高中人教A版 (2019)3.2 函数的基本性质教案及反思

这是一份高中人教A版 (2019)3.2 函数的基本性质教案及反思，共14页。教案主要包含了学习目标，要点梳理，知识点讲解，题型讲解等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】
1.理解函数的奇偶性定义；
2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；
3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.
【要点梳理】
要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤
1．函数奇偶性的概念
偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数.
奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数.
要点诠释：
（1）奇偶性是整体性质；
（2）x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；
（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：，
f(-x)=-f(x)的等价形式为：；
（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；
（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0.
2.奇偶函数的图象与性质
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数.
3.用定义判断函数奇偶性的步骤
（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；
（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；
（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性.
若=-，则是奇函数；
若=，则是偶函数；
若，则既不是奇函数，也不是偶函数；
若且=-，则既是奇函数，又是偶函数
【知识点讲解】
知识点一 函数奇偶性的几何特征
思考 下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？
答案 ①②关于y轴对称，③④关于原点对称．
一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．
知识点二 函数奇偶性的定义
思考1 为什么不直接用图象关于y轴(原点)对称来定义函数的奇偶性？
答案 因为很多函数图象我们不知道，即使画出来，细微之处是否对称也难以精确判断．
思考2 利用点对称来刻画图象对称有什么好处？
答案 好处有两点：(1)等价：只要所有点均关于y轴(原点)对称，则图象关于y轴(原点)对称，反之亦然．
(2)可操作：要判断点是否关于y轴(原点)对称，只要代入解析式验证即可，不知道函数图象也能操作．
函数奇偶性的概念：
(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于y轴的对称点(－x，f(x))也在f(x)图象上．
(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于原点的对称点(－x，－f(x))也在f(x)图象上．
知识点三 奇(偶)函数的定义域特征
思考 如果一个函数f(x)的定义域是(－1,1]，那这个函数f(x)还具有奇偶性吗？
答案 由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x，其相反数－x必须也在定义域内，才能进一步判断f(－x)
与f(x)的关系．而本问题中，1∈(－1,1]，－1∉(－1,1]，f(－1)无定义，自然也谈不上是否与f(1)相等了．所以该函数既非奇函数，也非偶函数．
一般地，判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称．
【题型讲解】
类型一 如何证明函数的奇偶性
例1 (1)证明f(x)＝eq \f(x3－x2,x－1)既非奇函数又非偶函数；
(2)证明f(x)＝(x＋1)(x－1)是偶函数；
(3)证明f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1)既是奇函数又是偶函数；
(4)证明f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1，x<0，,1，x>0))是奇函数；
(5)已知f(x)的定义域为R，证明g(x)＝f(－x)＋f(x)是偶函数．
证明 (1)因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}，∴对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，故f(x)＝eq \f(x3－x2,x－1)既非奇函数又非偶函数．
(2)函数的定义域为R，因函数f(x)＝(x＋1)(x－1)＝x2－1，又因f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，所以函数为偶函数．
(3)定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x，都有f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)，故函数f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1)为偶函数．又f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1)为奇函数．即该函数既是奇函数又是偶函数．
(4)定义域为{x|x≠0}．
若x<0，则－x>0，∴f(－x)＝1，f(x)＝－1，
∴f(－x)＝－f(x)；
若x>0，则－x<0，∴f(－x)＝－1，f(x)＝1，
∴f(－x)＝－f(x)；
即对任意x≠0，都有f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(5)∵f(x)的定义域为R，
∴g(x)＝f(－x)＋f(x)的定义域也为R.
对于任意x∈R，都有g(－x)＝f[－(－x)]＋f(－x)＝f(－x) ＋f(x)＝g(x)，
∴g(x)是偶函数．
反思与感悟 利用定义法判断函数是不是偶函数时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量．
跟踪训练1 (1)证明f(x)＝(x－2) eq \r(\f(2＋x,2－x))既非奇函数又非偶函数；
(2)证明f(x)＝x|x|是奇函数；
(3)证明f(x)＝eq \r(a－x2)＋eq \r(x2－a)(a≥0)既是奇函数又是偶函数；
(4)证明f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2，x<0，,x2，x>0))是奇函数．
证明 (1)由eq \f(2＋x,2－x)≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数．
(2)函数的定义域为R，因f(－x)＝(－x)|－x|＝－x|x|＝－f(x)，所以函数为奇函数．
(3)定义域为{－eq \r(a)，eq \r(a)}，因为对定义域内的每一个x，都有f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)，故函数f(x)＝eq \r(a－x2)＋eq \r(x2－a)为偶函数．又f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)＝eq \r(a－x2)＋eq \r(x2－a)为奇函数．即该函数既是奇函数又是偶函数．
(4)定义域为{x|x≠0}．
若x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝x2，f(x)＝－x2，
∴f(－x)＝－f(x)；
若x>0，则－x<0，
∴f(－x)＝－(－x)2＝－x2，f(x)＝x2，
∴f(－x)＝－f(x)；
即对任意x≠0，都有f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
类型二 如何判断函数的奇偶性
例2 (1)f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，试判断y＝f(x)＋g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝f[g(x)]的奇偶性；
(2)判断f(x)＝x3＋3x的奇偶性；
(3)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是奇函数，求实数b，d的值．
解 (1)∵f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＋g(－x)＝－f(x)－g(x)＝－[f(x)＋g(x)]，y＝f(x)＋g(x)是奇函数．
f(－x)g(－x)＝[－f(x)][－g(x)]＝f(x)g(x)，y＝f(x)g(x)是偶函数．
f[g(－x)]＝f[－g(x)]＝－f[g(x)]，y＝f[g(x)]是奇函数．
(2)∵y＝x3，y＝3x都是奇函数，由(1)知f(x)＝x3＋3x是奇函数．
(3)由(1)知当b＝d＝0时，f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是奇函数．
反思与感悟 判断函数单调性要比证明灵活得多，可以借助图象，也可借助已知奇偶性的函数，在此基础上判断其和、差、积、商复合的奇偶性．
跟踪训练2 (1)f(x)，g(x)定义在R上，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，试判断y＝f(x)g(x)，y＝f[g(x)]的奇偶性；
(2)判断f(x)＝eq \f(x2＋1,x)的奇偶性；
(3)已知f(x)，g(x)均为奇函数，且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5(ab≠0)，求F(x)在(－∞，0)上的最小值．
解 (1)∵f(x)，g(x)定义在R上，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)，y＝f(x)g(x)是奇函数．
f[g(－x)]＝f[g(x)]，y＝f[g(x)]是偶函数．
(2)∵y＝x2＋1是偶函数，y＝x是奇函数，由(1)知f(x)＝eq \f(x2＋1,x)是奇函数．
(3)∵f(x)，g(x)均为奇函数，
∴y＝af(x)＋bg(x)是奇函数．
设x<0，则－x>0.
由F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5(ab≠0)，
∴F(－x)＝af(－x)＋bg(－x)＋2≤5，
∴af(－x)＋bg(－x)≤3，
∴af(x)＋bg(x)≥－3，
∴af(x)＋bg(x)＋2≥－3＋2＝－1.
即F(x)在(－∞，0)上的最小值为－1.
类型三 奇(偶)函数图象的对称性的应用
例3 定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．
(1)画出f(x)的图象；
(2)解不等式xf(x)>0.
解 (1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如下图，
(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．
反思与感悟 鉴于奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称，可以用这一特性去画图、求值，求解析式，研究单调性．
跟踪训练3 已知f(x)＝eq \f(x,x2＋1)在[0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上递减．试画出f(x)的图象，并指出其单调区间．
解 显然当x>0时，f(x)>0.
又y＝x2＋1为偶函数，y＝x为奇函数，
∴f(x)＝eq \f(x,x2＋1)为奇函数，其图象关于原点对称．
由此得f(x)＝eq \f(x,x2＋1)的图象如下．
由图可知f(x)＝eq \f(x,x2＋1)的增区间是[－1,1]，减区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)．
1．函数f(x)＝0(x∈R)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
答案 D
2．函数f(x)＝eq \f(1,x)的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
答案 A
3．函数f(x)＝x(－1A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
答案 C
4．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 B
5．下列说法错误的个数是( )
①图象关于原点对称的函数是奇函数；
②图象关于y轴对称的函数是偶函数；
③奇函数的图象一定过原点；
④偶函数的图象一定与y轴相交；
⑤既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)．
A．4 B．3 C．2 D．0
答案 B
1．两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数．
2．两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称．
3．证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)．而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了．
一、选择题
1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )
A．y＝－x2＋5(x∈R)
B．y＝－x
C．y＝x3(x∈R)
D．y＝－eq \f(1,x)(x∈R，x≠0)
答案 C
解析 函数y＝－x2＋5(x∈R)既有增区间又有减区间；y＝－x是减函数；y＝－eq \f(1,x)(x∈R，x≠0)不是定义域内的增函数；只有y＝x3(x∈R)满足条件．
2．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
答案 A
解析 ∵f(x)是奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，
∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.
3．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数
B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数
D．|f(x)|－g(x)是奇函数
答案 A
解析 由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，
由g(x)是奇函数可得g(－x)＝－g(x)，
故|g(x)|为偶函数，∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．
4．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
答案 B
解析 依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，
∴a＝eq \f(1,3)，则a＋b＝eq \f(1,3).
5．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是( )
A．f(－x)＋f(x)＝0
B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)
C．f(x)·f(－x)≤0
D.eq \f(fx,f－x)＝－1
答案 D
解析 ∵f(－x)＝－f(x)，A、B显然正确，
因为f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故C正确．
当x＝0时，由题意知f(0)＝0，故D错误．
6．给出函数f(x)＝|x3＋1|＋|x3－1|，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)的图象上的是( )
A．(a，－f(a)) B．(a，f(－a))
C．(－a，－f(a)) D．(－a，－f(－a))
答案 B
解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(－a)＝f(a)，
∴(a，f(－a))一定在y＝f(x)的图象上，∴选B.
二、填空题
7．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________．
答案 0
解析 由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.
8．偶函数f(x)的定义域为[t－4，t]，则t＝________.
答案 2
解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以(t－4)＋t＝0，即t＝2.
9．已知函数f(x)＝eq \f(x2＋x＋1,x2＋1)，若f(a)＝eq \f(2,3)，则f(－a)＝____.
答案 eq \f(4,3)
解析 根据题意，f(x)＝eq \f(x2＋x＋1,x2＋1)＝1＋eq \f(x,x2＋1)，而h(x)＝eq \f(x,x2＋1)是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－eq \f(2,3)＝eq \f(4,3).
10．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1－x，x<0，,x1＋x，x>0))为________(填“奇函数”或“偶函数”)．
答案 奇函数
解析 定义域关于原点对称，且
f(－x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x1＋x，－x<0，,－x1－x，－x>0))
＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x1＋x，x>0，,－x1－x，x<0))＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
三、解答题
11．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5；
(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3)f(x)＝eq \f(2x2＋2x,x＋1).
解 (1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
12．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，求实数a的值．
解 ∵函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
即(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|，
∴|－x＋a|＝|x＋a|，即|x－a|＝|x＋a|，
∴a＝0.
13．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x，x>0，,0，x＝0，,x2＋mx，x<0))是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解 (1)因为f(x)为奇函数，
所以f(－1)＝－f(1)，即1－m＝－(－1＋2)，
解得m＝2.
经检验m＝2时函数f(x)是奇函数．
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2>－1，,a－2≤1，))
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．