安徽省皖八联盟2020-2021学年高一下学期统测数学试题+Word版含答案

2020级高一年级第二学期皖八联盟统测

数学

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．

2．请将各题答案填写在答题卡上．

3．本试卷主要考试内容：必修第二册第六章至第八章．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数（a为实数）为纯虚数，则（    ）

A．       B．       C．       D．

2．在中，已知，则（    ）

A．3       B．2       C．       D．

3．下列判断正确的是（    ）

A．空间中任意三点确定一个平面         B．垂直同一个平面的两条直线互相垂直

C．一个西瓜切3刀最多可切成8块       D．垂直同一个平面的两个平面互相平行

4．已知向量，若，则（    ）

A．20       B．12       C．5       D．0

5．已知O为复平面内的原点，复数在复平面内对应的点分别为A，B，则的取值范围是（    ）

A．       B．       C．       D．

6．已知的是两个不共线的向量，，若A，B，C三点共线，则（    ）

A．       B．       C．       D．

7．如图，在直三棱柱中，点O为的中点，，则异面直线与所成角的正切值为（    ）

A．2       B．3       C．       D．

8．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，则（   

A．       B．       C．       D．

9．已知正四棱锥的所有棱长均为，E，F分别是的中点，则（    ）

A．       B．       C．       D．3

10．某几何体由圆锥挖去一个圆柱而得，且圆柱的上底面与圆锥内接，如图所示，已知该圆锥的底面半径，圆柱的底面半径，且圆锥侧面展开图的圆心角为，则该几何体的体积为（    ）

A．       B．       C．       D．

11．若向量满足，且当时，的最小值为，则（    ）

A．       B．       C．6       D．

12．如图，正方体的棱长为2，M为棱的中点，N为棱上的点，且，现有下列结论：

①当时，平面；

②存在，使得平面；

③当时，点C到平面的距离为；

④对任意，直线与都是异面直线．

其中所有正确结论的编号为（    ）

A．①②       B．①③       C．②④       D．③④

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13．复数的共轭复数是_________．

14．已知向量与的夹角为，且，则_________．

15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且的面积为，则内切圆的面积为_________．

16．在长方体中，，则以点A为球心，半径的球的球面与长方体表面的交线的总长度为________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知复数满足．

（1）求；

（2）若复数的虚部为1，且是实数，求．

18．（12分）

如图，已知，且．

（1）求；

（2）设与交于点P，求的值．

19．（12分）

如图，正四棱锥的每个侧面均为等边三角形．

（1）证明：平面．

（2）若四棱锥的体积为，求该四棱锥的表面积．

20．（12分）

如图，缉私艇在A处通过卫星发现正东方相距的P处有一艘走私船，走私船正以的速度往它的东北方向的公海逃窜，此时距离公海．缉私艇立即以的速度追缉．

（1）为了尽快将走私船截获，缉私艇应该往哪个方向进行追缉？

（2）缉私艇能否在该走私船进入公海前将其截获？

21．（12分）

如图，在正方体中，M为棱的中点．

（1）试作出平面与平面的交线l，并说明理由；

（2）用平面去截正方体，所得两部分几何体的体积分别为，，求的值．

22．（12分）

如图,在平面四边形中，．

（1）设，证明：为定值．

（2）若，记的面积为，的面积为，，求S的最大值．

2020级高一年级第二学期皖八联盟统测

数学参考答案

1．A  因为为纯虚数，所以，则．

2．B  由正弦定理，得．

3．C  空间中任意三点不一定可确定一个平面，垂直同一个平面的两条直线互相平行，垂直同一个平面的两个平面未必互相平行，一个西瓜切3刀等价于一个正方体被三个平面切割，按照如图所示的方法切割可得最多块数，故C正确，其余选项均错误．

4．C  由可得，解得，所以，则．

5．B  因为，所以A的坐标为，又B的坐标为，所以．

6．B  ．因为A，B，C三点共线，所以，即，，则解得．

7．A  如图，连接，设与的交点为E，连接，易得点E为的中点，又因为点O为的中点，所以，且，所以即异面直线与所成角．在直三棱柱中，，又因为，所以平面，从而平面，可得．因为，所以，所以．

8．C  因为，所以，即，又，则，从而，又，故．

9．A  如图，设正方形的中心为O，连接，则平面，．设的中点为H，连接，则，所以．在中，，所以由余弦定理可得，所以．

10．C  因为圆锥侧面展开图的圆心角为，所以，则，圆锥的高，设圆柱的高为，则，解得，所以该几何体的体积为．

11．D  由向量的减法法则可得，当向量与垂直时，取得最小值，则，解得，

则，故．

12．D  若平面，如图，连接，记交于S，交于T，连接，则，又T为的中点，故S也为的中点．

延长交的延长线于Q，可知，即，故①错误．

若平面，则，这是不可能的，故②错误．

利用等体积法求得点C到平面的距离为，故③正确．

连接（图略），平面，点平面，点平面，利用异面直线的判定定理“过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不过该点的直线异面”，故④正确．

13．  ，故复数的共轭复数是．

14．2  因为，所以．

15．  由，可得，结合化简可得，因为，所以，则，因为，所以．又，所以，因为，所以，故内切圆的半径，内切圆的面积．

16．  交线由四段弧构成．如图，其中两段（前侧面和下底面）弧是以A为圆心，半径为，圆心角为的圆弧；另两段（上底面和后侧面）弧是分别以和D为圆心，半径为1，圆心角为的圆弧．

17．解：（1）．              4分

（2）设，

则，              6分

因为是实数，所以，解得，              8分

所以．              10分

18．解：（1），

则．       5分

（2）等于向量和的夹角．

，              7分

，              9分

则．              12分

19．（1）证明：在正四棱锥中，底面为正方形，则，              2分

因为平面平面，所以平面．              4分

（2）解：设底面，O为垂足，则O为正方形的中心，       5分

取的中点E，连接．

因为底面，所以．       6分

设，则，              7分

则，              8分

所以四棱锥的体积，              10分

解得，从而该四棱维的表面积．        12分

20．解：（1）假设t小时后缉私艇在点M处将走私船截获．

在中，，解得，

则，即缉私艇应该往东偏北方向追缉．              6分

（2）在中，根据余弦定理得，化简得，

解得，此时走私船前进了．

所以缉私艇可以在该走私船进入公海前将其截获．              12分

【用正弦定理利用也可以求解】

21．解：（1）作法：如图，连接，在平面内过M作，交于N，则直线即平面与平面的交线l．              3分

理由：因为平面平面，又平面平面，平面平面，所以．因此，在平面内过M作，而，即，则直线即所求作的交线l．              6分

（2）由（1）知在三角形中，，M为棱的中点，所以N为棱的中点．

在正方形中，延长交的延长线于点P（图略），所以B为棱的中点．由于N为棱的中点，所以延长交的延长线于点P，

所以几何体是三棱台．              8分

设正方体的棱长为a，则的面积的面积，

所以三棱台的体积，       10分

另一个几何体的体积，

因为用平面去截正方体，所得两部分几何体的体积分别为，，

所以，所以．              12分

22．（1）证明：设，则．

在中，因为，所以．               1分

在中，由余弦定理得，       2分

即，       3分

则，即，              4分

故为定值．              5分

（2）解：在中，，

则，即．       7分

              8分

，              10分

当时，S取得最大值．              12分