初中数学人教版八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.2 等边三角形多媒体教学课件ppt

这是一份初中数学人教版八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.2 等边三角形多媒体教学课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了知识回顾，三线合一，等角对等边，等边对等角，从边的角度，从角的角度，从对称的角度，两腰相等，轴对称图形，两边相等等内容，欢迎下载使用。

满足什么条件的三角形是等边三角形？
三边都相等的三角形是等边三角形
等边三角形也叫 正三角形
等腰三角形有哪些特殊的性质呢？ 
将等腰三角形的性质用于等边三角形， 你能得到什么结论？ 
结合等腰三角形的性质， 你能填出等边三角形对应的结论吗？
底边上的 三线合一
等边三角形的三个内角都相等， 并且每一个角都等于60°
已知：△ABC 是等边三角形．求证：∠A =∠B =∠C=60°．
证明：∵　△ABC 是等边三角形， ∴　BC =AC，BC =AB．∴　∠A =∠B，∠A =∠C ．∴　∠A =∠B =∠C ． ∵　∠A +∠B +∠C =180°， ∴　∠A =60°． ∴　∠A =∠B =∠C =60°．
∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C =60°．
等边三角形是轴对称图形吗？ 如果是，指出它的对称轴．
等边三角形是轴对称图形
等边三角形有三条对称轴
每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线所在的所有直线都是它的对称轴
等边三角形的每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线都分别重合．
∵AB=AC，BD=DC
∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC
∵BA=BC，EA=EC
∴∠ABE=∠CBE，BE⊥AC
∵CA=CB，AF=BF
∴∠CAF=∠BAF，CF⊥AB
简而言之，等边三角形 每一边上的三线都合一
等边三角形有都有哪些性质呢？
三角相等 都等于60°
如图，等边三角形ABC中，BD 是 AC 边上的中线，BD=BE，则∠EDA的度数是________．
如图，△ABC 是等边三角形，AD⊥AB于A，DC⊥BC 于C．求证：△DAC 是等腰三角形．
提示：证明∠DAC =∠DCA．　
如图，已知，△ABC 是等边三角形，BD是中线，BD=6，延长BC到E．使CE=CD，求DE长．
提示：证明BD=DE．
你知道怎么判定一个三角形是等边三角形吗？
可以利用定义，证明它的三边相等
除此之外，还有没有其他办法呢？
证明它三角相等行不行呢？
猜想：三个角都相等的三角形是等边三角形
三个角都相等的三角形是等边三角形
已知：△ABC 中，∠A=∠B=∠C． 求证：△ABC 是等边三角形．
证明：∵∠A=∠B=∠C， ∴BC =AC =AB（等角对等边）， ∴△ABC 是等边三角形．
三边相等或三角相等都能直接判定一个三角形是等边三角形
除此之外还有没有其他判定方法呢？
我们知道，等边三角形是特殊的等腰三角形，
等腰三角形加个什么条件，能变成等边三角形呢？
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
这个60°角的位置有哪几种情况呢？
60°角是等腰三角形的顶角
60°角是等腰三角形的底角
先证60°角是等腰三角形的顶角的情况
已知：△ABC，AB=AC，∠A=60°．
求证：△ABC 是等边三角形．
证明：∵∠A=60°， ∴∠B+∠C =120°． ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠B=∠C =60°， ∴∠A=∠B=∠C， ∴△ABC 是等边三角形．
再证60°角是等腰三角形的底角的情况
已知：△ABC，AB=AC，∠B=60°．
证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵∠B=60° ∴∠B=∠C=60°， ∴∠A=60°， ∴∠A=∠B=∠C， ∴△ABC 是等边三角形．
要判定一个三角形是等边三角形有哪几种方法？
三角相等的三角形是等边三角形
三边相等的三角形是等边三角形
如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC， 分别交AB，AC 于点D，E．求证：△ADE 是等边三角形．
证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C =60°． ∵DE∥BC， ∴∠B =∠ADE，∠C =∠AED． ∴∠A=∠ADE =∠AED． ∴△ADE 是等边三角形．
想一想，还有其他证法吗？
如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC， 分别交AB，AC 的延长线于点D，E．求证：△ADE 是等边三角形．
如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC， 分别交AB，AC 的方向延长线于点D，E．求证：△ADE 是等边三角形．
已知： D，E 分别是等边△ABC 中AB，AC 边上的点，且BD=CE．求证：△ABC 是等边三角形 .
提示：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
已知△ABC 中，∠A =60°,（         ） 请你在括号内补充一个条件，使△ABC 能成为等边三角形．
答案：∠B=60°或∠C =60° 或AB=BC 或AC =BC．
已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC 的周长为_______．
△ABC 是等腰三角形，周长为15cm，且∠A=60°，则BC =_______．
如图，D、E、F分别是等边三角形ABC 三边上三点，且AD=BE=CF．试问：△DEF 是什么三角形？
提示：证明△ADF ≌△BED ≌△CFE．
１．等边三角形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴．
2．如图，等边三角形△ABC 中，AD是BC 边上的高，∠BDE＝∠CDF＝60°，图中与BD相等的线段有哪些？
将两个含有30°的三角尺摆放在一起 你能借助这个图形，找到Rt△ABC 的直角BC 与斜边AB 之间的数量关系吗?
你能用学过的方法证明吗?
如图，已知△ABC ≌△ADC，∠ACB=∠ACD=90°，∠BAC =∠DAC =30°．求证：
证明：∵△ABC≌△ADC， ∴AB＝AD， BC=CD， 又∵∠BAC=∠DAC=30° ∴∠BAD= 60°， ∴△ABD是等边三角形． ∴BD=AB， ∴BC＝DC＝
如图，已知△ABC，∠ACB=90°，∠BAC =30°． 求证：
证明：在BA上截取BD=BC， ∵∠BAC=30°，∠ACB=90°， ∴∠B=60° ∴△ABD是等边三角形， ∴BC=CD=BD，∠DCB=60°， ∴∠DCA＝30°， ∴∠DCA=∠A， ∴AD=DC， ∴AD=BD=BC．
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
这个定理该怎么写过程呢？
∵在Rt△ABC 中， ∠C =90°，∠A=30°，
下图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC、 DE 垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，立柱BC 、 DE 要多长?
答案：3.7m，1.85m．
在Rt△ABC 中，∠C =90° ，∠B=2∠A ，∠B 和∠A各是多少度，边AB 和BC 之间有什么关系？
答案：60°，30°；AB=2BC．
如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB =10，则BC 的长为________．
如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．则BD =______ . 
如图：在Rt△ABC中∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB=_____cm．
如图：△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB=8cm，BD=_______，BE=_______．
答案：4cm，2cm．
如图，在△ABC中，∠C =90°，∠B=15°，DE 是AB 的中垂线，BE=5，则AE=______，AC =_____．
如图：已知 在△ABC 中，∠A=30°， ∠C =90°，BD 平分∠ABC．求证：AD=2DC．
提示：证明∠DAC=30°．
已知：如图，B，O，C 三点在一条直线上，△AOB 和△COD都是等边三角形，AC，BD 交于点 E . 求证：（1）AC =BD；（2）∠AEB=60°．
提示：证明△AOC ≌△BOD．
如图，△ABC 和△DEC 都是等边三角形，连接BD、AE，且BD交AC 于F、AE 交CD 于H，连接FH． （1）求证：BD＝AE；
提示：证明△BCD ≌△ACE．
总结：等边共顶点就会有边角边全等．
如图，△ABC 和△DEC 都是等边三角形，连接BD、AE，且BD交AC 于F、AE交CD 于H，连接FH． （2）求证：CF＝CH； （3）判断△CFH是什么特殊三角形并说明理由．
提示：证明△BCF ≌△ACH．
等边内的点到三边的距离之和
如图，已知等边三角形ABC，P是三角形内一点，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，求证：PD+PE+PF是等于等边三角形的高．
提示：连接PA，PB，PC，利用面积相等．
含30°直角三角形的剖分
要把一块三角形的土地均匀分给甲 、 乙、丙三家农户去种植,如果∠C＝90°，∠B＝30°，要使这三家农户所得土地的大小和形状都相同，请你试着分一分，在图上画出来．
构造含30°的直角三角形
如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=120°，AB 的垂直平分线MN交BC 于M，交AB 于N．求证：CM=2BM．
如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝120°，EF 垂直平分AC 且交BC 于F．求证：BF＝2CF．
如图在△ ABC 中， AB=AC =2a，∠ABC =∠ACB=15°，求△ABC 的面积．
提示：作出AB边上的高．
腰长为 2，底角为15°的等腰三角形的面积为_______．
提示：作出底边上的高．
如图，△ABC 为等边三角形，D，E 两点分别在 BC，AC 边上，AE=AD，AD，BE 相交点于 P，BQ⊥AD 于点 Q，若PQ=3，PE=1，求 AD 的长．
提示1：证明△ACD ≌△BAE．
提示2：∠BPQ=∠BAP+∠ABP．
已知：如图，在等边△ABC 中，D、E分别为BC、AC上的点，且AE=CD，连结AD、BE 交于点P，作BQ⊥AD 于Q， 求证：（1）∠APE=60°；（2）BP=2PQ．
提示1：证明△ABD ≌△BCE．
提示2：∠APE=∠BAP+∠ABP．
如图，在等边△ABC 中，AC=9，点 O 在 AB 上，且 BO=3，点 P 是 BC 上一动点，连结 OP，将线段 OP 绕点 O 逆时针旋转 60° 得到线段 OD．要使点 D 恰好落在 AC 上，则 BP 的长是_____．
提示：先画出示意图，然后证明△BOP ≌△ADO．
已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=       AB． 求证：∠A=30°．
提示：延长BC 至D，使得CD=BC，连接AD．
总结：若直角边是斜边的一半，则直角边所对的角是30°．
若三边长 a，b，c 满足（a-b）（b-c）（c-a）=0，则三角形的形状为____________．
若三边长 a，b，c 满足（a-b）  +（b-c）  +（c-a）  =0，则三角形的形状为____________．
这节课我们学到了什么？
这节课我们还学到了什么？
1.（1）等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角是多少度？    （2）等腰三角形的一个角是80°，它的另外两个角是多少度？
2.如图，AD∥BC，BD平分∠ABC . 求证AB=AD .
3.如图，五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，为了画出五角星，还需要知道∠AMB 的度数 . 算一算∠AMB 等于多少度 . 
4.如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC=120° . ∠B，∠C，∠BAD，∠CAD 各是多少度？
5.如图，∠A=∠B，CE∥DA，CE 交AB 于点E . 求证：△CEB是等腰三角形 .
6.如图，点D，E在△ABC 的边BC上，AB=AC，AD=AE . 求证BD=CE . 
7.如图，AB=AC，∠A=40°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D . 求∠DBC 的度数 . 
8.尺规作图：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线 . 
9.某地地震过后，河沿村中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平： 在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点 . 同学们由此确信房梁是水平的 . 他们的判断对吗？为什么？
10.如图，△ABC 中，BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，MN 经过点O，与AB，AC 相交于点M，N，且MN∥BC . 求证：△AMN 的周长等于AB+AC . 
11.上午8时，一条船从海岛A出发，以15 n mile/h（海里/时，1 n mile =1 852 m）的速度向正北航行，10时到达海岛B 处 . 从A，B望灯塔C，测得∠NAC =42°，∠NBC=84°. 求从海岛B 到灯塔C 的距离 . 
12.如图，△ABD，△AEC都是等边三角形 . 求证BE=DC . 
11.等腰三角形两底角的平分线相等吗？两腰上的中线呢？两腰上的高呢？证明其中的一个结论 . 
14.如图，P，Q是△ABC 的边BC上的两点，并且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC 的度数 .