一轮大题专练11—导数（有解问题1）-2022届高三数学一轮复习

一轮大题专练11—导数（有解问题1）

1．已知函数，其中．

（1）当时，求函数的最值；

（2）若存在唯一整数，使得，求实数的取值范围．

解：（1）当时，，

，且为定义在，，上的偶函数，

令，解得，且当，，时，，当，，时，，

（1），无最大值；

（2）即，

令，，作出函数与的大致图象如下，

易知恒过点，且，

由图象可知，要使存在唯一整数，使得，则，即，解得．

故实数的取值范围为．

2．已知函数．

（1）当时，判断函数在区间内极值点的个数；

（2）当时，证明：方程在区间上有唯一解．

解：（1）当时，，，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以函数在区间内有且仅有1个极值点．

（2）方程，即为方程，

即为方程，

令，，

则，

又，所以在上恒成立，

所以在上单调递减，

又因为（1），

时，，

令，可得，

所以，

所以存在，，使，

即方程在区间上有唯一解．

3．记，为的导函数．若对，，则称函数为上的“凸函数”．已知函数．．

（1）若函数为，上的凸函数，求的取值范围；

（2）若方程在，上有且仅有一个实数解，求的取值范围．

解：（1），，

若为，上的凸函数，则对恒成立，

即对恒成立，而在，单调递增，

，，解得：，故的取值范围是．

（2）由得，令，（1），

，

当时，对恒成立，在，上单调递增，

又（1），在，上有且只有1个实数根，符合题意，

当时，令得，，

若即时，对恒成立，在，单调递减，

在，上有且只有1个实数根，符合题意，

若即时，在，递增，在，递减，

，，，

故存在，，即在，上有2个零点，

综上，的取值范围是，，．

4．已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）若是函数的极值点，且关于的方程有两个实根，求实数的取值范围．

解：（Ⅰ），，，

当时，，函数在单调递增，

当时，令，解得：，

当时，，函数在递增；

综上：当时，函数的递增区间是，

当时，函数的递增区间是．

（Ⅱ），是函数的极值点，

（1），解得：，

，

方程即，

设，则，

故在递增，在递减，

故（1），

，，

设，则，

，

故函数在递减，在递增，

故（1），

又当无限增大或无限接近0时，都趋近于0，

故，

故实数的取值范围是，．

5．已知函数．

（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；

（2）当时，函数有两个零点，求正整数的最小值．

解：（1）时，，，

，（1），（1），

故切线方程是，即；

（2），当时，由可得，

由得，由，得，

①若时，在上单调递增，至多1个零点，不合题意，

②若时，函数在上单调递减，在上单调递减，

（1），故若函数有2个零点，则，

令，，则，在递减，

又（2），（3），（4），

故存在使得，则的解集是，，

综上，的取值范围是，，，

故正整数的最小值是4．

6．已知函数．

（1）设曲线在处的切线方程为，求证：；

（2）若方程有两个根，，求证：．

证明：（1），则，

故，，

故切线方程是：，即，

令，则，

令，解得：，令，解得：，

故在递减，在，递增，

故，即；

（2）不妨设，直线与相交于点，

又由（1）知：，则，

从而，当且仅当，时取“”，

下面证明：，

由于，故，即证，

令，则，

令，解得：，令，解得：，

故在递减，在递增，

故（e），即成立，当且仅当，时取“”，

由于等号成立的条件不同时满足，

故．

7．已知函数的导函数为．

（1）当时，求证：；

（2）若只有一个零点，求的取值范围．

解：，

（1）证明：当时，，

设，则，

故在单调递增，在单调递减，

又由于，故，由于，

故，即；

（2）注意到（1），

①若，，

故在上单调递减，取，

则，

故存在使得（a），即在上只有1个零点，

②若，当时，，而，故，

当时，，

故，即在上无零点，

③当时，，，在上单调递增，

设且，当时，，

故存在使得（b），即在上只有1个零点，

综上：若只有1个零点，，，．