，
∴CD=HD．
又∵∠ACB=60∘，
∴△CHD是等边三角形，
∴CD=HC=BC−BH=BC−BE=6．
9.
【答案】
解：(1)∵CE⊥AP于点E，
∴∠AEC=90∘，
∵BF⊥AP于点F，
∴∠AFB=90∘，
∴∠AEC=∠AFB，
∵∠BAF+∠CAE=90∘，∠ABF+∠BAF=90∘，
∴∠CAE=∠ABF，
在△ACE和△BAF中，
∠AEC=∠AFB，∠CAE=∠ABF，AC=AB，
∴△ACE≅△BAF（AAS).
BG=AF
(3)① ∠OFE的大小不变.
理由如下：∵ CE⊥AP,BF⊥AP，
∴ ∠CEA=∠AFG=90∘，
∴ CE//BF，
∴ ∠ECO=∠GBO，
∵ 点O是BC的中点，
∴ OC=OB，
又∵ ∠COE=∠BOG，
∴ △COE≅△BOGASA，
∴ OE=OG,BG=CE，
由(1)同理可得，Rt△AEC≅Rt△BFA，
∴ AF=CE,AE=BF，
∴ BG=AF，
∴ 在Rt△EFG中，FG=BG−BF=AF−AE=EF，
∵ BF⊥AP，
∴ ∠EFG=90∘，
又∵ OE=OG，
∴ ∠OFE=∠OFG=12∠EFG=12×90∘=45∘.
②在图2中， FG=EF=AF−AE=CE−AE=5−2=3，
且GF⊥EF,OE=OG，
易证S△OEF=12S△EFG=12×3×3×12=94；
在图3中，
FG=EF=AF+AE=CE+AE=5+2=7，
且GF⊥EF,OE=OG，
易证S△OEF=12S△EFG=12×7×7×12=494，
∴ △OEF的面积为94或494.
【考点】
全等三角形的判定
全等三角形的性质与判定
三角形的面积
【解析】
先证∠AEC=∠AFB=90∘，再证∠CAE=∠ABF，即可由AAS定理得出结论.
先由△ACE≅△BAF，得AF=CE，再证△CEO≅△BGO，得CE=BG，即可得出结论.
①延长FO交CE于H，证△CHO≅△BFO和△ACE≅△BAF，从而得证△DFH是等腰直角三角形，得∠EFH=45∘，即可得出结论.
②：过点O作OG⊥EF于G，先证△ACE≅△BAF，得BF=AE=2，AF=CE=5，EF=AE+AF=7，证△PFB∼△PEC，△PFB∼△PGO，求出OG长度，最后由三角形面积公式计算即可.
【解答】
解：(1)∵CE⊥AP于点E，
∴∠AEC=90∘，
∵BF⊥AP于点F，
∴∠AFB=90∘，
∴∠AEC=∠AFB，
∵∠BAF+∠CAE=90∘，∠ABF+∠BAF=90∘，
∴∠CAE=∠ABF，
在△ACE和△BAF中，
∠AEC=∠AFB，∠CAE=∠ABF，AC=AB，
∴△ACE≅△BAF（AAS).
(2)BG=AF.
理由：由(1)知：△ACE≅△BAF，
∴AF=CE，
∵CE⊥AP于点E，BF⊥AP于点F，
∴CE//BF，
∴∠ECO=∠GBO，
∵点O是BC中点，
∴OC=OB，
在△CEO与△BGO中，
∠ECO=∠GBO，∠COE=∠BOG，OC=OB，
∴△CEO≅△BGO(ASA)，
∴CE=BG，
∴BG=AF.
故答案为：BG=AF.
(3)① ∠OFE的大小不变.
理由如下：∵ CE⊥AP,BF⊥AP，
∴ ∠CEA=∠AFG=90∘，
∴ CE//BF，
∴ ∠ECO=∠GBO，
∵ 点O是BC的中点，
∴ OC=OB，
又∵ ∠COE=∠BOG，
∴ △COE≅△BOGASA，
∴ OE=OG,BG=CE，
由(1)同理可得，Rt△AEC≅Rt△BFA，
∴ AF=CE,AE=BF，
∴ BG=AF，
∴ 在Rt△EFG中，FG=BG−BF=AF−AE=EF，
∵ BF⊥AP，
∴ ∠EFG=90∘，
又∵ OE=OG，
∴ ∠OFE=∠OFG=12∠EFG=12×90∘=45∘.
②在图2中， FG=EF=AF−AE=CE−AE=5−2=3，
且GF⊥EF,OE=OG，
易证S△OEF=12S△EFG=12×3×3×12=94；
在图3中，
FG=EF=AF+AE=CE+AE=5+2=7，
且GF⊥EF,OE=OG，
易证S△OEF=12S△EFG=12×7×7×12=494，
∴ △OEF的面积为94或494.