2021学年第二十二章 二次函数综合与测试课时作业

这是一份2021学年第二十二章 二次函数综合与测试课时作业，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列y和x之间的函数表达式中，是二次函数的是（ ）
A．B．C．D．y＝x-3
2．抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，5）B．（﹣2，﹣5）C．（2，5）D．（2，﹣5）
3．若二次函数的图象经过点P（－2，4），则该图象必经过点（ ）
A．（2，4）B．（－2，－4）C．（－4，2）D．（4，－2）
4．在下列二次函数中，其图象对称轴为x=﹣2的是（ ）
A．y=（x+2）2﹣3B．y=2x2﹣2C．y=﹣2x2﹣2D．y=2（x﹣2）2
5．二次函数y＝x2﹣6x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（ ）
A．（﹣1，0）B．（4，0）C．（5，0）D．（﹣6，0）
6．已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且抛物线的图象经过（3，0）点，则这条抛物线的解析式是（ ）
A．y=﹣x2﹣4x﹣3 B．y=﹣x2﹣4x+3
C．y=x2﹣4x﹣3 D．y=﹣x2+4x﹣3
7．把抛物线y=ax2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2-2x+3，则b+c的值为（ ）
A．9B．12C．-14D．10
8．在同一直角坐标系内，函数y=kx2和y=kx﹣2（k≠0）的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是（ ）
A．﹣0.01＜x＜0.02B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.20
10．某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天销售量是50件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为x元，每天利润为y元，则y与x之间的函数关系为（ ）
A．y=10x2﹣100x﹣160 B．y=﹣10x2+200x﹣360
C．y=x2﹣20x+36 D．y=﹣10x2+310x﹣2340
二、填空题
11．二次函数，当________时，有最小值．
12．已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是__________
13．飞机着陆后滑行的距离S（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是S=80t﹣2t2， 飞机着陆后滑行的最远距离是________m．
14．如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与轴的两个交点分别为A（-1，0）和B（2，0），当y＜0时，x的取值范围是___________．
15．如图，一块铁片边缘是由抛物线和线段AB组成，测得AB=20cm，抛物线的顶点到AB边的距离为25cm．现要沿AB边向上依次截取宽度均为4cm的矩形铁皮，从下往上依次是第一块，第二块…如图所示．已知截得的铁皮中有一块是正方形，则这块正方形铁皮是第________块．
16．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列5个结论，①abc＜0； ②2a+b=0；③b2﹣4ac＜0；④a+b+c＞0；⑤a﹣b+c＜0．其中正确的结论有________（填序号）
三、解答题
17．在同一个直角坐标系中作出y＝x2，y＝x2－1的图象．
(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；
(2)抛物线y＝x2－1与抛物线y＝x2有什么关系？
18．抛物线y＝ax2与直线y＝2x－3交于点(1，b)．
(1)求a，b的值．
(2)抛物线y＝ax2的图象上是否存在一点P，使其到两坐标轴的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
19．如图，直线y=x+3与两坐标轴交于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点，且交x轴的正半轴于点C．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式和点C的坐标．
20．如图，已知二次函数的图象经过，两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的对称轴与轴交于点，连接，，求的面积．
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ 与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称．

（1）填空：点B的坐标为________；
（2）过点B的直线y=kx+b（其中k＜0）与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB=PC，求线段PB的长（用含k的式子表示），并判断点P是否在抛物线上，说明理由．
22．某商场将每台进价为3000元的彩电以3900元的销售价售出，每天可销售出6台，这种彩电每台降价100x（x为整数）元，每天可以多销售出3x台．
（1）降价后每台彩电的利润是_____元，每天销售彩电_____台，设商场每天销售这种彩电获得的利润为y元，试写出y与x之间的函数关系式，（保证商家不亏本）；
（2）销售该品牌彩电每天获得的最大利润是多少;
（3）每台彩电的销售价是多少时，彩电的销售量和营业额均较高？
23．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；
（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
参考答案
1．A
【分析】
根据二次函数的定义（一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数）进行判断．
【详解】
A. 可化为，符合二次函数的定义，故本选项正确；
B. ，该函数等式右边最高次数为3，故不符合二次函数的定义，故本选项错误；
C. ，该函数等式的右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故本选项错误；
D. y＝x-3，属于一次函数，故本选项错误.
故选：A.
【点睛】
本题考查了二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，化简后最高次必须为二次，且二次项系数不为0.
2．C
【分析】
根据二次函数的性质y＝a(x﹣h)2+k的顶点坐标是(h，k)进行求解即可.
【详解】
∵抛物线解析式为y=3(x-2)2+5，
∴二次函数图象的顶点坐标是(2，5)，
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标(对称轴)，最大(最小)值，增减性等．
3．A
【详解】
根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将P（－2，4）代入，得，
∴二次函数解析式为．
∴所给四点中，只有（2，4）满足．故选A．
4．A
【分析】
根据二次函数y=a(x-h)2+k（a，b，c为常数，a≠0）的性质逐项分析即可.
【详解】
A. y=（x+2）2﹣3的对称轴是x=-2，故正确；
B. y=2x2﹣2的对称轴是x=0，故不正确；
C. y=﹣2x2﹣2的对称轴是x=0，故不正确；
D. y=2（x﹣2）2的对称轴是x=2，故不正确；
故选A.
【点睛】
本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k（a，b，c为常数，a≠0）的性质， y=a(x-h)2+k是抛物线的顶点式，其顶点是（h，k），对称轴是x=h．熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质是解答本题的关键．
5．C
【分析】
根据二次函数解析式求得对称轴是x=3，由抛物线的对称性得到答案．
【详解】
解：由二次函数得到对称轴是直线，则抛物线与轴的两个交点坐标关于直线对称，
∵其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为，
故选C．
【点睛】
考查抛物线与x轴的交点坐标，解题关键是掌握抛物线的对称性质．
6．D
【解析】
【分析】
由于已知抛物线的顶点坐标，则设抛物线的顶点式为y=a（x﹣2）2+1，再把（3，0）代入可计算出a的值，然后把抛物线的解析式化为一般式即可．
【详解】
设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，把（3，0）代入得：a×（3﹣2）2+1=0，解得：a=﹣1，所以抛物线的解析式为y=﹣（x﹣2）2+1=﹣x2+4x﹣3．
故选D．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式：先设二次函数的解析式（一般式、顶点式或交点式），然后把二次函数上的点的坐标代入得到方程组，再解方程组，从而确定二次函数的解析式．
7．B
【详解】
y=x2-2x+3=(x-1)2+2，将其向上平移2个单位得：y= (x-1)2+2+2= (x-1)2+4，再向左平移3个单位得：y= (x-1+3)2+4= (x-1+3 )2+4= (x+2)2+4=x2+4x+8，所以b=4，c=8，所以b+c=12，故选B.
8．B
【解析】
【分析】
当k＞0时，判断函数y=kx2 图象的开口方向和顶点位置，函数y=kx-2的图象所经过的象限；
当k＜0时，判断函数y=kx2 图象的开口方向和顶点位置，函数y=kx-2的图象所经过的象限，从而可得出答案.
【详解】
解：根据题意，
当k＞0时，函数y=kx2开口向上，顶点在原点，而y=kx-2的图象过一、三、四象限；
当k＜0时，函数y=kx2开口向下，顶点在原点，而y=kx-2的图象过二、三、四象限.
分析选项可得，只有B符合.
故选B.
【点睛】
属于二次函数和一次函数的综合题，熟练掌握一次函数在不同情况下的图象，还要熟练掌握二次函数的性质.
9．C
【详解】
试题分析：观察表格可知，y随x的值逐渐增大，ax2+bx+c的值在6.18～6.19之间由负到正，故可判断ax2+bx+c=0时，对应的x的值在6.18～6.19之间．
解：由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．
故选C．
考点：图象法求一元二次方程的近似根．
10．B
【解析】
【分析】
根据等量关系“利润=（售价﹣进价）×（50+10×降价）”列出函数关系式即可．
【详解】
根据题意得：y=（x﹣2）[50+10（13﹣x）]
整理得：y=﹣10x2+200x﹣360．
故选：B．
【点睛】
此题考查了从实际问题中抽象出二次函数关系式，掌握销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键．
11．1
【分析】
根据二次函数的最值问题解答即可．
【详解】
∵a=1>0，
∴当x=1时，y有最小值2.
故答案为1.
【点睛】
考查二次函数的最值问题，二次函数y=a(x-h)2+k的图象的顶点是（h，k），
最值在顶点处取得.
12．k≤4且k≠3
【分析】
根据二次函数的定义和图象与x轴有交点则△≥0，可得关于k的不等式组，然后求出不等式组的解集即可．
【详解】
解：根据题意得k−3≠0且△＝22−4×（k−3）×1≥0，
解得k≤4且k≠3．
故答案为k≤4且k≠3.
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点问题：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0），△＝b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＜0时，抛物线与x轴没有交点．
13．800
【分析】
根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值．
【详解】
解：∵﹣2＜0，
∴函数有最大值．
当t==20时，
s最大值==800（米），
即飞机着陆后滑行800米才能停止．
故答案为800．
14．x＜-1或x＞2
【分析】
直接从图上可以分析：y＜0时，图象在x轴的下方，共有2部分：一是A的左边，即x＜−1；二是B的右边，即x＞2．
【详解】
观察图象可知，抛物线与x轴两交点为（−1，0），（2，0），y＜0，图象在x轴的下方，所以答案是x＜−1或x＞2．
故答案为x＜-1或x＞2
【点睛】
考查了二次函数的图象与函数值之间的联系，函数图象所表现的位置与y值对应的关系，典型的数形结合题型．
15．6
【分析】
根据已知条件建立坐标系，得出此抛物线的顶点坐标以及图象与x轴的交点坐标，求出二次函数解析式，再根据M点的横坐标，求出纵坐标，即可解决问题；
【详解】
如图，建立平面直角坐标系．
∵AB=20cm，抛物线的顶点到AB边的距离为25cm，
∴此抛物线的顶点坐标为：（10，25），图象与x轴的交点坐标为：（0，0），（20，0），
∴抛物线的解析式为： ，
∵点A（0，0）在抛物线上，
∴0=100a+25，解得 ,
∴抛物线的解析式为: ,
现要沿AB边向上依次截取宽度均为4cm的矩形铁皮，
∴截得的铁皮中有一块是正方形时，正方形边长一定是4cm．
∴当四边形DEFM是正方形时，DE=EF=MF=DM=4cm，
∴M点的横坐标为AN-MK=10-2=8，
即x=8，代入,得y=24，
∴KN=24，24÷4=6，
∴这块正方形铁皮是第六块.
故答案是6.
16．①②④⑤
【解析】
【分析】
首先根据开口方向确定a的取值范围，根据对称轴的位置确定b的取值范围，根据抛物线与y轴的交点确定c的取值范围，根据抛物线与x轴是否有交点确定b2﹣4ac的取值范围，根据x=﹣1和x=1的函数值可以判断④⑤．
【详解】
∵抛物线开口向下，∴a＜0．
∵对称轴x=1=﹣，∴b＞0．
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，∴abc＜0，故①正确；
∵对称轴x=1=﹣，∴2a=﹣b，∴2a+b=0，故②正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故③错误；
根据图象可知，当x=1时，y=a+b+c＞0，故④正确；
根据图象知道当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，故⑤正确．
故答案为：①②④⑤．
【点睛】
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题的关键．
17．见解析
【详解】
试题分析：观察图像结合函数表达式可以得到两个函数开口向上，对称轴也都是y轴，顶点坐标分别是(0,0),（0，-1）；根据二次函数的性质及图像知道抛物线y＝x2－1与抛物线y＝x2形状相同，对称轴相同，但是位置不同，开口方向也相同，所以可以得到抛物线y＝x2－1可由抛物线y＝x2向下平移1个单位长度得到的．
解：如图所示：
(1)抛物线y＝x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，0)；
抛物线y＝x2－1开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，－1)．
(2)抛物线y＝x2－1可由抛物线y＝x2向下平移1个单位长度得到．
18．(1) a＝－1, b＝－1;
(2) 存在,理由见解析.．
【详解】
分析：(1)将点(1，b)代入到直线y = 2x－3，可以得出b = -1，再将(1，-1)代入到抛物线求出a、b;(2)P(m，n)点到两坐标轴距离相等，即|m| = |n|，也即 m²= n²两点相交，即相交点符合两个函数方程，可以得出二次函数，并且要把握住P(m，n)点到两坐标轴距离相等，即|m| = |n|，也即 m² = n² ，然后在n = −m²－ m² 中把 m² 换为 n² ，求出n的值，最后得到m的值，即可得到P的坐标.
本题解析：
(1)∵直线y＝2x－3过点(1，b)，
∴b＝2×1－3＝－1，∴交点坐标为(1，－1)．
∵抛物线y＝ax2过点(1，－1)，
∴－1＝a×12，∴a＝－1.
(2)若存在点P，设点P的坐标为(x，y)，
则|x|＝|y|.
∵a＝－1，∴y＝－x2，
∴x2＝|x|，∴x＝0或x＝±1，
∴点P的坐标为(0，0)或(1，－1)或(－1，－1).
点睛：本题是对抛物线知识的考查,掌握抛物线的图像、性质是解决本题的关键.
确定二次函数解析式时,要根据所给条件选择恰当的表达式.一般地,
已知抛物线上任意三点时,通常设函数解析式为一般式;当已知顶点坐标
时,通常设函数解析式为顶点式;当已知抛物线与x轴有两个交点时,通
常设函数解析式为交点式.
19．（1）A（﹣3，0）；B(0,3)（2）y=﹣x2﹣2x+3；C（1，0）．
【解析】
【分析】
（1）分别令x=0和y=0代入y=x+3中可得结论；
（2）利用待定系数法求二次函数的解析式，令y=0即可求出点C的坐标.
【详解】
解：（1）当x=0时，y=x+3=3，
∴点B的坐标为（0，3）；
当y=0时，有x+3=0，
解得：x=﹣3，
∴点A的坐标为（﹣3，0）．
（2）将A（﹣3，0），B（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得：
,解得：
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．
当y=0时，有﹣x2﹣2x+3=0，
解得：x1=﹣3，x2=1，
∴点C的坐标为（1，0）．
【点睛】
考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是根据一次函数解析式得到A、B两点的坐标.
20．见解析
【分析】
（1）二次函数图象经过A（2，0）、B（0，-6）两点，两点代入y=-x2+bx+c，算出b和c，即可得解析式；
（2）先求出对称轴方程，写出C点的坐标，计算出AC，然后由面积公式计算值．
【详解】
（1）把，代入得
，
解得.
∴这个二次函数解析式为.
（2）∵抛物线对称轴为直线，
∴的坐标为，
∴，
∴.
【点睛】
本题是二次函数的综合题，要会求二次函数的对称轴，会运用面积公式．
21．（1）（0， ）；（2）PB=+，点P在抛物线上
【解析】
【分析】
（1）由抛物线解析式可求得A点坐标，再利用对称可求得B点坐标；
（2）可先用k表示出C点坐标，过B作BD⊥l于点D，条件可知P点在x轴上方，设P点纵坐标为y，可表示出PD、PB的长．在Rt△PBD中，利用勾股定理可求得y，则可求出PB的长，此时可得出P点坐标，代入抛物线解析式可判断P点在抛物线上．
【详解】
（1）∵y=﹣x2+的顶点A的坐标为（0，），∴原点O关于点A的对称点B的坐标为（0，）．
故答案为：（0，）；
（2）∵B点坐标为（0，），∴直线解析式为y=kx+，解得：x=﹣，∴OC=﹣．
∵PB=PC，∴点P只能在x轴上方，如图，过点B作BD⊥l于点D，设PB=PC=m，则BD=OC=﹣，CD=OB=，∴PD=PC﹣CD=m﹣．
在Rt△PBD中，由勾股定理可得：PB2=PD2+BD2，即m2=（m﹣）2+（﹣）2，解得：m=+，∴PB=+，∴点P坐标为（﹣+）．
当x=﹣时，代入抛物线解析式可得：y=+，∴点P在抛物线上．
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有轴对称的性质、平行线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、二次函数的性质等．在（2）中构造直角三角形，利用勾股定理得到关于PC的长的方程是解题的关键．
22．（1）900-100x元；（6+3x）台，（2）9000；（3）3500元
【分析】
（1）由题目知每台彩电的利润是（3900-100x-3000）元，则y=（3900-100x-3000）（6+3x），然后化简即可；（2）用配方法化简y与x的函数关系式，得出x的值，相比较下得出y的值；（3）把x=3和x=4代入二次函数解析式，即可求出彩电的销售量和营业额，比较即可.
【详解】
解：（1）由题意：
每台彩电的利润是（3900﹣100x﹣3000）=900-100x元，每天销售（6+3x）台，
则y=（3900﹣100x﹣3000）（6+3x）
=﹣300x2+2100x+5400；
（2）y=﹣300x2+2100x+5400=﹣300（x﹣3.5）2+9075．
当x=3或4时，y最大值=9000；
（3）当x=3时，彩电单价为3600元，每天销售15台，营业额为3600×15=54000元，
当x=4时，彩电单价为3500元，每天销售18台，营业额为3500×18=63000元，
所以销售该品牌彩电每天获得的最大利润是9000元，
此时每台彩电的销售价是3500元时，能保证彩电的销售量和营业额较高．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数最值的求法是解题的关键.
23．（1），B(3, 0)；（2）；（3）不存在，理由见解析
【详解】
.解：(1) 当y＝0时，
∴A(－1, 0)
当x＝0时， ∴ C(0,－3)
∴∴
抛物线的解析式是：
当y＝0时，
解得： x1＝－1 x2＝3 ∴ B(3, 0)
（2）由（1）知 B(3, 0) ， C(0,－3) 直线BC的解析式是：
设M（x,x-3）(0≤x≤3),则E（x,x2-2x-3）
∴ME=(x-3)-( x2-2x-3)=-x2+3x =
∴当 时，ME的最大值＝
（3）答：不存在.
由（2）知 ME 取最大值时ME＝，E，M
∴MF＝，BF=OB-OF=.
设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，
则BP∥MF，BF∥PM. ∴P1或 P2
当P1时，由（1）知
∴P1不在抛物线上.
当P2时，由（1）知
∴P2不在抛物线上.
综上所述：抛物线x轴下方不存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形.x
6.17
6.18
6.19
6.20
y
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04