北师大版九年级上册7 相似三角形的性质学案设计

这是一份北师大版九年级上册7 相似三角形的性质学案设计，共4页。学案主要包含了知识点回顾，例题，训练题等内容，欢迎下载使用。
一、知识点回顾
1、相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
相似三角形周长的比等于相似比。
以上各条可以概括为：相似三角形的对应线段之比等于相似比。
（4）相似三角形面积之比等于相似比的平方。
二、例题：
例1、如图，在Rt△ABC内有三个内接正方形，DF=9cm，GK=6cm，求第三个正方形的边长PQ。
解： 设PQ=xcm，则PK=6－x。
∵GF=9-6=3cm
Rt△FGK ∽ Rt△KPQ
∴即：
∴x=4cm即：正方形的边长为4cm
例2、如图，在△ABC中，EF∥BC，且EF=BC=2cm，△AEF的周长为10cm，求梯形BCFE的周长。
解：∵EF∥BC
∴△AEF ∽ △ABC
∴（相似三角形的周长之比等于相似比）
∴△ABC的周长为15cm
∴梯形BCFE的周长=△ABC的周长－△AEF周长+2EF=9cm
例3、如图，△ABC被DE、FG分成面积相等的三部分，且DE∥FG∥BC。求DE：FG：BC。
解：∵DE∥FG
∴△ADE ∽ △AFG
∴（相似三角形的面积之比等于相似比的平方）。
∵S1=S2
∴即： 同理
∴DE：FG：BC=1：：
例4、如图，矩形FGHN内接于△ABC，F、G在BC上，N、H分别在AB、AC上，且AD⊥BC于D，交NH于E，AD=8cm，BC=24cm，NF：NH=1：2，求此矩形的面积。
解：∵NH∥BC
∴△ANH ∽ △ABC
又∵AD⊥BC，NH∥FG
∴AE⊥NH
∴（相似三角形的对应边上的高之比等于相似比）
设NF=x，则NH=2x，AE=AD－ED=8－x
∴ ∴x=4.8
∴S矩形FGHN=NF×NH=46.08
答：矩形的面积为46.08cm2
三、训练题：
【基础与巩固】
1.等腰三角形ABC的腰的长为12，底的长为10，等腰三角形A′B′C′的两边长分别为5和6，且△ABC∽△A′B′C′，则△A′B′C′的周长为（ ）．
（A）17 （B）16 （C）17或16 （D）34
2.两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积和为78cm2，那么较大的多边形面积为（ ）．
（A）46.8cm2 （B）42cm2 （C）52cm2 （D）54cm2
3.顺次连接三角形三边的中点，所成的三角形与原三角形的对应高的比是（ ）．
（A）1：4 （B）1：3 （C）1：2 （D）1：
4.已知△ABC∽△A′B′C′，且AB=2A′B′，如果△ABC的周长是26cm，那么△A′B′C′的周长是______cm；
5.把一个四边形放大成与其相似的四边形，如果边长扩大为原来的10倍，那么面积扩大为原来的________倍，如果面积扩大为原来的25倍，那么边长扩大为原来的_________倍；
6.要把一根1m长的铜丝截成两段，用它们围成两个相似三角形，且相似比为，那么截成的两段铜丝长度的差应是______m．
7.如果两个相似三角形对应高的比是1：2，那么它们的面积比是______；
8.如果两个相似三角形对应中线的比等于5：6，那么这两个相似三角形的相似比为_______；
9.如果两个相似三角形的周长分别为9cm和15cm，那么这两个相似三角形的对应角平分线的比为________；
10.若△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC、△A′B′C′的高，AD： A′D′=3：4，△A′B′C′的一条中线B′E′=16cm，则△ABC的中线 BE=_______cm．
11.在一张比例尺为1：5 000的地图上，一块多边形区域的周长是72cm，面积是320cm2，求这个区域的实际周长和面积．
12.已知△ABC的三边长分别为3，4，5，与它相似的△A′B′C′的最大边长为15，求△A′B′C′的面积．
13.如图，△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′分别是这两个三角形的高，EF、E′F′分别是这两个三角形的中位线． 相等吗？为什么？
14. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，以斜边BC上距点B3cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°成图中的△DEF位置，求旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是多少？
15. 如图，△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC、△A′B′C′的角平分线，BE、B′E′分别是△ABC、△A′B′C′的中线，AD、BE相交于点O，A′D′、B′E′相交于点O′．△AOE与△A′O′E′相似吗？为什么？
16. 如图，在矩形FGHN中，点F、G在边BC上，点N、H分别在边AB、AC上，且AD⊥BC，垂足为D，AD交NH于点E，AD=8cm，BC=24cm，NF：NH=1：2，求此矩形的面积．
17. 一块直角三角形木块的面积为1.5m2，直角边AB长1.5m，想要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲、乙两人的加工方法分别如图①、图②所示．你能用所学的知识说明谁的加工方法更符合要求吗？（加工损耗忽略不计）
【拓展与延伸】
1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD分成两部分面积的比是1：2，EF是中位线，则被EF分成的两部分面积之比为SAEFD：SBCFE=（ ）
A、3：4B、4：5C：5：7D、7：9
2、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若S△AOD:S△ACD=1：3，则S△AOD:S△BOC等于（ ） A、1：6B、1：3C、1：4D、1：
3、如图，DE∥BC，DE把△ABC的面积分成相等的两部分，那么DE：BC等于（ ）
A、1：2B、1：4C、2：D、：2
4、如图，将△ABC的高AD三等分，过每一个分点作底边的平行线，这样把三角形分成三部分，设这三部分的面积为S1，S2，S3，则S1：S2：S3=（ ）
A、1：2：3B、2：3：4C、1：3：5D、3：5：7
5、如图，在△ABC中，∠CBA=90°，BD⊥AC于D，则下面关系式中错误的是（ ）
A、AB2=AD×ACB、BD2=AD×DCC、AB2=AC2－BC2D、AB2=AC×DC
6、如图，在△ABC中，AD⊥BC，PQMN为正方形，且顶点在△ABC各边上，BC=60cm，AD=40cm，则正方形边长为（ ）
A、12cmB、16cmC、20cmD、24cm
7、如果两个相似三角形的对应边的比是4：5，周长的和为18cm，那么这两个三角形的周长分别为_______________。
8、△ABC中，BC=54cm，CA=45cm，AB=63cm，另一个与它相似的三角形的最短边为15cm，则周长为_______________。
9、在△ABC中，点D、E分别为AB、AC上的点，DE∥AC，AB：DB=2：1，F为AC上任一点，△DEF面积为2，则S△ABC=_________________。
10、如图，DE是△ABC的中位线，FH是梯形BCDE的中位线。DE：AE：AD=4：5：6。试比较△AFH的周长与梯形BCDE的周长的大小。
11、如图，D、E分别是AB、AC上的点，，△ABC的角平分线AH交DE于点F，过点F作BC的平行线，分别交AB、AC于点G、K。已知BC=20cm，求GK。
12、点M是Rt△ABC的斜边AB的中点，过M作MD⊥AB交AC于D，交BC的延长线于E。求证：MC是MD、ME的比例中项。