广东省汕头市潮南区黄冈实验学校2020-2021学年高一下学期6月第14周周测数学试题+Word版含答案

这是一份广东省汕头市潮南区黄冈实验学校2020-2021学年高一下学期6月第14周周测数学试题+Word版含答案，共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。
黄冈实验学校2020－2021学年下学期高一数学第14周周测试卷
姓名 班级

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B．或C．或 D．
2．若复数满足(为虚数单位)，复数的共轭复数为（ ）
A．B．C． D．
3．已知非零向量满足，则（ ）
A． B．0 C． D．1
4．已知为锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图象可能是（ ）
6题图
A．B．C．D．
6．如图，在三棱锥中，平面，是等腰三角形，，，，垂足为，是的中点，则的面积最大时，的长是（ ）
A． B． C． D．
7．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位，则所得图象对应的解析式为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，且直线是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上单调递增
C．点是函数图象的一个对称中心
D．将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到的图象

二、多选题
9．将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，且的图像关于直线对称，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．函数在区间内单调递减
D．方程在区间上有201个根
10．已知函数的部分图像如图所示.对于，且，若，都有成立，则（ ）
A． B．
C．直线是图像的一条对称轴 D．在上单调递增
11．已知正数、满足，那么下列不等式中，恒成立的有（ ）
A．B．C． D．
12．已知实数．满足且，则下列不等关系一定正确的是（ ）
A． B． C． D．

三、 填空题
13．已知P是的边上任一点，且满足，，则的最小值为___________.
14．已知，则__________．
15．如图，多面体，，，，且，，两两垂直，给出下列5个结论：
①三棱锥的体积是定值；②球面经过点、、、四点的球的直径是；
③直线平面；④直线与所成角是；
⑤二面角等于． 其中正确的结论是__．
16． 如图所示，在四边形中，已知，，
，，，___________．
四、解答题
17．已知在中，内角，，所对的边分别为，，，.
（1）求；
（2）若，，求的面积.

18．已知平面向量的夹角为，且．
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）求的最大值


19已知四棱锥中，底面，底面为平行四边形，，，为的中点，且三棱锥的体积为.
（1）求证：平面平面；
（2）设点为四棱锥外接球的球心，求二面角的大小.






20．设复数，，其中为锐角.
（1）若复数在复平面内对应的点在直线上，求的值；
（2）求的取值范围(其中是的共轭复数)。



21．新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为200万元，每生产x万箱，需另投入成本万元，当产量不大于90万箱时，；当产量超过90万箱时，，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．
（Ⅰ）求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；
（Ⅱ）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？




22．已知函数(为常数，).
（1）讨论函数的奇偶性；
（2）当为偶函数时，若方程在上有实根，求实数的取值范围.

高一数学下学期14次周测（含解析）
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】B
【分析】
先解对数不等式得，在计算补集即可.
【详解】
由得，
解得，故
所以或
故选：B
【点睛】
本题考查对数不等式的运算，集合的补集运算，考查运算求解能力，是基础题.本题解题易错点在于求解过程中忽略对数式的意义（）而出错.
2．若复数满足(为虚数单位)，复数的共轭复数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据复数相等，应用复数的除法求，由共轭复数的概念写出的共轭复数.
【详解】
由已知得：，
∴复数的共轭复数为，

故选：B.
3．已知非零向量满足，则（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【分析】
将两边平方化简后可得，于是推出，从而得解．
【详解】
，，即，
．
故选：B．
4．已知为锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由二倍角余弦公式有，又，应用诱导公式可得，即可求值.
【详解】
∵为锐角，且，
∴．又，
∴，
∴，
故选：D．
5．函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
首先判断函数的奇偶性，再根据的函数值的正负，排除选项.
【详解】
因为，所以是奇函数，排除，又当时，，排除，所以选B．
故选：B
【点睛】
方法点睛： 函数图象的识别可从以下几方面入手：（1）从函数的定义域判断图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性判断图象的对称性；（4）从函数的周期性判断图象的循环往复；（5）从函数的特殊点判断图象的相对位置．
6．如图，在三棱锥中，平面，是等腰三角形，，，，垂足为，是的中点，则的面积最大时，的长是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由线面垂直的性质证明，然后求得的面积（用表示），由函数知识求其最大值可得结论．
【详解】
平面，平面，所以，同理，
又，，平面，所以平面，
而平面，所以，
又，，平面，所以平面，
平面，所以，
是等腰三角形，是中点，，所以，
设，由得，，
，，
所以，
令，则，
所以当时，，即．
，又，所以．
故选：D．
【点睛】
关键点点睛：本题考查三角形面积的最值问题，解题关键是掌握线面垂直的判定与性质，特别注意在证明线面垂直时，判定定理的条件需要一一列举出来，缺一不可．否则证明过程不完整．
7．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位，则所得图象对应的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据正弦型函数图象的变换规律，直接进行伸缩变换和平移变换，即得结果.
【详解】
先将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到，再向右平移个单位，得到.
故选：A.
8．已知函数，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，且直线是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间上单调递增
C．点是函数图象的一个对称中心
D．将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到的图象
【答案】C
【分析】
先求出，对四个选项一一验证：
对于A：利用周期公式验证；
对于B：直接讨论单调性验证；
对于C：代入法验证；
对于D：利用图像变换验证.
【详解】
∵函数，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，∴，即.
∵直线是其中一条对称轴，∴，解得：.
所以.
对于A：函数的最小正周期为，故A错误；
对于B：当时，，所以不单调，故B错误；
对于C：当时，，所以点是函数图象的一个对称中心，故C正确；
对于D：将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图像，再向左平移个单位长度，得到，故D错误.
故选：C
【点睛】
(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题；
(2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式．

二、多选题
9．将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，且的图像关于直线对称，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．函数在区间内单调递减
D．方程在区间上有201个根
【答案】AD
【分析】
根据平移得出，结合对称轴即可求出，判断A；再计算出可判断B；化简求出即可判断C；根据求解即可判断D.
【详解】
由题得，
由题意知，，解得，，
因为，所以，A项正确；
，则，B项错误；
，
显然在区间内单调递增，C项错误；
由，得，整理得，
则，，又，则，故方程在区间上有201个根，D项正确．
故选：AD．
10．已知函数的部分图像如图所示.对于，且，若，都有成立，则（ ）

A．
B．
C．直线是图像的一条对称轴
D．在上单调递增
【答案】ABC
【分析】
由已知正弦函数的性质及其部分图象，A在上的对称轴为，易得即可判断正误；B设有，有，即可求值；C、D：利用正弦函数的性质求对称轴方程、增区间，即可判断正误.
【详解】
A：函数的图像在上的对称轴为，对于，且，，所以，即，又，所以，正确；
B：设，则，即，则，，即且，又，其中，又，所以，所以，正确；
C：令，，得，，当时，，所以直线是图像的一条对称轴，正确；
D：令，，得，，当时，，所以在上单调递增，而，错误.
故选：ABC.
【点睛】
关键点点睛：根据题设已知的函数性质及部分图象，结合正弦型函数的对称性、最值、单调区间判断各选项的正误.
11．已知正数、满足，那么下列不等式中，恒成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】
本题首先可根据得出，A正确，然后可令，设，根据求导得出函数在上单调递增，，B正确，再然后根据即可得出D错误，最后根据得出C错误.
【详解】
A项：因为正数、满足，
所以，即，当且仅当时取等号，A正确；
B项：令，设，则，
因为，当时，
所以函数在上单调递增，，
即，当且仅当时取等号，B正确；
D项：，当且仅当时取等号，D错误；
C项：因为，
所以，当且仅当时取等号，C错误，
故选：AB.
【点睛】
易错点睛：
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
12．已知实数．满足且，则下列不等关系一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】
根据不等式的性质，结合比较法、基本不等式进行求解即可.
【详解】
由已知得或，所以，A项错误；，因为，，，所以，B项正确；由题意知，
则，C项正确；当，，时，显然D项错误．
故选：BC

第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．已知P是的边上任一点，且满足，，则的最小值为___________.
【答案】9
【分析】
由条件可得，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】
因为P是的边上任一点，且满足，，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：9.
14．已知，则__________．
【答案】
【分析】
利用二倍角公式求得，利用诱导公式求解，再代入计算即得结果.
【详解】
因为，
所以，
，
故.
故答案为：.
【点睛】
思路点睛：
给角求值问题，一般寻找所求角和已知角之间的关系，结合三角恒等变换或诱导公式转化求值.
15．如图，多面体，，，，且，，两两垂直，给出下列5个结论：
①三棱锥的体积是定值；
②球面经过点、、、四点的球的直径是；
③直线平面；
④直线与所成角是；
⑤二面角等于．
其中正确的结论是__．

【答案】①②④
【分析】
由题意，构造长方体，设，，，由已知解得，，，
对于①，根据三棱锥的体积公式可判断；
对于②，球面经过点、、、两点的球的直径即为长方体的对角线长，由此可判断；
对于③，由可判断；
对于④，由已知得即为直线与所成的角，解三角形可判断；
对于⑤，由已知得异面直线与所成的角大小为二面角的二面角大小，解三角形可判断 ；
【详解】
由题意，构造长方体，如下图所示，设，，，
则，，，解得，，，，
对于①，三棱锥的体积为，故①对；
对于②，球面经过点、、、两点的球的直径即为长方体的对角线长，即为，故②对；
对于③，由于，和平面相交，则和平面相交，故③错．
对于④，由于，则即为直线与所成的角，
由，则，故④对；
对于⑤，因为，，所以异面直线与所成的角大小为二面角的二面角大小，连接，则为所求，，所以；⑤错误；
故答案为：①②④

【点睛】
方法点睛：解决几何体相关的外接球等问题时，补全几何体是常用的一种方法，利用补全的几何体的性质研究原几何体的性质.
16．如图所示，在四边形中，已知，，，，，___________．

【答案】
【分析】
在中，利用余弦定理得到，求出；在中，利用正弦定理，由，即可求出.
【详解】
在中，，，，
由余弦定理可得：，
即，解得或（舍）；
又，所以；
在中，，，，
由正弦定理可得，所以.
故答案为：.

四、解答题
17．已知在中，内角，，所对的边分别为，，，.
（1）求；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
根据同角三角函数基本关系及正弦定理化简求；由题意结合正弦定理求得边，余弦定理求得边，最后根据面积公式求解即可.
【详解】
（1）因为，
所以.
又，
所以，
即，
即.
又，所以，
则由，得.
（2）由正弦定理，得，
则由余弦定理得，
解得(负值舍去)，
所以.
【点睛】
解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
18．已知平面向量的夹角为，且．
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）求的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
对等式进行平方，根据平面向量数量积的运算性质和定义，结合基本不等式进行求解即可；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）把进行化简并构造成关于的双齐次式，利用换元法，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】
（Ⅰ）
，因为，所以，
而，所以的最大值；
（Ⅱ），
设，由（Ⅰ）可知：，
即，显然，
因此，
令，则，
设，则，
因此要想有最大值，一定有，
因为（当且仅当时取等号，即时取等号），
所以，
因此的最大值为.
【点睛】
关键点睛：对于第2问构造关于的双齐次式，通过换元法、基本不等式是求解的关键.
19．已知四棱锥中，底面，底面为平行四边形，，，为的中点，且三棱锥的体积为.

（1）求证：平面平面；
（2）设点为四棱锥外接球的球心，求二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）60°.
【分析】
（1）设，结合三棱锥的体积公式，求得，再利用勾股定理，得到，又由底面，得到，证得平面，进而证得平面平面.
（2）连接，分别证得和，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
（1）由题意，设，
由三棱锥的体积为,可得，
解得，即，所以为正三角形，所以，
又由四边形为平行四边形，所以，
因为，
在中，由余弦定理可得，则，所以，
又因为底面，所以，
又由，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）如图所示，连接，
在中，由，，
由余弦定理得，
即，则，所以，
又因为底面，所以，
因此，则为直角三角形，
由题意知为直角三角形，且由（1）知，为直角三角形，
于是，取棱的中点，连接，，，则有，
即四棱锥的外接球的球心即为棱的中点，
取的中点，连接，则，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
由为棱的中点，可得，
设平面的法向量为，
则，取，得，
所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，取，得，，
所以平面的一个法向量为，
则，
由二面角为锐二面角，故二面角的大小为60°.

【点睛】
利用空间向量计算二面角的常用方法：
1、法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；
2、方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
20．设复数，，其中为锐角.
（1）若复数在复平面内对应的点在直线上，求的值；
（2）求的取值范围(其中是的共轭复数).
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）本题首先可根据复数的除法运算得出，然后根据复数在复平面内对应的点在直线上得出，最后通过计算即可得出结果；
（2）首先可求出，即可求出，然后根据是锐角得出，最后根据即可得出结果.
【详解】
（1），
因为复数在复平面内对应的点在直线上，
所以，即，.
（2）因为，所以，
则，
，
因为是锐角，所以，，
故，的取值范围为.
【点睛】
关键点点睛：本题考查复数的运算法则、两角和的正弦公式以及正弦函数的性质，考查共轭复数以及复数在复平面内对应的点，考查复数的模的相关计算，考查运算能力，体现了化归与转化思想，是中档题.
21．新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为200万元，每生产x万箱，需另投入成本万元，当产量不大于90万箱时，；当产量超过90万箱时，，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．
（Ⅰ）求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；
（Ⅱ）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？
【答案】（1）；（2）100
【分析】
（1）分别讨论，和的情况求出利润即可得出；
（2）利用导数求出函数单调性即可得出最值.
【详解】
（1）当时，，
，
当时，，
则当时，，
当时，，
综上，；
（2）（2）当时，，
令，则，则，
故，
则当时，，
当时，函数单调递增，当时，，
当时，函数单调递减，
综上，当产量为100万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大.
22．已知函数(为常数，).
（1）讨论函数的奇偶性；
（2）当为偶函数时，若方程在上有实根，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）利用函数的奇偶性的定义求解即可；
（2）当函数为偶函数时，，列出方程，利用换元法，结合指数函数和对勾函数的性质，由求根公式解出方程的根，可得实数的取值范围．
【详解】
（1）∵函数的定义域为，
又∵
∴①当时，即时，可得
即当时，函数为偶函数；
②当时，即时，可得
即当时，函数为奇函数.
（2）由（1）可得，当函数为偶函数时，，
即时，
由题可得，
令，则有
∵
∴，
又∵，当且仅当时，等号成立
根据对勾函数的性质可知，，即
①

此时的取值不存在；
②

此时，可得的取值为
综上可得
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数的性质，考查指数函数和对勾函数的应用，解决本题的关键点是令，则方程化简为，利用求根公式并讨论根与区间端点的关系，得出参数的范围，考查学生分类讨论思想和计算能力，属于中档题．