初中数学北京课改版九年级上册20.4 解直角三角形教案

这是一份初中数学北京课改版九年级上册20.4 解直角三角形教案，共13页。教案主要包含了对解直角三角形的知识解读，教学前学生情况研究，教学过程及实施，教学后学生情况研究及反思等内容，欢迎下载使用。

一、对解直角三角形的知识解读
1.对知识本身的分析解读
我们知道，由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形，而在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么什么样的直角三角形才可解呢？如果已知两个锐角能否解直角三角形呢？
事实上，解直角三角形与直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为已知两个元素（至少有一个是边）可以判定直角三角形全等，也可以利用尺规作图作出直角三角形，即此时直角三角形是确定的，因此这样的直角三角形是可解的，从而确立了解直角三角形的概念。由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长。所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，至少有一个是边，这样，解直角三角形就分为两大类，即已知一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形。从直角三角形的可解性和存在性上来说，全等三角形的有关理论对理解本节课有积极的促进作用，因此，利用三角形全等的理论，有利于理解解直角三角形的相关内容，加强知识间的相互联系，使学生的学习形成正迁移。
初中主要研究锐角三角函数及解直角三角形和含特殊角的非直角三角形，这一阶段讲授的三角函数是静态的，主要讨论直角三角形的边角关系，即进一步研究直角三角形的性质，通过边的比值反映角的大小，而不是从函数的角度来认识。正弦、余弦、正切都是在给定的直角三角形中定义的，因此角度只限制在0°到90°。可以说，解直角三角形是初中这部分内容的定位。
高中主要研究任意角的三角函数（数学4基本初等函数2）、解斜三角形（数学5解三角形），是从函数的角度来研究三角函数的，因此它强调的是比值随角度的变化规律。
在欧氏几何中主要用定性的方法研究三角形，发现一般三角形中共性的结论。例如：三角形中，大边对大角，小边对小角；两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形的内角和是180°，直角三角形的三边满足勾股定理等等。而在三角学中主要用定量的方法研究三角形，主要以三角函数为主，如：正弦定理、余弦定理等，还包括三角函数的性质和图像，三角函数式的恒等变换等等。
2.对解直角三角形地位作用的分析解读
解直角三角形是《义务教育数学课程标准（2011年版）》“图形与几何”领域的内容，本节课是《北京市义务教育教科书》九年级上册第二十章第四节的第一课时，了解解直角三角形的概念，并能根据条件解直角三角形；解直角三角形在学习锐角三角函数、勾股定理等内容的基础上进一步探究如何利用所学知识解直角三角形，不但体现了三角函数的应用而且进一步完善了直角三角形的有关知识，对有关几何的运算和推理证明提供了有力的工具和建模。
在直角三角形中，勾股定理反映了三边之间的关系，三角形内角和反映了三个角之间的关系，而锐角三角函数反映了边角之间的关系，通过本节课的学习，学生理解直角三角形中各个元素之间的关系，并利用这些关系解直角三角形。本节重点研究解直角三角形的意义以及一般方法。
加强数形结合的教学，利用锐角三角函数解直角三角形，离不开几何图形，这时往往需要根据题意画出几何图形，通过分析几何图形得到边、角的关系，再通过计算、推理等解决问题，加深对解直角三角形本质的理解。
我进深刻理解到在中学数学课程中，三角的内容至关重要，三角是联系几何与代数的一座桥梁，是沟通初等数学和高等数学的一条通道。函数、向量、坐标、复数等许多重要的数学知识都与三角有关，大量实际问题的解决要用到三角知识。如直角三角形中的边角计算；一般三角形（含特殊角）和特殊四边形中的边角计算；圆中有关半径、弦长及圆和正多边形中的有关计算；高中立体几何中有关边、角、距离的计算；高中斜三角形中的边角关系的推导；物理学科中的某些计算问题等等。
三角是解决几何问题的有力工具，是训练代数变换能力的天然平台，如果能够对刚刚接触的解直角三角形有关知识进行有意义的探索和学习，对几何和代数的学习必有好处。
以往是把重点放在解直角三角形概念具体应用上，而这次我是把解直角三角形作为问题来研究，探究可解的条件、可解的理论依据。
3.对解直角三角形如何考的分析解读
解直角三角形是数学中考热点之一，尤其注重考查学生们在具体生活情景下运用数学知识的能力以及运用方程思想、数形结合思想、分类思想的能力。其中“锐角三角函数”是三角学的基础，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容，运用解直角三角形的知识解决实际问题是历年来中考的热点。
近年来，联系实际的直角三角形创新题层出不穷，这些题目立意新颖、贴近生活，不但强化考查了“四基”掌握情况，而且有效的考查学生的创新能力和探究意识，很好地体现了课改新理念。
二、解直角三角形的标准要求及课时安排
1．标准要求：
(1) 利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA，csA，tanA），
知道30°，45°，60°角的三角函数值。
(2) 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。
(3) 能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。
分析：本节课对应的标准要求是上述第（3）条
2.中考说明要求：
（1）基本要求：知道解直角三角形的含义；
（2）略高要求：会解直角三角形；能根据问题的需要合理作出垂线，构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形问题；
（3）会解有特殊条件的四边形中的计算问题；会设计简单的测量方案；能综合运用直角三角形的性质解决简单的实际问题。
分析：在实际的中考题中，一般以会解有特殊条件的四边形中的计算问题以及将解直角三角形与圆结合考查为主，结合具体题目条件，根据问题的需要合理作出垂线，构造直角三角形，从而解决这一问题，本节课学生以会解直角三角形为主，理解解直角三角形的依据，是下一步学习解非直角三角形的基础。
3．课时安排：北京版课时安排
锐角三角函数 约3课时
30°，45°，60°角的三角函数值 约1课时
用计算器求锐角三角函数值 约2课时
解直角三角形 约2课时
测量与计算 约4课时
总结与复习 约2课时
分析：北京版教材在安排两节解直角三角形，应该说学生已经对解直角三角形应具有的知识准备有所掌握，“解直角三角形”的概念虽然是第一次出现，但学生对这一切并不陌生，因此我们认为第一课时是利用所学知识探索解直角三角形的条件以及所需条件的依据，在知识的形成过程中体会探索问题的方法并时刻提醒学生每一步的解题依据，可以将所学知识融汇贯通使用，提高学生分析问题的能力。第二课时是在第一课时的基础上，通过添加辅助线由解直角三角形向解非直角三角形过渡，这一点也与中考说明中的第（2）（3）条不谋而合，同时规范解题格式，选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便。（本节课是解直角三角形的第一课时）
另外，在本节课安排中，要凸显三角函数的作用，是解决几何问题的有力工具，是训练代数变换能力的天然平台，三角函数的出场，使得代数与几何紧密地联系在一起，不再各自孤军奋战。
三、教学前学生情况研究
（一）学生学习该内容已有的知识状况
学生已经学习了全等三角形的判定定理，相似三角形，掌握了锐角三角函数的知识，会由三角函数确定角度的大小，利用三角函数建立直角三角形的边角关系，会在直角三角形中根据两边求某一锐角的三角函数值，会根据某一锐角的三角函数值以及一边长求其余的边长，并且掌握了直角三角形的勾股定理。
（二）学生学习该内容已有的生活、学习经验
在学习全等三角形的判定时，学生在教师的引领下经历了从一个条件到三个条件判定两个三角形全等的过程，对于此类问题有着直觉上的感知，但是并没有完全独立探索开放性问题的经历，因此，笔者认为让学生独立探索解直角三角形的条件可能还是会有一定的困难，因此本节课还是采用了在教师引导下学生探索解直角三角形的条件这一教学方式。
（三）学生学习该内容可能遇到的困难
课前的前测中，“在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为 a、b、c，除去直角∠C外，我们至少还需要给出几个元素，才可以将三边两角中其余的元素都找出来呢？”全班32人参与前测：
1．学生对题目意思的理解分析：全班32人中有25位同学采用了具体说明或者举例的方式来回答这一问题，占全班人数的78.1%，说明大部分学生可以理解这一问题。
2．学生是如何思考并解答的：全班32人中有5位学生给出了一般性的答案，（即明确的说出了需要两个条件中要至少一边或者采用分类的方法说明了需要一边一角或两边），占全班人数的15.6%，13位同学采用了举例的方式完成（给出的条件为一边一角或两边），但是并没有给出最终的结论，占全班人数的40.6%，7位同学也举例来说明（给出的条件为一边或一角），占全班人数的21.9%，还有7位同学仅仅给出了需要几个条件（并没有明确到底是怎样的条件），占全班人数的21.9%。
32人中，有8位学生认为需要再给出一个元素，有14位学生认为需要再给出两个元素，有7位学生认为需要再给出至少三个元素，有两位学生没有给出看法，有1位学生认为需要给出2-3个元素；可以看出，有44%的学生对于上述问题有较为清晰的想法，甚至有学生在问卷中体现出初步的分类思想，但是仍然有56%的学生对于这一问题的直接想法并不准确，认为仅需要一个条件或者需要更多的条件才可以解决这一问题。
3．学生的解答对教学设计的启发
基于前测的结果，发现有18位同学可以采用解答或举例的方式来解决课前问题，在教学设计时，我有了放手让学生自己自己探究的想法，但是由于在以前的教学中学生并没有真正的此类经历，学生之间的差异性又很悬殊，在正式讲课时并没有完全放开。
（四）我的思考
基于上述分析，在授课过程中，采用了开门见山的方式，直接抛出问题，让学生在独立思考的基础上，分组交流讨论，全体同学在相互交流、辨析的过程中达成共识，教师在此过程中，注意引导梳理学生的思路，使学生认识到研究问题的有序性以及分类讨论时应注意完备性（不重不漏）。
在认识满足什么条件的直角三角形是可解的直角三角形时，学生不太容易认识到可解的直角三角形与全等三角形的判定条件之间的关系，即使有感觉，也很难把二者之间建立起关系，因为全等三角形是两个三角形之间的关系，而解直角三角形研究的是一个三角形，二者从数量上是不对等的，因此，在理解可解的直角三角形与全等三角形的判定条件之间的关系时，有意识地引导学生认识举例条件中给出条件与全等三角形的判定条件之间的关系，使学生理解可解的直角三角形是唯一确定的，从而认识到具备了全等三角形的判定条件的直角三角形必然可解，突破本节课的难点。

四、教学过程及实施

五、教学后学生情况研究及反思
（一）后测题
本节课的课后检测没能在课上完成，课下集中学生利用自习课的10分钟进行了检测，检测题目如下：
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=3， 解此直角三角形．
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=37°，BC=1， 解此直角三角形．
（sin37°≈0．6，cs37°≈0．8， tan37°≈0．75）
3．在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=10， 求AB的长．
（二）检测结果及分析
全班33位同学参与检测，有18位同学三个检测题全对，占全班总人数的55%。。有12位同学在第2题的处理上存在问题，占全班总人数的36%，其中有7人能画出图形，对于题目的求解思路清晰，但是在计算上出现问题。
典型错误1：角度计算出现问题（2人）
典型错误2：勾股定理计算错误（5人）
有8位同学在第3题的处理上存在问题，占全班总人数的24%，其中有3人能画出图形，对于题目的求解思路清晰，但是在计算上出现问题。
典型错误3：求解目标混淆（2人）
典型错误4：特殊角三角函数错误或画图不准确（1人）
有5位同学只能解决第1题（完整）以及第2题、第3题中的角度，占全班总人数的15%。
所有参与测试的同学都能根据题目条件画出相对应的图形（只是有些图形不是很标准），占全班总人数的100%。
（三）反思及改进策略
本节课的教学目标是：
1．会用所学过的知识解直角三角形；
2．经历探索发现解直角三角形条件的过程，提高解决开放性问题的能力，体会数学知识之间的联系；
3．通过积极参与数学活动，感受合作学习探索交流的乐趣．
教学重点：解直角三角形条件的得出．
教学难点：解直角三角形条件的得出及依据．
下面分别对上述目标的达成度及重难点是否突破进行反思。
对于教学目标1：“会用所学过的知识解直角三角形”，通过课后检测可以发现：有33位学生可以解包含特殊角的直角三角形，有21位学生可以解包含非特殊角的直角三角形，出现错误的12位学生中有7位学生通过答题可以看出是有正确的求解思路的，只有5位学生是真正的不能解决这一问题的，说明至少有28位（85%的）学生能够用所学过的知识解直角三角形。当给出的角不是特殊角时，结果不如特殊角的好，所以相应的改进策略是增加一个角度不是特殊角的例题。
对于教学目标2：“经历探索发现解直角三角形条件的过程，提高解决开放性问题的能力，体会数学知识之间的联系”，在教学设计中，原本是想开门见山地将问题抛给学生，放开让学生自己去研究，但由于学生并没有真正完全独立探索开放性问题的经历，笔者担心让学生独立探索解直角三角形的条件还是会有一定的困难，因此本节课在问题抛出后，并没有给予学生充分的讨论时间，而是采取了在教师引导下让学生集体探索解直角三角形条件的做法，因而使得目标“经历探索发现解直角三角形条件的过程，提高解决开放性问题的能力”达成得不够。
对于教学目标3：“通过积极参与数学活动，感受合作学习探索交流的乐趣”，在习题环节中，采用了学生之间相互交流的方式来完成，学生能够体会到合作交流的学习乐趣。因此，这一目标有达成。
对于教学重点：解直角三角形条件的得出，本节课突出了上述重点。
对于教学难点：解直角三角形条件的得出及依据，本节课采用老师引导的方式突破难点“解直角三角形条件的得出”，但如果放手让学生自己探索得出解直角三角形的条件就更好了。对于教学难点“依据”，本节课处理得不错。教师有意识地利用彩色粉笔标注学生给出的已知条件，学生能感受到全等的证明条件是证明一个三角形不变的条件，也就是给出的条件满足判定三角形全等的条件时，此时的直角三角形是唯一确定的，其余的元素就可以求出来，本节课的难点得以突破。
改进策略：
在本节课的前测中反映出是有学生对此问题有正确的想法的，全班32人中有5位（15.6%）学生给出了一般性的答案，还有13位学生（40.6%）能够举例进行说明。因此，在今后的教学中，可以采用让学生先独立思考，再组内交流，最后小组汇报的方式进行。在教学过程中，注意结合学生的讨论情况，或者画图或者直接举例说明自己或本组的想法，教师在此过程中注意帮助学生梳理思维的有序性以及分类的完备性，这样学生对于解直角三角形的条件认识会更加清晰和明确，这样的课堂更能激发学生的学习兴趣，引起学生内在的需求，调动学习的积极性，为学生创造了一个轻松愉快的学习氛围，提高了学习的效率，这样学生就能达成独立探究与合作交流相结合，真正参与数学活动，感受合作学习、探索交流的乐趣，学生能够积极主动地参与到课堂教学中来，学生会更加积极主动，真正实现高效的课堂教学。结论情况
一般性结论
举例：两个条件
举例：一个条件
仅仅给出数量
汇总
人数
5
13
7
7
32
需要条件数量
1个
2个
3个
2-3个
无看法
汇总
人数
8
14
7
1
2
32
课题名称：20．4解直角三角形（第一课时）
教师姓名：高文丰 学校： 顺义区第三中学
教学
目标
1．会用所学过的知识解直角三角形；
2．经历探索发现解直角三角形条件的过程，提高解决开放性问题的能力，体会数学知识之间的联系；
3．通过积极参与数学活动，感受合作学习探索交流的乐趣．
教学重难点
教学重点：解直角三角形条件的得出．
教学难点：解直角三角形条件的得出及依据．
教学过程
教学
环节
教师活动
学生活动
设计意图
探
索
新
知
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为 a、b、c，除去直角∠C外，我们至少还需要给出怎样的条件，才可以将三边两角中其余的元素都求出来呢？
利用PPT引导学生认识至少是从最少的条件分析认识所给出的条件数量。（投影片中的“至少”两个字突出）
预设一：至少再给出一条边或一个角．
预设二：至少再给出两个条件．
两个条件又有哪几种不同的情况？每一种情况是否能够举例说明？
学生可能出现的结果：
①再给出两边，两边都是直角边;
②再给出两边，两边是一直角边和一条斜边;
③再给出两个角;
④再给出一边一邻角;
⑤再给出一边一对角．
为什么已知两边或一边一角就能够将该三角形的其他元素求出来呢？为什么已知一边、一角或者两个角却不能把直角三角形的其余元素都找出来呢？（此时，如果学生没有思路，教师适当引导全等三角形的判定方法，给出的条件可以唯一确定一个三角形）
直接思考或者结合图形进行分析可以从最少的条件入手思考，也可能有学生直接从多个条件进行思考
学生直接举出反例来说明此时不可能把直角三角形的其余结果都找出来
举例说明每一种情况，说明求解思路就可以
学生独立思考后小组内相互交流，并说明自己的想法
开门见山的提出问题，发散学生的思维
感受分类的有序性和完备性，养成良好的学习习惯
体会数学学习的严谨性
课
堂
实
录
节
选
师：回顾一下我们刚才的过程，我们是来研究（解直角三角形）最少需要几个条件，我们是从几个条件开始入手的？
生：从一个到两个
师：提醒同学们，研究一个问题要注意顺序，一个条件我们是从角和边来考虑，两个我们也是分角和边，把每一种情况都考虑进去，要考虑全面（完备性）
师：我们刚才举了几个例子，我们能不能把所有的例子都举尽了？
生：摇头，不能
师：而且我们举的几个例子都是包含特殊角的，不是特殊角的解起来还很困难，那么我们怎么说明这四种（一角及其邻边，一角及其对边，两直角边，斜边及直角边）一定都可以解呢？有没有一个理论来保证呢？
生：沉思
师：如果感觉困难的话，可以交流讨论
生：相互之间交流讨论（但是学生感觉比较紧张）
师：咱们一起来看看，我们给出了哪些条件，一共只有这四类图形，我们先看第一个图，给出了什么条件？
生：一角一边
师：是不是就给出了一角一边，还有没有第三个条件？
生：直角
师：那实际上在这个图形里面，我们总共给了几个条件？
生：三个
师：分别是
生：直角，边，角；两角一边；角角边（不同的说法）
师：简单的说就是两角一边
师：（手指下一个图）这个图形里面
生：两角一边
师：（手指下一个图）这个图形里面
生：两边一角
师：（手指下一个图）这个图形里面
生：两边一角
师：（手指斜边直角边的图）这个应该是
生：斜边直角边
师：（手指两直角边的图）这个应该是
生：边角边
师：（手指一角及其对边的图）这个应该是
生：角角边
师：类似这样的说法，我们在哪见过吗？你有什么想法吗？
一学生举手
生：我觉得这个可能是固定三角形不变的条件
师：什么是固定三角形不变的条件
生：因为如果要证两个三角形全等的话，可以有不同的证法，比如说角边角，只要说明那两个角和那个边相等，就可以说明这两个三角形全等了，所以我觉得全等的证明条件是证明这个三角形不变的条件
师：注意听最后一句话了吗？我们证明三角形全等的条件就是证明这个三角形不变的条件，不变就说明这个三角形是
生：唯一确定的
师：如果这个三角形都已经唯一确定了，说明它的各角和各边的大小就
生：完全确定了
师：既然确定了，说明就一定可以找出来的
师：一角或一边或两角为什么不行呢？
生：给出的三角形不确定
师：所以我们判断一个三角形其余元素能不能求出来，我就可以看看条件，如果这个条件能满足我们判定三角形全等的条件，说明此时的直角三角形是唯一确定的，其余的元素我们就都可以求出来。
概
念
形
成
我们把由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
回顾上面的过程，你能用自己的语言将解直角三角形的上述定义完善吗？
由直角三角形中除直角外的两个已知元素（其中至少一个是边），求出其余三个未知元素的过程，叫做解直角三角形．
用自己的语言说明什么是解直角三角形
学生也可能说成是两边或一边一角，根据学生的接受情况选择最终方案
在逐步完善概念的过程中，感受什么是解直角三角形
练
习
巩
固
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知c=8，∠B=60°， 解这个直角三角形．
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知a=4，b=3，解这个直角三角形．
（sin37°≈0．6，cs37°≈0．8，
tan37°≈0．75）
请你设计一个关于解直角三角形的题目．
变式1已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，△ABC的周长是，解这个直角三角形．
变式2已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，∠BAC的平分线AD=4，解此直角三角形．
（变式1，2灵活掌握，如果学生出题比较充分，变式就不再完成）
结合题目条件，画出图形，完成求解
思考，交流不同的解直角三角形的方法
自己设计题目，并尝试求解
思考改编题目
预案1：改变角度
预案2：已知面积
体会解直角三角形的含义、步骤及解题过程．
给学生展示的平台，增强学生的兴趣及自信心．
让学生自己改编题目，能让他们深刻理解直角三角形中边角之间相互转化的关系，加深理解．
随
堂
检
测
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=3， 解此直角三角形．
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=37°，BC=1， 解此直角三角形．
（sin37°≈0．6，cs37°≈0．8，
tan37°≈0．75）
3．在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=10， 求AB的长．
独立完成检测题．
1题检测对解直角三角形的理解；2题检测解直角三角形方法的选择；3题为学有余力的学生准备．
课
堂
小
结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
1．学到了哪些知识？
2．体会到了哪些数学思想方法？
3．还有什么想法或疑惑？
根据问题进行小结、反思．
养成反思意识，通过小结提升认识．
题目1
题目2
题目3
人数
完全正确
完全正确
完全正确
18
完全正确
不完全正确
完全正确
7
完全正确
完全正确
不完全正确
3
完全正确
不完全正确
不完全正确
5
33人正确
21人正确
25人正确
33