一轮复习大题专练25—解三角形（求值问题2）-2022届高三数学一轮复习

一轮复习大题专练25—解三角形（求值问题2）

1．如图，（1）在圆的内接四边形中，，，，求的值；

（2）在圆的内接四边形中，，，的面积为，求的值．

解：连接，

则中，由余弦定理得，

中，由余弦定理得，

由圆内接四边形性质可知，，

所以，

解得；

（2）因为，，

所以，，

由题意，，

由余弦定理得，

所以，

因为，

所以，

所以，

所以．

2．在四边形中，，，，，．

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）求的长．

解：中，由余弦定理得，

由为三角形内角得，；

因为，

所以，

中，由正弦定理得，，即，

所以，

因为，所以，

中，由正弦定理得，即，

所以．

3．如图，在四边形中，，，，，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求．

解：，，，，，

由正弦定理得，

即，

所以；

由题意得为锐角，结合得，

因为，

所以，

，

由余弦定理得，，

解得，

由余弦定理得，

所以．

4．在中，内角，，的对边分别为，，，且，．

（1）求；

（2）如图，圆是的外接圆，延长交于点，过圆心作交于点，且，求的长．

解：（1）由余弦定理知，，

，

，化简得，

由余弦定理知，，

，

．

（2）由正弦定理知，，

，

延长，交圆于点，作于点，则，

，

为等边三角形，，

，，

，，，

，

，即点为的中点，

．

5．△ABC中，AB＝2AC，点D在BC边上，AD平分∠BAC．

（1）若sin∠ABC＝，求cos∠BAC；

（2）若AD＝AC，且△ABC的面积为，求BC．

解：（1）由正弦定理得，AB＝2AC，C＞A，

又∵sin∠ABC＝，

∴sin∠ACB＝，

∵sin2∠ABC+cos2∠ABC＝1，

∵AB＝2AC，

∴C＞B，即大边对大角，，

又∵sin2∠ACB+cos2∠ACB＝1，

∴，

∵cos∠CAB＝cos（π﹣∠ABC﹣∠ACB）＝﹣cos（∠ABC+∠ACB），

∴cos∠CAB＝sin∠ABCsin∠ACB﹣cos∠ABCcos∠ACB＝ 或，

（2）设AB＝2AC＝2t，∠CAD＝θ，

∴AD＝AC＝t，

∵S△ABC＝S△ACD+S△ABD，

∴，

∴2sinθ•cosθ＝sinθ+sinθ，

∵θ为三角形的内角，sinθ≠0，

∴cosθ＝，

∴cos2θ＝2cos2θ﹣1＝，

∵sin22θ+cos22θ＝1，

∴，

又∵＝，

∴，

在△ABC中，运用余弦定理可得，

BC2＝t2+4t2﹣2•2t•t•cos2θ＝，

∴．

6．已知的最大值为2，其中，

（Ⅰ）求的单调增区间；

（Ⅱ）在中，内角，，的对边分别为，，，且，求（A）的值．

解：

，其中，

，

，，

，

令，，

解得，，

的单调增区间为，．

已知，由正弦定理可得，

即，

即，

即，

即，又，

，，

．