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初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试课时练习
展开这是一份初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试课时练习，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列各式中，是的二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知二次函数，则其二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是（ ）
A．B．C．D．
3．已知一次函数y=（k-2）x+k+1的图象不过第三象限，则k的取值范围是（ ）
A．-1≤k＜2B．-1≤k≤2C．-1
A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位
C．向左平移4个单位D．向右平移4个单位
5．若二次函数的图象经过点，，则与的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
6．如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ）
A．或B．或C．D．
7．一个长方形的周长为30,则长方形的面积y与长方形一边长x的关系式为( )
A．y=x(15-x)B．y=x(30-x)C．y=x(30-2x)D．y=x(15+x)
8．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．b＞0B．b2-4ac＜0C．a+b+c＞0D．点A的坐标为（﹣2，0）
9．二次函数的图像如图所示，点 在轴的正半轴上，且，设，则 的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，四边形是边长为1的正方形，点E是射线上的动点（点E不与点A，点B重合），点F在线段的延长线上，且，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接．设，四边形的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（ ）
B．
C． D．
二、填空题
11．二次函数的最小值为________．
12．将抛物线y＝x2﹣4x+3写成顶点式为_____．
13．将抛物线y＝x2﹣2x＋3向左平移2个单位长度，所得抛物线为____．
14．在函数中,当x＞1时,y随x的增大而 ___．（填“增大”或“减小”）
15．将抛物线向上平移2个单位后，得到的新抛物线与y轴交点的坐标为____．
16．某网店某种商品成本为50元/件，售价为60元/件时，每天可销售100件；售价单价高于60元时，每涨价1元，日销售量就减少2件．据此，当销售单价为____元时，网店该商品每天盈利最多．
三、解答题
17．抛物线y＝mx2﹣4m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A点在B点左边），与y轴交于C点，已知OC＝2OA．求：
（1）A，B两点的坐标；
（2）抛物线的解析式．
18．如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A(2，0)．
（1）求的值和抛物线顶点的坐标；
（2）求直线的解析式．
19．如图，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长10米）的空地上用栅栏围成一个矩形绿化带ABCD，绿化带的一边靠墙，中间用栅栏隔成两个小矩形，所用栅栏总长为36米，设AB的长为x米，矩形绿化带的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）求围成矩形绿化带ABCD面积S的最大值．
20．去年“抗疫”期间，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为6元/件的简装消毒液低价销售．为此当地政府决定给予其销售的这种消毒液按a元/件进行补贴，设某月销售价为x元/件，a与x之间满足关系式：，下表是某4个月的销售记录．每月销售量（万件）与该月销售价x（元/件）之间成一次函数关系．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？
（3）当销售价x定为多少时，该月纯收入最大？（纯收入=销售总金额-成本+政府当月补贴）
21．如图，抛物线，交x轴于点A、B，交y轴于点C，已知A的横坐标为－1．
（1）求点B的坐标．（用含b的代数式表示）
（2）抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，平移线段CB，使点C与D重合，此时点B恰好落在抛物线上，求b的值．
22．已知抛物线（其中为常数）
（1）求证：不论为何值，该抛物线与轴一定有两个公共点；
（2）若，两点在抛物线上，试比较与0的大小；
（3）若该抛物线在的部分与直线有两个公共点，试求出的取值范围．
23．如图，抛物线与x轴交于、两点，对称轴l与x轴交于点F，直线mAC，过点E作EH⊥m，垂足为H，连接AE、EC、CH、AH．
（1）抛物线的解析式为 ；
（2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接EF，点P在x轴上，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；若不存在请说明理由．
参考答案
1．C
【分析】
根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数求解可得．
【详解】
解：A、y=3x-1是一次函数，不符合题意；
B、中右边不是整式，不是二次函数，不符合题意；
C、y=3x2+x-1是二次函数，符合题意；
D、中右边不是整式，不是二次函数，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次函数的定义，解题的关键是掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2．D
【分析】
把函数化成的形式进行判断即可；
【详解】
∵函数是二次函数，
∴，，．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了二次函数一般式的人数，准确分析是解题的关键．
3．A
【解析】
【分析】
根据一次函数的图像性质列出关于k的不等式，即可求解.
【详解】
∵一次函数y=（k-2）x+k+1的图象不过第三象限，
则k-2＜0，k+1≥0，
解得-1≤k＜2，
故选A.
【点睛】
此题主要考查一次函数的图像，解题的关键是熟知一次函数图像性质及不等式的性质.
4．B
【分析】
将变换前后的解析式分别变形为顶点式，根据顶点坐标分析即可．
【详解】
变换前抛物线为：，顶点坐标为：；
变换后抛物线为：，顶点坐标为：；
显然，由平移至，是向右平移2个单位，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的平移问题，熟练利用顶点坐标判断平移问题是解题关键．
5．A
【分析】
分别把x=1和x=-2代入解析式，计算出对应的函数值，然后比较大小．
【详解】
解：当x=1时，y1=x2+2x+k=k+3；
当x=-2时，y2=x2+2x+k=k，
k+3＞k，
∴y1＞y2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
6．D
【分析】
根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
【详解】
与关于y轴对称
抛物线的对称轴为y轴，
因此抛物线的图像也关于y轴对称
设与交点为，则，
即在点之间的函数图像满足题意
的解集为：
故选D．
【点睛】
本题考查了轴对称，二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．理解与关于y轴对称是解题的关键．
7．A
【详解】
∵长方形的周长为30，其中一边长为，
∴该长方形的另一边长为：，
∴该长方形的面积：.
故选A.
8．D
【分析】
抛物线的开口向下，对称轴在y轴的左侧（左同右异），可得到a，b的取值范围，可对A作出判断；抛物线与x轴有两个不同的交点，可得到b2-4ac＞0，可对B作出判断；抛物线的对称轴为直线x=-1，图象经过点（0，0），可确定a+b+c的取值范围，可对C作出判断；利用二次函数的对称性，可得到点A的坐标，可对D作出判断．
【详解】
解：A、∵抛物线的开口向下，对称轴在y轴的左侧，
∴a＜0， ，
∴b＜0，故A不符合题意；
B、∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴ b2-4ac＞0 ，故B不符合题意；
C、抛物线的对称轴为直线x=-1，图象经过点（0，0），
∴当x=1时y＜0即a+b+c＜0，故C不符合题意；
D、∵抛物线的对称轴为直线x=-1，图象经过点（0，0），
∴点A和点O关于对称轴对称，
∴点A（-2，0），故D符合题意；
故答案为：D．
【点睛】
此题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数与不等式（组）的综合应用．
9．D
【分析】
由图像可得，，当，，并与轴交于之间，得，据悉可得，据此求解即可．
【详解】
解：由图像可知，图像开口向下，并与轴相交于正半轴，
∴，，
当，，
∵，并由图像可得，二次函数与轴交于之间，
∴
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数图象及性质，熟悉相关性质是解题的关键．
10．B
【分析】
分两种情况求出函数的解析式，再由函数解析式对各选项进行判断．
【详解】
解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴∠DAB=90°，AD=AB，
在△ADE和△ABF中，
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴∠ADE=∠ABF，DE=BF，
∵∠DEG=90°，
∴∠ADE+∠AED=∠AED+∠BEG，
∴∠BEG=∠ADE，
∴∠BEG=∠ABF，
∴EGBF，
∵DE=BF，DE=GE，
∴EG=BF，
∴四边形BFEG是平行四边形，
∴四边形EFBG的面积=2△BEF的面积=2BE•AF，
设AE=x，四边形EFBG的面积为y，
当0≤x≤1时，y=（1-x）•x=-x2+x；
当x＞1时，y=（x-1）•x=x2-x；
综上可知，当0≤x≤1时，函数图象是开口向下的抛物线；当x＞1时，函数图象是开口向上的抛物线，
符合上述特征的只有B，
故选：B．
【点睛】
本题综合考查了正方形的性质和二次函数图象及性质，分段求出函数的解析式是解题的关键．
11．-2
【分析】
由二次函数可直接求解．
【详解】
解：由二次函数可得：开口向上，有最小值，
∴二次函数的最小值为-2；
故答案为-2．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
12．y=（x-2）2-1
【分析】
通过配方把解析式化成顶点式即可.
【详解】
故填：
【点睛】
本题考查顶点式解析式，关键是学会用配方法.
13．y＝x2+2x＋3
【分析】
把y＝x2﹣2x＋3配方得，把顶点向左平移2个单位长度即可得所求抛物线的解析式．
【详解】
把y＝x2﹣2x＋3配方得，其顶点坐标为(1,2)，抛物线的顶点向左平移2个单位长度后为(-1,2)，所以所得抛物线的解析式为，即y＝x2+2x＋3
故答案为：y＝x2+2x＋3．
【点睛】
本题考查了抛物线的平移，抛物线的一般式化顶点式，关键抓住抛物线的顶点平移．
14．增大
【分析】
根据其顶点式函数可知,抛物线开口向上,对称轴为 ,在对称轴右侧y随x的增大而增大,可得到答案．
【详解】
由题意可知: 函数,开口向上,在对称轴右侧y随x的增大而增大,又∵对称轴为,
∴当时,y随的增大而增大,
故答案为:增大．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的对称轴及增减性,掌握当二次函数开口向上时,在对称轴的右侧y随x的增大而增大,在对称轴的左侧y随x的增大而减小是解题的关键．
15．（0，3）
【分析】
根据二次函数的平移规律得出新抛物线的解析式，再令x=0即可得出答案；
【详解】
解：∵抛物线向上平移2个单位得到新抛物线的解析式为，
∴当x=0，则y=3，
∴得到的新抛物线图象与y轴的交点坐标为：（0，3）．
故答案为：（0，3）．
【点睛】
此题主要考查了主要考查了二次函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．
16．80
【分析】
直接利用每件利润×销量=总利润，进而得出每天盈利与x的关系式，配方即可得出答案．
【详解】
解：设当销售单价为x元时，每天盈利为y元，
则y=（x-50）[100-2（x-60）]
=-2x2+320x-11000
=-2（x-80）2+1800，
∵-2＜0，
∴当x=80时，y有最大值，且为1800，
答：当销售单价为80元时，每天获取的利润最大，最大利润是1800元．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
17．（1）A(﹣2，0)，B(2，0)；（2）y＝x2﹣4
【分析】
（1）通过解方程mx²﹣4m＝0可得A、B点的坐标；
（2）先利用OA＝2得到OC＝4，所以|﹣4m|＝4，然后求出满足条件的m的值，从而得到抛物线解析式．
【详解】
解：（1）当y＝0时，mx2﹣4m＝0，即x2﹣4＝0，解得x1＝2，x2＝﹣2，
∴A(﹣2，0)，B(2，0)；
（2）当x＝0时，y＝mx2﹣4m＝﹣4m，
∴C（0，﹣4m），
∵OA＝2，
∴OC＝2OA＝4，
∴|﹣4m|＝4，解得m＝1或m＝﹣1，
∵m＞0，
∴m＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
18．（1），M (1，-2)；（2）
【分析】
（1）将A(2，0)代入抛物线的解析式，可求得m的值，再配成顶点式即可求解；
（2）利用待定系数法即可求得直线AM的解析式．
【详解】
解 （1）∵抛物线过点A(2，0)，
，解得，
，
,
∴顶点M的坐标是(1，-2)；
（2）设直线AM的解析式为，
∵图象过A(2，0)，M (1，-2)，
，解得，
∴直线AM的解析式为．
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
19．（1）；（2）平方米
【分析】
（1）由栅栏总长为36米，的长为米，可得米，根据矩形的面积公式可得与之间的函数关系式；由墙长10米并直接写出的取值范围；
（2）将与之间的函数关系式写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围，可得答案．
【详解】
解：（1）栅栏总长为36米，的长为米，
米，
，
由题意可得：，解得：，
；
（2）
，
，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，
又，
当时，有最大值，其最大值为．
围成矩形绿化带面积的最大值为平方米．
【点睛】
本题考查了二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
20．（1）；（2）4万元；（3）当销售价定为7元/件时，该月纯收入最大．
【分析】
（1）利用待定系数法即可得；
（2）将代入求出的值，代入与的函数关系式求出该月的销售量，再利用乘以该月的销售量即可得；
（3）设该月纯收入为万元，先根据纯收入的计算公式求出与之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】
解：（1）设与的函数关系式为，
将点代入得：，解得，
则与的函数关系式为；
（2）当时，，
，
则（万元），
答：政府该月应付给厂家补贴4万元；
（3）设该月纯收入为万元，
由题意得：，
整理得：，
由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值，最大值为32，
答：当销售价定为7元/件时，该月纯收入最大．
【点睛】
本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键．
21．（1）；（2）
【分析】
（1）根据A、B两点关于二次函数的对称轴对称，求得点的坐标；
（2）根据的坐标，求出的关系式，根据平移求出的坐标，代入二次函数，求得值．
【详解】
解（1）∵
∴对称轴：直线
∴
∵点横坐标为－1
∴
（2）把代入
得：，即
∵平移线段CB，使C与D重合点
∴B平移后得点
∵点B在抛物线上
∴
解得
∵
∴
【点睛】
此题主要考查了二次函数的有关性质，涉及到了点的平移变换和一元二次方程，熟练掌握二次函数的有关性质和点的平移规则是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）当时，；当时，；当时，；（3）．
【分析】
（1）计算y=0时一元二次方程的判别式，根据一元二次方程根与判别式的关系即可得结论；
（2）分别计算y1与y2，再计算，最后根据一次函数的性质即可得答案；
（3）由题意可得方程=有两个不相等的实数根，且在之间，结合判别式及二次函数的性质列不等式组即可得答案．
【详解】
（1）当y=0时，=0，
∴判别式△==4>0，
∴不论为何值，该抛物线与轴一定有两个公共点．
（2）∵，两点在抛物线上，
∴，，
∴，
当=0时，，
∵-2<0，
∴的值随m的增大而减小，
∴当时，<0，当时，>0，
综上所述：当时，；当时，；当时，．
（3）∵该抛物线在的部分与直线有两个公共点，
∴方程=有两个不相等的实数根，且在之间，
整理得：，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】
本题考查二次函数与一元二次方程的综合及一次函数的性质，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系及一元二次方程根与判别式的关系是解题关键．
23．（1）；（2）；（3）存在，符合题意的点坐标为或或
【分析】
（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）先求抛物线与y轴交点，利用勾股定理求，利用待定系数法求直线的解析式，由，交于点，可得为定值，由，把，记为定值，再求；再利用二次函数的性质可得答案；
（3）当点Q在x轴上方抛物线上时，因为PF在x轴上，，点Q的纵坐标与E的纵坐标相同，当点Q在x轴下方抛物线上时，又四边形为平行四边形，Q与E的纵坐标互为相反数即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线与x轴交于、两点，
∴，
解得，
∴；
故答案为；
（2）将代得，
∴，
设直线的解析式为将，，
得，
解得，，
∴，
∵，交于点，
∴为定值，
∵，
把，记为定值，
过点作轴，垂足为，交于点，
设，则，
∴，
，
，
∴，
∵，
∴有最大值，此时，
将代入中，得；
（3）存在，符合题意的点坐标为或或；
当点Q在x轴上方抛物线上时，
因为PF在x轴上，
又∵，
∴点Q的纵坐标与E的纵坐标相同，
∴y=，
∴，
∴解得，
∵x=时为E点，
∴，
Q1()，
当点Q在x轴下方抛物线上时，
∵PF在x轴上，
又∵四边形为平行四边形，
∴Q与E的纵坐标互为相反数，
所以yQ=，
∴，
整理得，
△=，
解得，
∴Q2（），Q3（），
符合题意的点坐标为或或．月份
…
二月
三月
四月
五月
…
销售价x（元件）
…
6
7
7.6
8.5
…
该月销售量y（万件）
…
30
20
14
5
…
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