初中数学北京课改版八年级上册第十一章 实数和二次根式11.1 平方根教学设计

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课题名称： 平方根教师姓名： 何岩学校： 丰台二中编号：教师年龄： 41教龄： 18年职称： 中学高级教学背景分析（一） 本课时教学内容的功能和地位   本章的内容是平方根、算数平方根、立方根的概念及其求法,实数的概念,二次根式的概念及其简单的四则运算.是学生今后学习勾股定理,一元二次方程,函数等重要内容的基础.通过本章的学习可以使学生对数系的发生、发展有一个较系统和辩证的认识。  12.1节主要介绍平方根与算术平方根的概念,分2课时完成.平方根和算术平方根的概念属本章重点内容。平方根的引入既是对数学运算体系的完善，也是后面学习实数、二次根式、一元二次方程的基础，同时平方根的教学也为学生学习立方根提供了类比的依据。 （二） 学生情况分析   学生在小学阶段学习了加,减,乘,除运算,并知道四种运算之间的关系；进入初中又学过乘方运算,初步掌握字母表示数,但抽象的意识特别是用字母表达定义的能力还有待加强；任教班级为年级实验班，学生数学基础较好。 （三）             教学准备.  完成了无理数与实数1课时的教学------认识,为本节课平方根符号的引入做好铺垫。教学目标（一） 了解平方根的概念,掌握平方根的性质,了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求某些非负数的平方根；（二）会用符号表示非负数的平方根，在使用数学符号语言的过程中，感受数学的简洁美；（三）感受从具体到抽象、从特殊到一般的数学思维过程，逐步提升抽象概括能力；（四）在与伙伴交流中培养学生的合作意识，发展用数学语言交流的能力。 教学重点和难点分析 (一)教学重点：平方根的概念,性质及求法. (二)教学难点：用符号表示非负数的平方根教学方法  针对本节课的重点——平方根的概念,性质及求法，教学中试图向学生展示数学概念的形成过程，从而帮助学生更好的理解概念；通过判断、纠错进一步深化对概念的理解；通过互动游戏鼓励学生参与思考、讨论交流、探索发现规律,总结出平方根的性质；注重新旧知识的联系与类比,在新旧知识的联系中,发展学生的思维.渗透类比的思想方法。  针对本节课的难点——用符号表示非负数的平方根，教学中采取两个措施，一是循序渐进，从特殊到一般，逐步引导学生完成平方根概念、性质的文字语言与符号语言的转化；二是创设问题情境，不断激发学生的认知冲突，让学生在探索与交流的学习氛围中体会到抽象的数学符号简单而丰富的内涵特点,发展学生掌握和运用符号语言的能力。  教学过程教学环节师生活动设计意图  一: 整体 引入              二: 形成 概念                       三: 例题 讲解               四: 深化 概念                                           五: 能力 提升     六: 归纳 总结  问题1: 数学离不开运算.迄今为止,我们学过哪几种运算?它们之间有什么关系?学生: 学过加,减,乘,除,乘方运算,其中乘法是特殊加法的简便运算,乘方是特殊乘法的简便运算.减法是加法的逆运算,除法是乘法的逆运算。(教师演示运算之间的关系图) 问题2: 乘方有没有逆运算?答案是肯定的,乘方有逆运算.我们称其为”开方运算”.一起回忆乘方的知识. …….它们都能进行开方运算吗？结果有何不同?其中是否隐藏着奇妙的规律?从今天开始我们就来研究这些问题.我们选取最简单的乘方()为研究对象.看看乘方的逆运算。 问题3: 请同学们完成填空,并说明理由。（1）若, 则 x=____________;（2）若则 x=____________;（3）若 则 x=____________;学生阐释理由:  （1） --------平方运算            --------是4的平方根  （2）--------平方运算           --------是的平方根  （3） -------平方运算            --------是0的平方根 问题4：根据上面的习题，请尝试归纳出平方根的定义。一般的，如果一个数x的平方等于a,那么这个数x就叫做a的平方根。也就是，若，则x叫做a的平方根。求一个数的平方根的运算叫做开平方。开平方与加减乘除一样，是一种运算。开平方与平方互为逆运算。例1：求下列各数的平方根：（1）81  （2）  ( 3) 0.09解：因为，所以81的平方根是。   （2）（3）题略  小结： 求一个数的平方根，就要先回到平方运算，思考“哪些数的平方等于这个数”，因此开平方与平方互为逆运算。      例2：判断正误，并改正：（1）1的平方根是1 （  ）（2）-1是1的平方根（  ）（3）1是1的平方根 （  ）( 4 )  -1的平方根是-1（  ） 课堂小游戏：学生随机说出一个数，下一个学生说出这个数的平方根。（鼓励学生举出不同类型的完全平方数，如64，0.01，，还有开方开不尽的数） 问题5：游戏做的很开心。细心的你在游戏的过程中发现什么规律了吗?赶快把它写下来。并说明理由？正数有____个平方根，它们互为________.零的平方根是__________.负数___________.因为：（a0）所以 ：只有非负数才有平方根。 问题6：对于以上规律，你有疑问吗？老师有一个问题：我们刚才举的例子中的正数都是完全平方数，非完全平方数的正数有没有平方根？怎么表示呢？如2的平方根？下面介绍一个重要的符号： ※    若，则x叫做a的平方根。记作x=若a不是完全平方数，就放在根号里面。如：2的平方根记作，7的平方根记作若a是完全平方数，就开出来。如：81的平方根记作= 9回看例1，用符号语言完善解答：例1； 求下列各数的平方根：（1）81  （2）  ( 3) 0.09解：因为，所以81的平方根是。    记作   （2）因为，所以的平方根是。    记作    （3）因为，所以0.09的平方根是0.3。    记作  练习: 利用平方根解下列方程:(1)(2)(3) 问题7:今天学习了平方的逆运算----开平方.开平方运算与以往所学的五种运算有何不同？※    1结果不唯一，互为相反数;（易错点）※    2在有理数范围内，负数没有平方根；（ 生长点）※    3开方开不尽的数如的出现引发了数学史上第一次数学危机, 导致无理数产生,使数的范围扩充到实数范围。数的扩充到此为止吗？（ 生长点）※    4学会用数学的语言表达交流;（闪光点）  a的平方根                       从逆运算的角度引出开方运算,有利于学生整体理解数学知识    加法    乘法     乘方         互为逆运算   减法    除法     ？开方 选取最简单的乘方()为研究对象,渗透由简单到复杂,从特殊到一般的研究问题的方法。  从平方的概念入手,让学生经历知识的形成过程,更好的理解数学知识的意义——平方与开方互为逆运算,进而获得新的知识并建立新的知识体系.      鼓励学生归纳出平方根的定义，培养学生抽象概括的能力，渗透从特殊到一般的数学思想       学生开始只会用文字表达，教师可引导学生尝试给出字母表达 引导学生总结：根据平方-----开平方互为逆运算，我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根。引出例1，例2。教师示范板书 巩固定义，进一步体会开平方与平方互为逆运算的关系     判断，纠错，进一步深化对平方根概念的理解  出题人要考虑说出的数有没有平方根，不能说出负数，同时还要考虑这个数是否开方开得尽，如2的平方根。该游戏加深学生对平方根概念的理解，进而总结出平方根的性质，也为接下来的内容的引入作好铺垫。  引导学生使用符号语言    鼓励学生自己提出问题，培养勇于质疑的科学精神    上一节课对的认识，为本节课符号的出现做好了铺垫，降低了学生学习的难度。            教师指导学生的书写表达，关注两种语言的互化。        平方根概念的深化应用于解二次方程，培养学生综合应用知识解决问题的能力。     鼓励学生总结，交流，反思。 鼓励学生课后查阅资料，了解数的发展史，为后续学习埋下伏笔。学生活动的说明   回忆类比，整体理解-----抽象概括，形成概念-----纠错判断，深化概念----   互助游戏，得出性质-----符号语言，提升能力-----归纳总结，埋下伏笔教学设计的说明1．  关注概念的形成过程   对于平方根概念的得出首先与学生已有的旧知识建立联系，类比学习有利于学生整体理解数学知  识体系；其次从互为逆运算的角度展开教学，有利于学生抓住数学概念的本质。2．  关注数学语言的表达   让学生在探索与交流的学习氛围中体会到抽象的数学符号简单而丰富的内涵特点,发展学生掌握  和运用符号语言的能力。 3．  关注数学思想方法的渗透   渗透从特殊到一般的数学思想；培养学生归纳，类比的学习方法；提高学生抽象概括，综合应用   知识解决问题的能力。板书设计平方根的定义   文字：符号：    平方根的性质例1； 求下列各数的平方根：（1）81  （2）  ( 3) 0.09解：因为，所以81的平方根是。    记作  利用平方根解下列方程:  (1)  (2)  (3)