2021学年6.1 平面向量的概念单元测试测试题

这是一份2021学年6.1 平面向量的概念单元测试测试题，共14页。试卷主要包含了 选择题， 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。

一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 6 分 ，共计60分 ， ）

1. 与向量a→=(1，2)同向的单位向量是( )
A.(15,25)B.(55,255)C.(55,−255)D.(255,55)

2. 已知非零向量a→=(4x, x)，b→=(1, 4x)，若a→⊥b→，则|a→|=( )
A.13B.17C.19D.25

3. 已知a→=(x,3)，b→=(3,1)，且a→ // b→，则x等于（ ）
A.−1B.−9C.9D.1

4. 已知向量a→=(3, 2)，b→=(−2, 1)，c→=(4, 3)，若(λa→+b→)⊥(c→−a→)，则实数λ=( )
A.15B.5C.4D.14

5. 已知向量a→=(32, 12)，b→=(3, −1)，则a→，b→的夹角为（ ）
A.π4B.π3C.π2D.2π3

6. 化简PM→−PN→+MN→所得的结果是（ ）
A.MP→B.NP→C.0→D.MN→

7. 已知|a→|=1，b→=(0, 2)，且a→⋅b→=1，则向量a→与b→夹角的大小为（ ）
A.π6B.π4C.π3D.π2

8. 在△ABC中，AB=3，AC=4，M为BC的中点，则AM→⋅BC→=( )
A.−52B.−32C.12D.72

9. 如图，在△ABC中，∠BAC=π3,AD→=2DB→，P为CD上一点，且满足AP→=mAC→+12AB→，若AC=3,AB=4，则AP→⋅CD→的值为( )

A.−3B.−1312C.1312D.112

10. 设x，y∈R，向量a→=(x,1)，b→=(1,y)，c→=(2, −4)，且a→⊥c→，b→ // c→，则a→+b→=( )
A.(3, 3)B.(3, −1)C.(−1, 3)D.(3, 32)
二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 6 分 ，共计36分 ， ）

11. 已知OA→=(k, 2)，OB→=(1, 2k)，OC→=(1−k, −1)且相异的三点A、B、C共线，则实数k=________．

12. 已知向量|a→|=2，|b→|=1，且a→与b→的夹角为45∘，则a→在b→方向上的投影为________．

13. 已知a→=(−1, 5, 1)，b→=(2, 14, −2)，2a→+4x→=b→，则x→=________．

14. 在平面直角坐标系中，已知两点A(2, −1)和B(−1, 5)，点P满足AP→=2PB→，则点P的坐标为________．

15. 设e1→，e2→是两个不共线的向量，已知向量AB→=me→1+2e→2，CB→=e1→+2e2→，CD→=2e1→−e2→，若A，B，D三点共线，则实数m的值为________．

16. 在△ABC中，AB=AC，E，F是边BC的三等分点，若|AB→+AC→|=3|AB→−AC→|，则cs∠EAF=________．
三、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 17 分 ，共计51分 ， ）

17. 设m→，n→是两个不共线的向量，若AB→=m→+5n→，BC→=−2m→+8n→，CD→=4m→+2n→，试判断A,B,D的位置关系.

18.
(1)如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF，用向量方法证明：四边形DEBF是平行四边形；

(2)如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，AB→=a→，AC→=b→.
(1)设AP→=λAM→，求λ的值；
(2)用a→，b→表示AP→和BP→.

19. 已知点M3,1,Ncsx,sinx，O为坐标原点，函数fx=OM→⋅ON→−OM→.
(1)求函数fx在0,2π上的单调递增区间；

(2)若A为△ABC的内角， fA=−4 ，BC=3，求△ABC周长的最大值．
参考答案与试题解析
2021年人教A版（2019）必修第二册数学第六章 平面向量及其应用单元测试卷含答案
一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 6 分 ，共计60分 ）
1.
【答案】
B
【考点】
平行向量的性质
单位向量
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：对于选项A，它的模不为1不是单位向量,
对于B，C，D，它们的模都是1，是单位向量,
又1×255=2×55,故B中向量与a→平行
1×55≠2×(−255)，故C中的向量与a→不平行,
1×255≠2×55，故D中向量与a→不平行.
故选B.
2.
【答案】
B
【考点】
向量模长的计算
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ a→⊥b→，a→=(4x, x)，b→=(1, 4x)，
∴ a→⋅b→=4x+4x2=0，
解得x=0或x=−1，
∵ a→为非零向量，
∴ x=−1，
∴ a→=(−4, −1)，
∴ |a→|=17.
故选B.
3.
【答案】
C
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出x的值．
【解答】
解：∵ a→=(x,3)，b→=(3,1)，且a→ // b→，
∴ x−3×3=0，
解得x=9．
故选：C．
4.
【答案】
A
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量数量积的运算
【解析】
可求出λa→+b→=(3λ−2,2λ+1)，c→−a→=(1,1)，根据(λa→+b→)⊥(c→−a→)即可得出(λa→+b→)⋅(c→−a→)=0，然后进行数量积的坐标运算即可求出λ．
【解答】
解：λa→+b→=(3λ−2,2λ+1)，c→−a→=(1,1)，
因为(λa→+b→)⊥(c→−a→)，
所以(λa→+b→)⋅(c→−a→)=3λ−2+2λ+1=0，
解得λ=15．
故选A.
5.
【答案】
B
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
利用两个向量的数量积公式、两个向量的数量积的定义，求得csθ的值，可得a→，b→的夹角θ的值．
【解答】
设a→，b→的夹角为θ，θ∈[0, π]，∵ 向量a→=(32, 12)，b→=(3, −1)，
∴ a→⋅b→=32⋅3−12=|a→|⋅|b→|⋅csθ＝1⋅2csθ，
求得csθ=12，∴ θ=π3，
6.
【答案】
C
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义
【解析】
利用向量加法的三角形法则，(PM→+MN→ )=PN→，代入要求的式子化简．
【解答】
解：化简PM→−PN→+MN→=(PM→+MN→ )−PN→=PN→−PN→=0→.
故选C.
7.
【答案】
C
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
平面向量数量积
【解析】
利用向量的夹角公式即可得出．
【解答】
解：∵ |a→|=1，b→=(0, 2)，且a→⋅b→=1，
∴ cs=|a→||b→|˙=11×0+22=12．
∴ 向量a→与b→夹角的大小为π3．
故选：C．
8.
【答案】
D
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
平面向量数量积的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由已知AM→=12AB→+AC→，BC→=AC→−AB→，
所以AM→⋅BC→
=12(AB→+AC→)⋅(AC→−AB→)
=12(AC→2−AB→2)=72.
故选D.
9.
【答案】
C
【考点】
平面向量数量积的运算
向量的三角形法则
【解析】
先求出AP→,CD→的表达，进而利用题目所给信息进行求解即可.
【解答】
解：已知AP→=mAC→+12AB→ ，
∵ AD→=2DB→，
∴AB→=32AD→ ，
则AP→=mAC→+34AD→.
∵C,P,D三点共线，
∴m+34=1，
即m=14，
∴AP→=14AC→+12AB→ .
已知∠BAC=π3，
则AB→⋅AC→=|AB→||AC→|csπ3=6，
而CD→=CB→+BD→=CA→+AB→−13AB→=23AB→−AC→ ，
故AP→⋅CD→=(14AC→+12AB→)(23AB→−AC→)
=16AB→⋅AC→−14|AC→|2+13|AB→2|−12AB→⋅AC→=1312 .
故选C.
10.
【答案】
B
【考点】
数量积的坐标表达式
【解析】
根据平面向量的坐标公式，利用向量平行和向量垂直的坐标公式即可得到结论．
【解答】
解：∵ a→=(x,1)，b→=(1,y)，c→=(2, −4)，且a→⊥c→，b→ // c→，
∴ 2x−4=0且12=y−4，
即x=2，y=−2．
∴ a→=(2,1)，b→=(1,−2)，
∴ a→+b→=(3, −1)，
故选：B．
二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 6 分 ，共计36分 ）
11.
【答案】
−14
【考点】
平行向量的性质
【解析】
利用三点共线得到以三点中的一点为起点，另两点为终点的两个向量平行，利用向量平行的坐标形式的充要条件列出方程求出k．
【解答】
解：∵ OA→=(k, 2)，OB→=(1, 2k)，OC→=(1−k, −1)且相异的三点A、B、C共线，
∴ AB→=(1−k, 2k−2)，BC→=(−k, −1−2k)，
∴ (1−k)(−1−2k)−(2k−2)(−k)=0，
解得k=1或k=−14，当k=1时，A，B重合，故舍去，
故答案为：−14．
12.
【答案】
2
【考点】
向量的投影
【解析】
根据b→在a→方向上的投影为|b→|⋅cs，运算求得结果．
【解答】
解：根据a→在b→方向上的投影为|a→|⋅cs=2×cs45∘=2.
故答案为：2．
13.
【答案】
(1, 1, −1)
【考点】
平面向量的坐标运算
【解析】
直接利用空间向量的坐标运算求解即可．
【解答】
解：a→=(−1, 5, 1)，b→=(2, 14, −2)，2a→+4x→=b→，
则x→=14(b→−2a→)=14(4,4,−4)=(1, 1, −1)
故答案为：(1, 1, −1)
14.
【答案】
(0, 3)
【考点】
平面向量的坐标运算
【解析】
市场P的坐标，利用向量相等，列出方程求解即可．
【解答】
解：设P(a, b)，点A(2, −1)和B(−1, 5)，点P满足AP→=2PB→，
可得(a−2, b+1)=2(−1−a, 5−b)，
可得a−2=−2−2a，b+1=10−2b，解得a=0，b=3．
点P的坐标为(0, 3)．
故答案为：(0, 3)．
15.
【答案】
−23
【考点】
平面向量的基本定理及其意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ CB→−CD→=DB→=−e→1+3e→2，AB→=λDB→
∴ m=−λ2=3λ⇒m=−23．
故答案为：−23．
16.
【答案】
1314
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
由已知结合向量加法及减法的四边形法则可表示各边，然后结合余弦定理即可求解．
【解答】
解：以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，
则AB→+AC→=AD→，AB→−AC→=CB→，
若|AB→+AC→|=3|AB→−AC→|，
则AD=3BC，设BC=3，则AD=3，
由AB=AC可得平行四边形ABDC为菱形，得BC⊥AD，
则AB=AC=(32)2+(32)2=3，EF=33，
AE=AF=(32)2+(36)2=213，
cs∠EAF=AE2+AF2−EF22AE⋅AF=219×2−132×213×213=1314．
故答案为：1314.
三、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 17 分 ，共计51分 ）
17.
【答案】
解：BD→=BC→+CD→
=−2m→+8n→+4m→+2n→
=2m→+10n→
=2(m→+5n→)=2AB→，
∴ A，B，D三点共线．
【考点】
向量的共线定理
【解析】
由已知可得：BD→=BC→+CD→=2m→+10n→=2AB→，即可得出结论．
【解答】
解：BD→=BC→+CD→
=−2m→+8n→+4m→+2n→
=2m→+10n→
=2(m→+5n→)=2AB→，
∴ A，B，D三点共线．
18.
【答案】
(1)证明：设AD→=a→，AE→=b→，
则DE→=AE→−AD→=b→−a→，FB→=CB→−CF→=−a→+b→，
所以DE→=FB→，
所以四边形DEBF为平行四边形 .
(2)(1)根据条件，AP→=λAM→=λ2(AB→+AC→)
=λ2(AB→+32AN→)=λ2AB→+3λ4AN→.
∵ B，P，N三点共线，
∴ λ2+3λ4=1，
∴ λ=45；
(2)根据(1)，AP→=λ2AB→+λ2AC→=25a→+25b→，
BP→=AP→−AB→=−35a→+25b→.
【考点】
向量在几何中的应用
向量加减混合运算及其几何意义
向量的共线定理
【解析】
设AD→=a,AE→=b→，则DE→=AE→−AD→=b→−a→FB→=CB→−CF→=−a→+b→，所以DE→=FB→，所以DE平行且等于FB，所以四边形DEBF为平行四边形 .
【解答】
(1)证明：设AD→=a→，AE→=b→，
则DE→=AE→−AD→=b→−a→，FB→=CB→−CF→=−a→+b→，
所以DE→=FB→，
所以四边形DEBF为平行四边形 .
(2)(1)根据条件，AP→=λAM→=λ2(AB→+AC→)
=λ2(AB→+32AN→)=λ2AB→+3λ4AN→.
∵ B，P，N三点共线，
∴ λ2+3λ4=1，
∴ λ=45；
(2)根据(1)，AP→=λ2AB→+λ2AC→=25a→+25b→，
BP→=AP→−AB→=−35a→+25b→.
19.
【答案】
解：1∵ OM→3,1，ON→csx,sinx，
∴ fx=3csx+sinx−4
=2sinx+π3−4.
由−π2+2kπ≤x+π3≤π2+2kπ(k∈Z)，
可得−5π6+2kπ≤x≤π6+2kπ(k∈Z)，
∴ 函数fx在0,2π上的单调递增区间是0,π6和7π6,2π .
2∵ fA=−4，
∴ A=2π3.
又∵ BC=3，
∴ BCsinA=2.
根据正弦定理可得b=2sinB ，c=2sinC，
∴ 周长L=3+b+c=2sinB+2sinC+3
=2sinB+2sinπ3−B+3
=2sinB+π3+3，
∴ 周长的最大值为2+3 .
【考点】
平面向量数量积坐标表示的应用
正弦函数的单调性
两角和与差的正弦公式
正弦定理
函数的最值及其几何意义
【解析】
解：fx=3csx+sinx−4=2sinx+π3−4 ,
1单调递增区间是0,π6和7π6,2π .
2因为fA=−4，所以A=2π3.
又因为BC=3，根据正弦定理可得b=2sinB ,c=2sinC，
所以周长L=3+b+c=2sinB+2sinC+3
=2sinB+2sinπ3−B+3
=2sinB+π3+3
所以，当B=π6时，周长最大为2+3 .
【解答】
解：1∵ OM→3,1，ON→csx,sinx，
∴ fx=3csx+sinx−4
=2sinx+π3−4.
由−π2+2kπ≤x+π3≤π2+2kπ(k∈Z)，
可得−5π6+2kπ≤x≤π6+2kπ(k∈Z)，
∴ 函数fx在0,2π上的单调递增区间是0,π6和7π6,2π .
2∵ fA=−4，
∴ A=2π3.
又∵ BC=3，
∴ BCsinA=2.
根据正弦定理可得b=2sinB ，c=2sinC，
∴ 周长L=3+b+c=2sinB+2sinC+3
=2sinB+2sinπ3−B+3
=2sinB+π3+3，
∴ 周长的最大值为2+3 .