黑龙江省哈尔滨市宾县第一中学校2020-2021学年高一下学期第一次月考数学试卷+Word版含答案

宾县一中2020级高一下学期第一次月考

数 学 试 卷

                   2021、4、23

一、单选题（共10小题，满分50分，每小题5分）

1.设是平面内所有向量的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（    ）

A．和 B．和

C．和                   D．和 

2．已知，向量与向量的夹角为，是与同向的单位向量，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

3．下列说法错误的是（    ）

A．向量与向量长度相等         B．单位向量都相等

C．向量的模可以比较大小               D．任一非零向量都可以平行移动

4．在中，角、、所对的边分别为、、，那么下列给出的各组条件能确定三角形有两解的是（    ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

5．已知复数z＝(a2－4)＋(a－3)i，则“a＝2”是“z为纯虚数”的（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

6．下列说法正确的个数为（    ）

①若，是两个单位向量，则；  

②若，，则；

③与任何一向量平行，则；      

④.

A．1 B．2 C．3 D．4

7．已知在△ABC中，sinA：sinB：sinC＝4：3：2，则cosB等于（　　）

A． B． C． D．

8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

9.点M，N，P在所在平面内，满足，，且，则M、N、P依次是的（    ）

A．重心，外心，内心 B．重心，外心，垂心

C．外心，重心，内心 D．外心，重心，垂心

10．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何？术曰：以七周乘三尺为股，木长为勾，为之求弦.弦者，葛之长”意思是：今有丈长的圆木，其横截面周长尺，葛藤从圆木底端绕圆木周至顶端，问葛藤有多长？九章算术还有解释：七周乘以三尺为股（直角三角形较长的直角边），木棍的长为勾（直角三角形较短的直角边），葛的长为弦（直角三角形的斜边）（注：丈尺）（    ）

A．尺 B．尺 C．尺 D．尺

二、多选题（共2小题，满分10分，每小题5分，少选得3，多选不得分）

11．给出下列命题，其中正确的命题是（    ）

A．若向量与向量满足，且与同向，则

B．若向量，则与共线的单位向量是

C．若，则可知

D．

12．如图，的内角，，所对的边分别为，，．若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是（    ）

A．是等边三角形

B．若，则，，，四点共圆

C．四边形面积最大值为

D．四边形面积最小值为

第II卷（非选择题）

三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

13．若z（1+i）＝2i，则复数z的虚部为__________．

14．已知 ，若，的夹角为钝角，则x的取值范为__________．

15．已知复数z满足|z|＝3，则|z＋3－4i|的最小值是__________．

16．如图，在中，，，为上一点，且满足，________ ；若的面积为，则的最小值为________．

四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其他12分）

17．已知向量与的夹角为，且，.

（1）若与共线，求k；

（2）求，；

18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

（1）求角C；

（2）若，求的面积.

19．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b•cosA＝ccosA+acosC．

（1）求角A的大小；

（2）若a＝，求△ABC的面积S的最大值．

20．已知中是直角，，点是的中点，为上一点．

（1）设，，当，请用，来表示，.

（2）当时，判断是否垂直。若成立，给出证明，若不成立，说明理由。

21．如图，圆台的上、下底面半径分别为5cm，10cm，母线长，从圆台母线的中点拉一条绳子绕圆台侧面转到点.求：

（1）绳子的最短长度；

（2）在绳子最短时，求上底面圆周上的点到绳子的最短距离.

22．如图：某快递小哥从地出发，沿小路以平均时速20公里小时，送快件到处，已知（公里），，，是等腰三角形，.（参考数据：）

（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到处？

（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速60公里小时，问，汽车能否先到达处？

2020级高一下学期第一次月考数学参考答案

一、单选：

1-----5.CDDBA      6------10.AACBA

二、多选：

11.CD             12.AC

三、填空题：

13.1       14.x<             15.2         16.

四、解答题：

17.

18.

19. 解：（1）由正弦定理，2bcosA＝ccosA+acosC，

所以2cosAsinB＝cosAsinC+sinAcosC＝sin（A+C）＝sinB，

∵sinB≠0，∴cosA＝，

∵0°＜A＜180°，∴A＝60°．

（2）由正弦定理，，

所求b＝2sinB，c＝2sinC，

所以S＝×＝sin（B+）×4，

＝sinB（）＝，

＝+，

＝，

＝+sin（2B﹣），

又因为锐角△ABC是锐角三角形，所以，

所以，＜2B﹣，

所以sin（2B﹣）≤1，

所以

（可用余弦定理）

20、解：（1），

  因为    ，所以。

 （2）AD与CE不垂直。证明如下：

由可得，，

，又因为，所以，

，

所以AD与CE不垂直。

21．（1）如图,绳子的最短长度为侧面展开图中的长度.

因为圆台的上、下底面半径分别为5cm,10cm

所以,

母线长,代入可得,

所以.

设,由,

解得.

所以.

即绳子的最短长度为50cm.

（2）过点作于点,交于点,则的长度为所求最短距离.

因为,

所以.

故,即上底面圆周上的点到绳子的最短距离为4cm.

22．（1）在中，（公里），（公里），，，

由正弦定理，可得（公里），

又由，

所以快递小哥不能在50分钟内将快件送到处.

（2）在中，由余弦定理，可得，

可得（公里），

在中，，由正弦定理得，

可得（公里），

又由（分钟）

所以汽车能先到达处.