一轮大题专练17—导数（最值问题）-2022届高三数学一轮复习

一轮大题专练17—导数（最值问题）

1．已知函数．

（1）求曲线上一点处的切线方程；

（2）当时，在区间，的最大值记为，最小值记为，设，求的最小值．

解：（1）因为点在曲线上，所以，解得，

所以，求导得，

切点为，，

故切线斜率，

所求切线方程为．

（2）因为，，，．

所以．令，得或．

所以，，为减函数；，，为增函数．

①当时，在，上单调递减

所以依题意，，，

所以．

②当时，在，上单调递减，在，上单调递增，

又因为，，，

当时，，所以，，

当时，，所以，．

设，所以，

当时，，所以在单调递减．

又因为，，

所以

所以，当且仅当时，取得最小值．

2．已知函数，．

（1）证明：有且仅有一个零点；

（2）当，时，试判断函数是否有最小值？若有，设最小值为（a），求（a）的值域；若没有，请说明理由．

（1）证明：因为，

所以时，，函数无零点；

又因为，

所以，时，，单调递增，

又（1），，，

即（1），

故存在唯一，使，

综上可知，函数有且仅有一个零点．

（2）解：，

，，，，单调递增，

又（1），，

故存在唯一，使，即，

，，单调递减；

，，，单调递增，

因此有最小值，

（a），

令，，，

故单调递减，

进而，（1），，

即（a）的值域为，．

3．已知函数，．

（1）设，求的极值：

（2）若函数有两个极值点，．求的最小值．

解：（1），定义域是，

，

令，解得：或，令，解得：，

故在递增，在，递减，在递增，

故，（1）；

（2）函数，，，

，是函数的极值点，，是方程的两不等正根，

则△，，，故，，

即，，，且，，

，

令，则，，，

，

当，上递减，当上递增，

故（1），

故的最小值为．

4．已知函数，．

（1）讨论的单调性；

（2）当时，函数的最小值为（其中为的导函数），求的值．

解：（1），

当时，，在区间上单调递减，在上单调递增，

当时，由，得，

在区间，上单调递增，在，上单调递减，在区间上单调递增，

当时，由，得，在上单调递增，

当时，由，得，

在区间上单调递增，在区间，上单调递减，在，上单调递增，

综上：当时，在区间上单调递减，在上单调递增，

当时，在区间，上单调递增，在，上单调递减，在区间上单调递增，

当时，在上单调递增，

当时，在区间上单调递增，在区间，上单调递减，在，上单调递增．

（2）设，且，

，

设，，

在上单调递减，在上单调递增，

且当时，，

又当时，，当时，，

在上必存在唯一零点，使得，

即在上，，单调递减，

在，上，，单调递增，

在处取得最小值，

又，，

则，

设，，

当时，，单调递增，

故，此时，当时，，单调递减，

故，又（1），故，

故．

5．已知函数，．

（1）求的单调性；

（2）若，且的最小值小于，求的取值范围．

解：（1），，

①当时，恒成立，在上单调递增，

②当时，令，则，令，则，

在上单调递减，在上单调递增，

综上：当时，在上单调递增，

 当时，在上单调递减，在上单调递增，

（2）由（1）知，则，

令，则，

令，，

在上单调递减，又，（1），

存在，使得，

即，在上单调递增，在，上单调递减，

又，（2），

（a）．

的取值范围为．

6．已知函数，．

（Ⅰ）设，若函数在区间，上是减函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若函数区间上的最小值为1，求实数的值．

解：（Ⅰ），，，

，

在，上单调递减，

当，时，恒成立，即，又，

，，又，，

时，取最小值，

故的取值范围是，；

（Ⅱ），

，在递增，

在递增，在上存在唯一零点，

使得，故，

在上单调递增，

时，，递减，，时，，递增，

，

显然是方程的解，

令是减函数，则，

有且只有唯一的解，

，，

又，

，．

7．设函数．

（1）若，求的极值；

（2）若，且当时，函数的图象在直线的上方，求整数的最大值．

解：（1），则，

若，令，解得：，令，解得：，

故在递减，在递增，

故的极小值是，无极大值；

（2）时，，，

故，

时函数的图象在直线的上方，

问题转化为在恒成立，

令，，，

①即时，，在单调递增，

故，符合题意；

②即时，令，解得：，令，解得：，

故在递减，在递增，

故，

由，令，则，

则，

令，，则，

故在递减，而（1），（2），

故整数的最大值是1，故的最大值是1，即整数的最大值是2．