一轮大题专练7—导数（构造函数证明不等式1）-2022届高三数学一轮复习

一轮大题专练7—导数（构造函数证明不等式1）

1．已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明：．

解：（1），．

，

时，，函数在上单调递增．

时，令，解得，函数在上单调递减，在上单调递增．

（2）证明：当时，要证明：，即证明，

令，，

令，解得；令，解得．

函数在上单调递增，在上单调递减．

时，函数取得极大值即最大值，（e）．

令，

，

令，解得；令，解得．

函数在上单调递减，在上单调递增．

时，函数取得极小值即最小值，（2）．

．

，

即，也即．

2．已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：．

（Ⅰ）解：由，可得，

则（1），又（1），

所以曲线在点，（1）处的切线方程为，

即．

（Ⅱ）解：的定义域为，，

当时，，在上单调递增；

当时，令，可得，令，可得，

所以在上单调递减，在上单调递增．

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当时，才有两个不相等的实根，且，

则要证，即证，即证，

而，则，否则方程不成立），

所以即证，化简得，

令，则，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以（1），而，

所以，

所以，得证．

3．已知函数，函数，

（1）记，试讨论函数的单调性，并求出函数的极值点；

（2）若已知曲线和曲线在处的切线都过点．求证：当时，．

解：（1），，

记，

当时，，在单调递增，无极值点，

当时，△，有异号的两根，，

，，，在单调递减，

，，，，在，单调递减，

有极小值点；

（2）证明：，，

（1），在处的切线方程为，过点得：，

（1），在处的切线方程为，过点得：，

，，

要证：，即证：，

即证：，

构造函数，则，

时，，

时，，在单调递减，

时，，在单调递增，

（1），故原不等式成立．

4．已知函数在处取得极值．

（Ⅰ）若对，恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅱ）设，记函数在，上的最大值为，证明：．

（Ⅰ）解：，则，

又在处取得极值，则有（1），解得，

此时，

当时，，则单调递增，

当时，，则单调递减，

所以确实在处取得极值，

故，

设，

则在上恒成立，即在上恒成立，

因为，

当，即时，在上恒成立，不符合题意；

当时，令，解得，

当时，，则单调递增，

当时，，则单调递减，

所以当时，取得最大值，

要使得在上恒成立，

则有，解得，

综上所述，实数的取值范围为，；

（Ⅱ）证明：要证，即证明即可，

因为，

则，

因为，时，恒成立，

设，，，则为单调递增函数，

又，

则存在，使得，即，

则当时，，，则，故单调递增，

当，时，，且不同时为0，则，故单调递减，

所以在，上的最大值为，

又，则，，

设，，

则对于恒成立，

故在上单调递增

故，

，

于是，

故．

5．已知函数，对于，恒成立．

（1）求实数的取值范围；

（2）证明：当时，．

解：（1）由恒成立，得对恒成立，

令，，

当，，单调递增，

当，，单调减，，

故所求实数的取值范围为，；

（2）证明：由（1）得．

欲证，只需证即可，

令，

，

令，则易知在单调递增，且，，

故存在，使得；

当，时，，，单调递减，

当时，，，单调递增，

又，，，

故当时，．

6．已知函数，．

（Ⅰ）已知恒成立，求的值；

（Ⅱ）若，求证：．

解：（1）已知恒成立，即恒成立，

令，则有，

当时，则恒有，此时函数单调递增，并且当时，，不满足题意；

，此时令；

；，即函数在上单调递减，在上单调递增，

，

若要满足题意，则需使，恒成立，

令（a），则有（a），

由此可得，当时，（a）；当时，（a）．

（a）（1），即得（a），

．

（2）令，则有恒成立，故可得在上单调递增，

即有恒成立，故有在上恒成立；

根据题意，要证，即证明，

即证，

即证，

令，则有，

，

，，

在上恒成立，即得函数在上单调递减，

（1），由此得证当时，原不等式成立．

7．已知函数，的反函数为（其中为的导函数，．

（1）判断函数在上零点的个数；

（2）当，求证：．

解：（1）由题意得，

则，

由得或，

由，得或，

由，得，

当在上变化时，，变化情况如下表：

根据上表知，（1），

，

根据零点的存在性定理，函数在上存在唯一零点，又因为（1），

所以根据的单调性可知，函数在上零点的个数为2．

（2）证明：因为，其反函数为，

所以不等式为，

当时，，

所以在上单调递减，

所以（1），

设函数，

则，

设函数，则，

所以在上单调递增，

因为（1），

所以存在，使得，

所以函数在上单调递减，在，上单调递增，

当时，，

当，时，，（1），

所以存在，使得，

所以当时，，

当，时，，

所以函数在上单调递减，在，上单调递增，

因为，（1），

所以当时，，

所以，

所以．