人教版九年级上册22.1.1 二次函数达标测试

这是一份人教版九年级上册22.1.1 二次函数达标测试，共18页。试卷主要包含了已知函数y＝，已知一个二次函数图象经过P1，如图，将函数y＝，二次函数y＝ax2+bx+c等内容，欢迎下载使用。
人教版2021年九年级数学上册第22章《二次函数》培优训练卷
一．选择题
1．二次函数y＝x2+2x+2的图象是一条抛物线，则下列说法不正确的是（　　）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的顶点坐标是（1，1）
C．抛物线与x轴没有交点
D．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大
2．将二次函数y＝x2﹣2x﹣2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2﹣2 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x﹣2）2﹣3
3．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3
4．已知m＞0，关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（　　）
A．x1＜﹣1＜2＜x2 B．﹣1＜x1＜2＜x2 C．﹣1＜x1＜x2＜2 D．x1＜﹣1＜x2＜2
5．已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（　　）
A．y3最小，y1最大 B．y3最小，y4最大
C．y1最小，y4最大 D．无法确定
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣2x2+mx+n与x轴交于A，B两点．若顶点C到x轴的距离为8，则线段AB的长度为（　　）

A．2 B． C． D．4
7．如图，将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（　　）

A． B．
C． D．
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0②b＜c③3a+c＝0④当y＞0时，﹣1＜x＜3其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．对于函数y＝x2﹣2|x|﹣3，下列说法正确的有（　　）个
①图象关于y轴对称；②有最小值﹣4；③当方程x2﹣2|x|﹣3＝m有两个不相等的实数根时，m＞﹣3；④直线y＝x+b与y＝x2﹣2|x|﹣3的图象有三个交点时，﹣＜b≤﹣3．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题
11．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为　 　．
12．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是　 　．（请用“＞”连接排序）

13．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解是　 　．
14．九年级数学课本上，小丽用“描点法”画二次函数：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣2
﹣5
﹣6
﹣5
4
…
y＝ax2+bx+c的图象时．列了表格：由于粗心，小丽算错了其中的一个y值，请你指出这个错算的y值所对
应的x＝　 　．
15．如图，抛物线y＝ax2+c的顶点为B，A、C两点在该抛物线上，O为坐标原点，四边形ABCO为正方形，则ac＝　 　．

16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；
③3a+c＞0；
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；
⑤当x＜0时，y随x增大而增大；
其中结论正确有　 　．

三．解答题
17．已知抛物线y＝x2﹣mx+2m﹣1过定点H．
（1）求出H的坐标．
（2）若抛物线经过点A（0，1），求证：该抛物线恒在直线y＝﹣2x﹣1上方．


18．篮球运动员投篮后，球运动的路线为抛物线的一部分（如图），抛物线的对称轴为直线x＝2.5．
（1）求篮球运动路线的抛物线表达式和篮球在运动中离地面的最大高度．
（2）若篮筐离地面3.05m，离运动员投篮处水平距离为4.2m，问：篮球以该运动方式，能否投进篮筐？若能投进篮筐，请说明理由；若不能，则运动员应向前还是往后移动多少米后再投篮，刚好能使篮球投进篮筐？



19．已知函数y＝（m+2）x2+kx+n．
（1）若此函数为一次函数；
①m，k，n的取值范围；
②当﹣2≤x≤1时，0≤y≤3，求此函数关系式；
③当﹣2≤x≤3时，求此函数的最大值和最小值（用含k，n的代数式表示）；
（2）若m＝﹣1，n＝2，当﹣2≤x≤2时，此函数有最小值﹣4，求实数k的值．


20．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2＝0．
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）当抛物线y＝kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；
（3）已知抛物线y＝kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．


21．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2﹣（2m+1）x+m﹣5的图象与x轴有两个公共点．
（1）求m的取值范围；
（2）若m取满足条件的最小的整数，
①写出这个二次函数的解析式；
②当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣6≤y≤4﹣n，求n的值；
③将此二次函数平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．


22．某商店在销售一种产品的过程中发现：销售这种产品的成本Q（单位：元）与销售件数y（单位：件）成正比例，同时每天的销售件数y与销售价格x（单位：元/件）之间满足一次函数关系．下表记录了该商店某4天销售这种产品的一些数据．
销售价格x（单位：元/件）
10
15
18
20
销售件数y（单位：件）
30
25
22
20
成本Q（单位：元）
360
300
264
240
（1）求y与x之间的函数关系式：
（2）若一天的销售利润W＝xy﹣Q，当销售价格x为多少时，W最大？最大值是多少？
（3）该店以每件返现m元的办法促销，物价部门规定该商品售价不得超过25元/件，发现在销售规律不变的情况下，若一天获得的最大利润180元，求m的值．


23．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且B点的坐标为（3，0），经过A点的直线交抛物线于点D（2，3）．
（1）求抛物线的解析式和直线AD的解析式；
（2）过x轴上的点E（a，0）作直线EF∥AD，交抛物线于点F，是否存在实数a，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由．


















参考答案
一．选择题
1．解：∵二次函数y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，
∴该抛物线的开口向上，故选项A正确；
抛物线的顶点坐标是（﹣1，1），故选项B错误；
当y＝0时，0＝x2+2x+2，此时△＝22﹣4×1×2＝﹣4＜0，故该抛物线与x轴没有交点，故选项C正确；
当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，故选项D正确；
故选：B．
2．解：y＝x2﹣2x﹣2＝x2﹣2x+1﹣3＝（x﹣1）2﹣3，
所以，y＝（x﹣1）2﹣3．
故选：B．
3．解：①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1＝0，
△＝b2﹣4ac＝22﹣4（k﹣3）×1＝﹣4k+16≥0，
k≤4；
②当k﹣3＝0时，y＝2x+1，与x轴有交点．
故选：B．
4．解：二次函数y＝（x+1）（x﹣2）的图象如图所示：
它与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（2，0），
关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2，可以看作是直线y＝m（m＞0）与二次函数y＝（x+1）（x﹣2）交点的横坐标，
由图象可知x1＜﹣1，x2＞2；
∴x1＜﹣1＜2＜x2，
故选：A．

5．解：∵二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，且y3＜y2＜y4，
∴抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，
∴P1（﹣3，y1）离对称轴的距离最大，P3（1，y3）离对称轴距离最小，
∴y3最小，y1最大，
故选：A．
6．解：设抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣h）2+8，
当y＝0时，﹣2（x﹣h）2+8＝0，解得x1＝h﹣2，x2＝h+2，
所以A（h﹣2，0），B（h+2，0），
所以AB＝h+2﹣（h﹣2）＝4．
故选：D．
7．解：∵函数y＝（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），
∴m＝（1﹣2）2+1＝1，n＝（4﹣2）2+1＝3，
∴A（1，1），B（4，3），
过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），
∴AC＝4﹣1＝3，
∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），
∴AC•AA′＝3AA′＝9，
∴AA′＝3，
即将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，
∴新图象的函数表达式是y＝（x﹣2）2+4．
故选：D．

8．解：①对称轴位于x轴的右侧，则a，b异号，即ab＜0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．
∴abc＜0．
故①正确；
②∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a．
∵x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
而b＝﹣2a，
∴c＝﹣3a，
∴b﹣c＝﹣2a+3a＝a＜0，
即b＜c，
故②正确；
③∵x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
而b＝﹣2a，
∴c＝﹣3a，
∴3a+c＝0．
故③正确；
④由抛物线的对称性质得到：抛物线与x轴的另一交点坐标是（3，0）．
∴当y＞0时，﹣1＜x＜3
故④正确．
综上所述，正确的结论有4个．
故选：D．

9．解：①∵a2﹣2|a|﹣3＝（﹣a）2﹣2|﹣a|﹣3，
∴y＝x2﹣2|x|﹣3的图象关于y轴对称，
故①正确；
②∵y＝x2﹣2|x|﹣3＝（|x|﹣1）2﹣4，
∴当|x|＝1即x＝±1时，y有最小值为﹣4，
故②正确；
③当m＝﹣4时，方程x2﹣2|x|﹣3＝m为x2﹣2|x|﹣3＝﹣4，可化为（|x|﹣1）2＝0，解得x＝±1，有两个不相等的实数根，此时m＝﹣4＜﹣3，
故③错误；
④∵直线y＝x+b与y＝x2﹣2|x|﹣3的图象有三个交点，
∴方程x2﹣2|x|﹣3＝x+b，即x2﹣2|x|﹣x﹣3﹣b＝0有3个解，
∴方程x2﹣3x﹣3﹣b＝0（x≥0）与方程x2+x﹣3﹣b＝0（x＜0）一共有3个解，
∴当方程x2﹣3x﹣3﹣b＝0（x≥0）有两个不相等的非负数根，则方程x2+x﹣3﹣b＝0（x＜0）有两个相等的负数根；或当方程x2﹣3x﹣3﹣b＝0（x≥0）有两个不相等的非负数根，则方程x2+x﹣3﹣b＝0（x＜0）有一个负数根；或方程x2﹣3x﹣3﹣b＝0（x≥0）有一个非负数根或两个相等的非负数根，则方程x2+x﹣3﹣b＝0（x＜0）有两个不相等的负数根．
即或或，
解得，b＝﹣，或b＝﹣3，
∴当b＝﹣或b＝﹣3时，直线y＝x+b与y＝x2﹣2|x|﹣3的图象有三个交点，
故④错误；
故选：B．
10．解：（1）正确．∵﹣＝2，
∴4a+b＝0．故正确．
（2）错误．∵x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，
∴9a+c＜3b，故（2）错误．
（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），
∴解得，
∴8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a，
∵a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，故（3）正确．
（4）错误，∵点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3），
∵﹣2＝，2﹣（﹣）＝，
∴＜
∴点C离对称轴的距离近，
∴y3＞y2，
∵a＜0，﹣3＜﹣＜2，
∴y1＜y2
∴y1＜y2＜y3，故（4）错误．
（5）正确．∵a＜0，
∴（x+1）（x﹣5）＝﹣3/a＞0，
即（x+1）（x﹣5）＞0，
故x＜﹣1或x＞5，故（5）正确．
∴正确的有三个，
故选：B．

二．填空题
11．解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，
解得：x1＝0，x2＝2．
∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，
∴a＝2或a+1＝0，
∴a＝2或a＝﹣1，
故答案是：2或﹣1．
12．解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，
③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，
故a1＞a2＞a3＞a4．
故答案为：a1＞a2＞a3＞a4
13．解：关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx变形为a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，
因为抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0），
所以方程ax2+bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝4，
对于方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，则x﹣1＝﹣3或x﹣1＝4，解得x＝﹣2或x＝5，
所以一元二方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝5．
故答案为x1＝﹣2，x2＝5．
14．解：从表格可以看出，当x＝﹣2或x＝0时，y＝﹣5，
可以判断（﹣2，﹣5），（0，﹣5）是抛物线上的两个对称点，（﹣1，﹣6）就是顶点，
设抛物线顶点式y＝a（x+1）2﹣6，
把（0，﹣5）代入解析式，﹣5＝a﹣6，
解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣6，
当x＝﹣3时，y＝（﹣3+1）2﹣6＝﹣2，
当x＝1时，y＝（1+1）2﹣6＝﹣2≠4，
∴这个错算的y值所对应的x＝1．
故答案为1．
15．解：∵抛物线y＝ax2+c的顶点B点坐标为（0，c），四边形ABCO是正方形，
∴∠COB＝45°，CO＝BC，
∴△COB是等腰直角三角形，
∴C点横纵坐标绝对值相等，且等于BO长度一半，
∴C点坐标为（﹣，），
将点C代入抛物线方程中得ac＝﹣2．
故答案为：﹣2．
16．解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以②正确；
∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．
故答案为①②⑤．
三．解答题
17．解：（1）∵y＝x2﹣mx+2m﹣1
＝x2﹣4﹣m（x﹣2）+3
＝（x+2）（x﹣2）﹣m（x﹣2）+3
＝（x﹣2）（x+2﹣m）+3，
∴抛物线y＝x2﹣mx+2m﹣1必过定点（2，3），
故H的坐标为（2，3）；
（2）证明：∵抛物线经过点A（0，1），
∴2m﹣1＝1，解得m＝1，
∴抛物线y＝x2﹣x+1，
设y1＝x2﹣x+1，y2＝﹣2x﹣1，
则y1﹣y2＝（x2﹣x+1）﹣（﹣2x﹣1）＝x2+x+2＝（x+）2+＞0，
∴y1＞y2，
∴该抛物线恒在直线y＝﹣2x﹣1上方．
18．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2.5）2+h，
将（0，2.25）和（3.5，3.3）代入，得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5，（0≤x≤3.5）；
（2）不能，
∵篮筐离地面3.05m，
∴3.05＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5，
解得：x1＝1，x2＝4，
∴运动员应向前移动4.2﹣1＝3.2（m）或4.2﹣4＝0.2（m），
19．解：（1）①m＝﹣2，k≠0，n为任意实数；
②当k＞0时，y随x的增大而增大，直线经过（﹣2，0）（1，3），函数关系式为：y＝x+2
当k＜0时，y随x的增大而减小，直线经过（﹣2，3）（1，0），函数关系式为：y＝﹣x+1
③当k＞0时，x＝﹣2，y有最小值为﹣2k+n
x＝3时，y有最大值为3k+n
当k＜0时，x＝﹣2，y有最大值为﹣2k+n
x＝3时，y有最小值为3k+n
（2）若m＝﹣1，n＝2时，二次函数为y＝x2+kx+2
对称轴为x＝﹣，
当﹣≤﹣2，即k≥4时，把x＝﹣2，y＝﹣4代入关系式得：k＝5
当﹣2＜﹣＜2，即﹣4＜k＜4时，把x＝﹣，y＝﹣4代入关系式得：k＝±2（不合题意）
当﹣≥2，即k≤﹣4时，把x＝2，y＝﹣4代入关系式得：k＝﹣5．
所以实数k的值为±5．
20．（1）证明：①当k＝0时，方程为x+2＝0，所以x＝﹣2，方程有实数根，
②当k≠0时，∵△＝（2k+1）2﹣4k×2＝（2k﹣1）2≥0，即△≥0，
∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；

（2）解：令y＝0，则kx2+（2k+1）x+2＝0，
解关于x的一元二次方程，得x1＝﹣2，x2＝﹣，
∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，
∴k＝1．
∴该抛物线解析式为y＝x2+3x+2，

由图象得到：当y1＞y2时，a＞1或a＜﹣4．
（3）依题意得kx2+（2k+1）x+2﹣y＝0恒成立，即k（x2+2x）+x﹣y+2＝0恒成立，
则，
解得或．
所以该抛物线恒过定点（0，2）、（﹣2，0）．
21．解：（1）∵二次函数y＝mx2﹣（2m+1）x+m﹣5的图象与x轴有两个公共点，
∴关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣5＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：m＞﹣且m≠0．
（2）①∵m＞﹣且m≠0，m取其内的最小整数，
∴m＝1，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x﹣4．
②∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝，1＞0，
∴当x≤时，y随x的增大而减小．
又∵n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣6≤y≤4﹣n，
∴，解得：n＝﹣2．
③根据平移的性质可知，a＝1，
∵当x＜2时，y随x的增大而减小，
∴h≥2．
∵平移后的图象经过原点O，
∴0＝（0﹣h）2+k，即k＝﹣h2，
∴k≤﹣4．
22．解：（1）设y＝kx+b（k≠0），将点（10，30），（15，25）
代入得：，
解得：，
∴y＝﹣x+40；
（2）设Q＝ny（n≠0），
将点（30，360）代入得360＝30n，
∴n＝12，
∴Q＝12y，
∴Q＝12（﹣x+40）＝﹣12x+480，
∴W＝x（﹣x+40）﹣（﹣12x+480）＝﹣x2+52x﹣480＝﹣（x﹣26）2+196，
∴当x＝26时，W有最大值，最大值是196．
答：当销售价格26元时，W最大，最大值是196元；
（3）由题意得：
W＝xy﹣Q﹣my
＝﹣x2+52x﹣480﹣m（﹣x+40）
＝﹣x2+（52+m）x﹣480﹣40m，
∵对称轴为直线x＝﹣＝＝26+＞26，且在x＝26+时，W取最大值，
∵x≤25，抛物线开口向下，
∴在x＝25时，W最大，
∴﹣x2+（52+m）x﹣480﹣40m＝180，
整理得：195﹣15m＝180，
∴m＝1．
答：m的值是1．
23．解：（1）把点B和D的坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx+c得：，
解得：b＝2，c＝3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得：x＝3，或x＝﹣1，
∵B（3，0），
∴A（﹣1，0）；
设直线AD的解析式为y＝kx+a，
把A和D的坐标代入得：，
解得：k＝1，a＝1，
∴直线AD的解析式为y＝x+1；
（2）分两种情况：如图所示：
①当a＜﹣1时，DF∥AE且DF＝AE，
则F点即为（0，3），
∵AE＝﹣1﹣a＝2，
∴a＝﹣3；
②当a＞﹣1时，显然F应在x轴下方，EF∥AD且EF＝AD，
设F （a﹣3，﹣3），
由﹣（a﹣3）2+2（a﹣3）+3＝﹣3，
解得：a＝4±；
综上所述，满足条件的a的值为﹣3或4±．