苏科版八年级上册4.3 实数教学设计

4.3 实数

【教学目标】

1. 了解并掌握无理数及实数的概念，会对实数进行分类；知道实数与数轴上的点是一一对应的；
2. 在引出，…是无理数的过程中，让学生体会数形结合的思想；在实数的分类过程中，渗透分类讨论的思想。通过对比分析，知道无理数是无限不循环小数，培养学生分析问题的能力；
3. 通过了解数系扩充，体会数系扩充对人类发展的作用；通过积极参与问题引导下的思考和操作活动，初步形成积极探究的态度。

【重点、难点】

重点：1.无理数概念的探索过程及无理数概念的建立   

2.能对实数进行分类,并在数轴上表示实数

难点：无理数概念的探索过程

【教学过程】

一、复习旧知

师：同学们，我们学过了哪些数？

学生：我们学过了自然数、整数、小数、分数、有理数和无理数。

我们知道，所有整数都可以写成分母是1的分数。因此，我们把能够写成分数形式(m,n是整数，n0)的数叫做有理数。所以有理数包含了整数和分数。而整数和分数都可以写成小数形式。整数可化成小数点后面是0的有限小数，如，3=3.0，-4=-4.0。分数可化成有限小数和无限循环小数。如，，等，所以有理数就是有限小数或无限循环小数。反过来，有限小数和无限循环小数都是有理数。

小数中还有无限不循环小数，我们把它叫做无理数。如：

【教学意图：通过复习回忆学过的知识，让学生加强对数的认识，并且调动学生学习的积极性。】

二、探究新知

师：我们刚刚学过平方根，知道了2的算术平方根是，下面我们就来探讨一下这含根号的数。

1.操作活动

请同学们在纸上作一条数轴，在数轴上以一个单位长度为边长画一个正方形,然后以原点为圆心,正方形的对角线为半径画弧,与正半轴的交点为点A。

问题：数轴上A点对应的数是什么？

A

学生：因为OA=，所以A点表示的数是。

2.问题探究： 是一个多大的数呢？

从数轴上，我们看出 1<<2 。其实12=1，22=4，，所以1<<2

我们不妨取1和2的中间值1.5，发现

1.52=2.25，而；因此，1<<1.5。

师： 你能不能得到的更精确的范围？（小数点后面位数越多越精确）

（学生分组讨论，比一比看哪一个小组做的精确度高？）

因为1.42=1.96，1.52=2.25，而1.96<2<2.25 ;

所以1.4<<1.5 .

因为1.412=1.9881，1.422=2.0614，而1.9881<2<2.0614 ;

所以1.41<<1.42 .

因为1.4142=1.999396，1.4152=2.002225，而1.999396<2<2.002225 ;

所以1.414<<1.415 .

……

如此下去，我们借助于计算机可以得到一个接近于的数，1.414 213 562 373 095 048 801 688 …

师：这是一个什么数？

学生：无限不循环小数。

因此，是无限不循环小数，它是无理数。

师：关于如何证明是无理数，有兴趣的同学可以看看课本P105的阅读材料，这不是本堂课的内容。

【教学意图：通过合作探究，使学生明确认识到是无理数,在这个过程中让学生体会数形结合、无限逼近的数学思想,进一步完善无理数的定义。在此过程中,尽可能地让学生思考和交流，激发学生学习的欲望，提高学生的主观能动性。】

课堂插曲

无理数           一个以生命为代价的发现。

毕达哥拉斯：古希腊伟大的数学家，证明过许多重要定理，包括以他名字命名的毕达哥拉斯定理（勾股定理）。

他有一句名言，叫做“万物皆数”。他把数的概念神秘化了，错误地认为：宇宙间的一切数，都可以归结为整数或者整数的比，即都是有理数。但是，毕达哥拉斯的一个学生叫希伯斯，他找到了一种既不是整数，又不是整数之比的数也就是。他很惶惑：根据老师的看法，这应该是世界上根本不存在的东西呀！于是希伯斯把这件事告诉了老师。毕达哥拉斯听了后很惊讶，他无法解释这种怪现象，又不敢承认它是一种新的数，因为他的全部“宇宙”理论，都奠基在整数的基础上。后来他下令封锁消息，不准希伯斯再谈论这件事。希伯斯很不服气。 他想，不承认这是数，岂不等于是说边长为1的正方形的对角线没有长度吗？为了坚持真理，他将自己的发现传扬了出去，最后被毕达哥拉斯学派的人投进了大海，处以“淹死”的惩罚。直到最近几百年，数学家们才弄清楚，这确实不是整数，也不是分数，而是一种新的数。后来为了纪念希伯斯这位为真理而献身的可敬学者，就取名为“无理数”。这就是无理数的由来。

【教学意图：介绍无理数的由来，让学生了解些数学科学史料，丰富了数学课堂。也让学生知道任何知识的产生都不会一帆风顺，激励学生不怕困难积极探求科学精神。】

3.思考：是不是所有含根号的数都是无理数呢？

结论：不是所有含根号的数都是无理数。

4. 总结

结合我们前面讲的无理数，无理数常见的形式可以归纳为三种：

①像这些数；举例：、 都是有理数。

②像这些数；举例：

③像2.020020002…（两个2之间依次多个0），-168.3232232223…（两个3之间依次多一个2），0.123456789101112…这些数。

练一练：把下列各数分别填入相应的集合内。

         有理数集合                      无理数集合

【教学意图：让学生在寻找的过程中自己小结得出结论：判断一个数是有理数还是无理数，应该从它们的定义去辩别，而不能只从形式上去分辨。从而发展学生的辨析和判断能力】

5.师给出实数定义:有理数与无理数统称为实数.（引入课题）

师：这样，初中阶段我们对数的认识范围就扩充到了实数。

6.试一试：课本P101的尝试1.能不能在数轴上找到这些带根号的无理数对应的点?

7. π也可以用数轴上的点来表示吗？

如图，直径为１个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点从原点到达A点，则点A表示的数为多少？

因为直径为1的圆的周长是π ，故 OA=π， 点A表示的数是π。

结论：每一个无理数都可以用数轴上的点来表示。

因为有理数也可以用数轴上点来表示，所以可以说，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。把这两件事合在一起，我们就说全体实数和数轴上的点一一对应。

【教学意图：利用课件帮助理解以上内容，数形结合，突破本课的难点；由此形象、直观展示数轴上除了有理数外还有无理数，深化了实数的概念。学生相互讨论使学生主动参与到学习活动中来，培养学生合作交流精神和发散思维能力，同时拓展学生的知识面.】

三、深化新知

实数分类

①按定义分

②按性质符号分

【教学意图：通过让学生对实数分类,加深学生对各种数的认识，加深对实数概念的理解．】

四、课堂小结

（1）知识方面：无理数、实数的概念，实数的分类；实数与数轴上的点一一对应

（2）思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值；数形结合的数学思想

【教学意图：培养学生对课堂总结的习惯】

五、巩固练习

1.判断下列说法是否正确

（1）实数不是有理数就是无理数（   ）

（2）无理数都是无限不循环小数（   ）

（3）带根号的数都是无理数    （   ）

（4）无理数一定都带根号      （   ）

（5）无理数都是无限小数      （   ）

（6）无限小数都是无理数      （   ）

2.把下列各数填入相应的集合内：

∣∣            3   0.13

（1）    有理数集合：                          …

（2）    无理数集合：                          …

（3）    整数集合：                             …

（4）    负数集合：                           …

（5）    分数集合：                            …

（6）    实数集合：                           …