课时过关检测（二十二） 三角函数的图象与性质

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1．下列函数中，周期为2π的奇函数为( )
A．y＝sineq \f(x,2)cseq \f(x,2) B．y＝sin2x
C．y＝tan 2xD．y＝sin 2x＋cs 2x
解析：选A y＝sin2x为偶函数；y＝tan 2x的周期为eq \f(π,2)；y＝sin 2x＋cs 2x为非奇非偶函数，故B、C、D都不正确，故选A．
2．(2021·辽宁辽河模拟)已知函数f(x)＝2cs 4x＋1，则下列判断错误的是( )
A．f(x)为偶函数
B．f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,4)对称
C．f(x)的值域为[－1,3]
D．f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，0))对称
解析：选D ∵f(－x)＝1＋2cs 4x＝f(x)，∴f(x)为偶函数，A判断正确；令4x＝kπ(k∈Z)，得x＝eq \f(kπ,4)(k∈Z)，当k＝1时，x＝eq \f(π,4)，则f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,4)对称，B判断正确；∵2cs 4x∈[－2,2]，∴f(x)的值域为[－1,3]，C判断正确；f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，1))对称，D判断错误．故选D.
3．已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋\f(π,3)))，则f(x)在[－1,1]上的单调递增区间为( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,3))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,3)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，1))D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))
解析：选B 令2kπ－eq \f(π,2)≤eq \f(π,2)x＋eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4k－\f(5,3)，4k＋\f(1,3)))，k∈Z，又x∈[－1,1]，所以f(x)在[－1,1]上的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,3))).
4．若函数f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上的最大值为1，则ω＝( )
A．eq \f(1,4)B．eq \f(1,3)
C．eq \f(1,2)D．eq \f(\r(3),2)
解析：选C 因为0<ω<1,0≤x≤eq \f(π,3)，所以0≤ωx5．(多选)(2021·郑州市高三联考)以下函数在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上为单调递增函数的有( )
A．y＝sin x＋cs xB．y＝sin x－cs x
C．y＝sin xcs xD．y＝eq \f(sin x,cs x)
解析：选BD 对于A选项，y＝sin x＋cs x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，x＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))，
所以，函数y＝sin x＋cs x在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上不单调；对于B选项，y＝sin x－cs x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，x－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，所以，函数y＝sin x－cs x在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增；对于C选项，y＝sin xcs x＝eq \f(1,2)sin 2x，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，2x∈(0，π)，所以，函数y＝sin xcs x在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上不单调；对于D选项，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，y＝eq \f(sin x,cs x)＝tan x，所以，函数y＝eq \f(sin x,cs x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增．故选B、D.
6．(多选)若函数f(x)＝cs x＋|cs x|，x∈R，则函数f(x)( )
A．最小正周期为π
B．是区间[0,1]上的减函数
C．图象关于点(kπ，0)(k∈Z)对称
D．是周期函数且图象有无数条对称轴
解析：选BD f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2cs x，－\f(π,2)＋2kπ ≤x ≤\f(π,2)＋2kπ，,0，\f(π,2)＋2kπ ≤x ≤\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)，对应图象如图．由图象知函数f(x)的最小正周期为2π，故A错误；函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上为减函数，故B正确；函数f(x)的图象关于直线x＝2kπ(k∈Z)对称，故C错误；函数f(x)的图象有无数条对称轴，且周期是2π，故D正确．故选B、D.

7．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,3)))的图象的对称中心是 ．
解析：由eq \f(x,2)＋eq \f(π,3)＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)，得x＝kπ－eq \f(2π,3)(k∈Z)，即其对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(2π,3)，0))，k∈Z.
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(2π,3)，0))，k∈Z
8．(2021·扬州中学高三模拟)已知f(x)＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x＋1))－eq \r(3)cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x＋1))，则f(x)的最小正周期为 ，f(1)＋f(2)＋…＋f(2 020)＝ .
解析：依题意可得f(x)＝2sin eq \f(π,3)x，其最小正周期T＝6，且f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0，故f(1)＋f(2)＋…＋f(2 020)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝eq \r(3).
答案：6 eq \r(3)
9．已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为直线x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f(x)的最小正周期为 ．
解析：由函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为直线x＝π，可得ωπ－eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
∴ω＝k＋eq \f(2,3)，又ω∈(1,2)，∴ω＝eq \f(5,3)，
∴函数f(x)的最小正周期为eq \f(2π,\f(5,3))＝eq \f(6π,5).
答案：eq \f(6π,5)
10．(2021·河北省中原名校联盟联考)若函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,10)))－2在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，a))上单调递减，则实数a的最大值是 ．
解析：法一：令2kπ＋eq \f(π,2)≤x＋eq \f(π,10)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，即2kπ＋eq \f(2π,5)≤x≤2kπ＋eq \f(7π,5)，k∈Z，所以函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2π,5)，\f(7π,5)))上单调递减，所以a的最大值为eq \f(7π,5).
法二：因为eq \f(π,2)≤x≤a，所以eq \f(π,2)＋eq \f(π,10)≤x＋eq \f(π,10)≤a＋eq \f(π,10)，而f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，a))上单调递减，所以a＋eq \f(π,10)≤eq \f(3π,2)，即a≤eq \f(7π,5)，所以a的最大值为eq \f(7π,5).
答案：eq \f(7π,5)
11．已知函数f(x)＝sin ωx－cs ωx(ω＞0)的最小正周期为π.
(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；
(2)讨论函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的单调性．
解：(1)∵f(x)＝sin ωx－cs ωx＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,4)))，且T＝π，∴ω＝2.于是，f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))).令2x－eq \f(π,4)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(3π,8)(k∈Z)，即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(3π,8)(k∈Z)．
(2)令2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,8)，kπ＋\f(3π,8)))(k∈Z)．注意到x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以令k＝0，得函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,8)))；同理，其单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)，\f(π,2))).
12．(2021·山东泰安模拟)在①函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))为奇函数；②当x＝eq \f(π,3)时，f(x)＝eq \r(3)；③eq \f(2π,3)是函数f(x)的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，0<φ<\f(π,2)))，f(x)的图象相邻两条对称轴间的距离为π， .
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：∵函数f(x)的图象相邻对称轴间的距离为π，∴T＝eq \f(2π,ω)＝2π，∴ω＝1，∴f(x)＝2sin(x＋φ)．
选条件①.
∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋φ－\f(π,3)))为奇函数，
∴φ－eq \f(π,3)＝kπ，k∈Z，解得φ＝eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z.
(1)∵0<φ(2)由－eq \f(π,2)＋2kπ≤x＋eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
得－eq \f(5,6)π＋2kπ≤x≤eq \f(π,6)＋2kπ，k∈Z，
∴令k＝0，得－eq \f(5π,6)≤x≤eq \f(π,6)，令k＝1，得eq \f(7π,6)≤x≤eq \f(13π,6)，∴函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7,6)π，2π)).
选条件②.
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋φ))＝eq \r(3)，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋φ))＝eq \f(\r(3),2)，
∴φ＝2kπ，k∈Z或φ＝eq \f(π,3)＋2kπ，k∈Z，
(1)∵0<φ(2)由－eq \f(π,2)＋2kπ≤x＋eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
得－eq \f(5,6)π＋2kπ≤x≤eq \f(π,6)＋2kπ，k∈Z，
∴令k＝0，得－eq \f(5π,6)≤x≤eq \f(π,6)，令k＝1，得eq \f(7π,6)≤x≤eq \f(13π,6)，
∴函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7,6)π，2π)).
选条件③.∵eq \f(2,3)π是函数f(x)的一个零点，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)π))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)π＋φ))＝0，∴φ＝kπ－eq \f(2π,3)，k∈Z.
(1)∵0<φ(2)由－eq \f(π,2)＋2kπ≤x＋eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
得－eq \f(5,6)π＋2kπ≤x≤eq \f(π,6)＋2kπ，k∈Z，
∴令k＝0，得－eq \f(5π,6)≤x≤eq \f(π,6)，令k＝1，得eq \f(7π,6)≤x≤eq \f(13π,6)，
∴函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7,6)π，2π)).
B级——综合应用
13．(多选)(2021·全国统一考试模拟演练)设函数f(x)＝eq \f(cs 2x,2＋sin xcs x)，则( )
A．f(x)＝f(x＋π)
B．f(x)的最大值为eq \f(1,2)
C．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0))单调递增
D．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))单调递减
解析：选AD f(x＋π)＝eq \f(cs 2x＋π,2＋sinx＋πcsx＋π)＝eq \f(cs 2x,2＋sin xcs x)＝f(x)，故A正确；
∵f(x)＝eq \f(cs 2x,2＋sin xcs x)＝eq \f(2cs 2x,4＋sin 2x)，
∴f′(x)＝eq \f(2cs 2x′4＋sin 2x－2cs 2x4＋sin 2x′,4＋sin 2x2)
＝eq \f(－41＋4sin 2x,4＋sin 2x2)，令f′(x)＝0，解得sin 2x＝－eq \f(1,4)，cs 2x＝±eq \f(\r(15),4).
所以f(x)max＝eq \f(2,\r(15))＞eq \f(1,2)，故B错误；
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0))时，2x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，
此时－4sin 2x－1∈(－1,3)，
∴f′(x)有正有负，f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0))上不单调，故C错误；
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))时，2x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，此时－4sin 2x－1∈(－5，－1)，f′(x)＜0恒成立，f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))单调递减，故D正确．
14．(2021·石家庄市质量检测)已知函数f(x)＝sin ωx＋eq \r(3)cs ωx(ω>0)，x1，x2为函数图象与x轴的两个交点的横坐标，若|x1－x2|的最小值为eq \f(π,2)，则( )
A．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,6)，\f(π,6)))上单调递增
B．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)，\f(π,3)))上单调递减
C．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,12)，\f(π,12)))上单调递增
D．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上单调递减
解析：选C 因为f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))，且|x1－x2|的最小值为eq \f(π,2)，所以f(x)的最小正周期为π，即eq \f(2π,ω)＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，所以f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,12)，\f(π,12)))上单调递增，故选C．
15．已知函数f(x)＝sin 2x－eq \r(3)cs 2x，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))对称，且t∈(0，π)，求t的值；
(3)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))时，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝sin 2x－eq \r(3)cs 2x
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin 2x－\f(\r(3),2)cs 2x))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，故f(x)的最小正周期为T＝eq \f(2π,2)＝π.(2)由(1)知h(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋2t－\f(π,3))).
令2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＋2t－eq \f(π,3)＝kπ(k∈Z)，
得t＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,3)(k∈Z)，又t∈(0，π)，故t＝eq \f(π,3)或t＝eq \f(5π,6).(3)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))时，2x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，
所以f(x)∈[1,2]．又|f(x)－m|<3，即f(x)－3C级——迁移创新
16．(2021·全国卷联考节选)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中A＞0，ω＞0，|φ|≤\f(π,2)))的图象离原点最近的对称轴为直线x＝x0，若满足|x0|≤eq \f(π,6)，则称f(x)为“近轴函数”．若函数y＝2sin(2x－φ)是“近轴函数”，求φ的取值范围．
解：函数y＝2sin 2x的图象离原点最近的对称轴是直线x＝±eq \f(π,4)，函数y＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(φ,2)))))满足|x0|≤eq \f(π,6)，当φ＞0时，eq \f(π,4)－eq \f(π,6)≤eq \f(φ,2)≤eq \f(π,4)＋eq \f(π,6)，
即eq \f(π,6)≤φ≤eq \f(5π,6)，又|φ|≤eq \f(π,2)，∴eq \f(π,6)≤φ≤eq \f(π,2)；
当φ＜0时，－eq \f(π,6)－eq \f(π,4)≤eq \f(φ,2)≤eq \f(π,6)－eq \f(π,4)，
即－eq \f(5π,6)≤φ≤－eq \f(π,6)，又|φ|≤eq \f(π,2)，
∴－eq \f(π,2)≤φ≤－eq \f(π,6).综上所述，φ的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，－\f(π,6)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2))).