课时过关检测（二十一） 同角三角函数基本关系式与诱导公式

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A级——基础达标
1．已知tan α＝eq \f(1,2)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))＝( )
A．－eq \f(\r(5),5) B．eq \f(\r(5),5)
C．eq \f(2\r(5),5)D．－eq \f(2\r(5),5)
解析：选A 由α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))知α为第三象限角，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan α＝\f(sin α,cs α)＝\f(1,2)，,sin2α＋cs2α＝1，))得sin α＝－eq \f(\r(5),5)，
故cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))＝sin α＝－eq \f(\r(5),5)，故选A．
2．已知tan θ＝2，则eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ)＋sin2θ的值为( )
A．eq \f(19,5)B．eq \f(16,5)
C．eq \f(23,10)D．eq \f(17,10)
解析：选C 原式＝eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ)＋eq \f(sin2θ,sin2θ＋cs2θ)＝eq \f(tan θ＋1,tan θ)＋eq \f(tan2θ,tan2θ＋1)，将tan θ＝2代入上式，则原式＝eq \f(23,10).
3．已知cs(75°＋α)＝eq \f(1,3)，则sin(α－15°)＋cs(105°－α)的值是( )
A．eq \f(1,3)B．－eq \f(1,3)
C．eq \f(2,3)D．－eq \f(2,3)
解析：选D sin(α－15°)＋cs(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cs[180°－(75°＋α)]＝－cs(75°＋α)－cs(75°＋α)＝－2cs(75°＋α)＝－eq \f(2,3)，故选D.
4．已知θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，则2cs θ＋eq \r(1－2sinπ－θcs θ)＝( )
A．sin θ＋cs θB．sin θ－cs θ
C．cs θ－sin θD．3cs θ－sin θ
解析：选A 因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以sin θ>cs θ，则2cs θ＋eq \r(1－2sinπ－θcs θ)＝2cs θ＋eq \r(sin θ－cs θ2)＝2cs θ＋sin θ－cs θ＝sin θ＋cs θ，故选A．
5．(多选)在△ABC中，下列结论正确的是( )
A．sin(A＋B)＝sin C
B．sin eq \f(B＋C,2)＝cseq \f(A,2)
C．tan(A＋B)＝－tan Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C≠\f(π,2)))
D．cs(A＋B)＝cs C
解析：选ABC 在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C；sin eq \f(B＋C,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(A,2)))＝cseq \f(A,2)；tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C≠\f(π,2)))；cs(A＋B)＝cs(π－C)＝－cs C．
6．(多选)(2021·泰安模拟)已知eq \f(sin α＋3cs α,3cs α－sin α)＝5，下列计算结果正确的是( )
A．tan α＝eq \f(1,2)B．tan α＝2
C．cs2α＋eq \f(1,2)sin 2α＝eq \f(3,5)D．sin2α－cs 2α＝eq \f(6,5)
解析：选BC ∵eq \f(sin α＋3cs α,3cs α－sin α)＝eq \f(tan α＋3,3－tan α)＝5，解得tan α＝2，∴cs2α＋eq \f(1,2)sin 2α＝cs2α＋sin αcs α＝eq \f(cs2α＋sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(1＋tan α,1＋tan2α)＝eq \f(1＋2,1＋22)＝eq \f(3,5)，sin2α－cs 2α＝2sin2α－cs2α＝eq \f(2tan2α－1,tan2α＋1)＝eq \f(7,5).
7．计算：sineq \f(11π,6)＋cseq \f(10π,3)的值为 ．
解析：原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,6)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3π＋\f(π,3)))
＝－sineq \f(π,6)－cseq \f(π,3)＝－eq \f(1,2)－eq \f(1,2)＝－1.
答案：－1
8．若eq \f(sinπ－θ＋csθ－2π,sin θ＋csπ＋θ)＝eq \f(1,2)，则tan θ＝ .
解析：因为eq \f(sinπ－θ＋csθ－2π,sin θ＋csπ＋θ)＝eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝eq \f(1,2)，
所以2(sin θ＋cs θ)＝sin θ－cs θ，
所以sin θ＝－3cs θ，所以tan θ＝－3.
答案：－3
9．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(3π,2)))·cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))·sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)＝ .
解析：因为方程5x2－7x－6＝0的根为x1＝2，x2＝－eq \f(3,5)，由题意知sin α＝－eq \f(3,5)，故cs α＝－eq \f(4,5)，tan α＝eq \f(3,4)，所以原式＝eq \f(－cs α·sin α·tan2α,sin α·cs α)＝－tan2α＝－eq \f(9,16).
答案：－eq \f(9,16)
10．化简cs α eq \r(\f(1－sin α,1＋sin α))＋sin α eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π <α<\f(3π,2)))＝ .
解析：原式＝cs αeq \r(\f(1－sin α2,cs2α))＋sin αeq \r(\f(1－cs α2,sin2α))＝cs α·eq \f(1－sin α,|cs α|)＋sin α·eq \f(1－cs α,|sin α|)，因为π<α答案：sin α＋cs α－2
11．已知sin(3π＋α)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))，求下列各式的值：
(1)eq \f(sin α－4cs α,5sin α＋2cs α)；
(2)sin2α＋sin 2α.
解：由已知得sin α＝2cs α.
(1)原式＝eq \f(2cs α－4cs α,5×2cs α＋2cs α)＝－eq \f(1,6).
(2)原式＝eq \f(sin2α＋2sin αcs α,sin2α＋cs2α)
＝eq \f(sin2α＋sin2α,sin2α＋\f(1,4)sin2α)＝eq \f(8,5).
12．已知eq \f(π,2)＜α＜π，tan α－eq \f(1,tan α)＝－eq \f(3,2).
(1)求tan α的值；
(2)求eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))－csπ－α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))的值．
解：(1)令tan α＝x，则x－eq \f(1,x)＝－eq \f(3,2)，整理得2x2＋3x－2＝0，解得x＝eq \f(1,2)或x＝－2，
因为eq \f(π,2)＜α＜π，
所以tan α＜0，故tan α＝－2.
(2)eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))－csπ－α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))
＝eq \f(sin α＋cs α,cs α)＝tan α＋1＝－2＋1＝－1.
B级——综合应用
13．(2021·山东肥城级考)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现黄金分割比例为eq \f(\r(5)－1,2)≈0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°.若m2＋n＝4，则eq \f(m\r(n),2cs227°－1)＝( )
A．4B．3
C．2D．1
解析：选C ∵m＝2sin 18°，且m2＋n＝4，
∴n＝4－m2＝4－4sin218°＝4(1－sin218°)＝4cs218°，
∴eq \f(m\r(n),2cs227°－1)＝eq \f(2sin 18°\r(4cs218°),cs 54°)＝eq \f(4sin 18°cs 18°,sin 36°)＝2.故选C．
14．已知sin α＋cs α＝eq \f(1,2)，α∈(0，π)，则eq \f(1－tan α,1＋tan α)＝( )
A．－eq \r(7) B．eq \r(7)
C．eq \r(3)D．－eq \r(3)
解析：选A 因为sin α＋cs α＝eq \f(1,2)，
所以(sin α＋cs α)2＝1＋2sin αcs α＝eq \f(1,4)，
所以sin αcs α＝－eq \f(3,8)，又因为α∈(0，π)，
所以sin α>0，cs α<0，所以cs α－sin α<0，
因为(cs α－sin α)2＝1－2sin αcs α＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,8)))＝eq \f(7,4)，
所以cs α－sin α＝－eq \f(\r(7),2)，
所以eq \f(1－tan α,1＋tan α)＝eq \f(1－\f(sin α,cs α),1＋\f(sin α,cs α))＝eq \f(cs α－sin α,cs α＋sin α)＝eq \f(－\f(\r(7),2),\f(1,2))＝－eq \r(7).
15．是否存在α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))，eq \r(3)cs(－α)＝－eq \r(2)cs(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
解：假设存在角α，β满足条件．由已知条件可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝\r(2)sin β， ①,\r(3)cs α＝\r(2)cs β， ②))
由①2＋②2，得sin2α＋3cs2α＝2.∴sin2α＝eq \f(1,2)，
∴sin α＝±eq \f(\r(2),2).
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴α＝±eq \f(π,4).
当α＝eq \f(π,4)时，由②式知cs β＝eq \f(\r(3),2)，
又∵β∈(0，π)，∴β＝eq \f(π,6)，此时①式成立；
当α＝－eq \f(π,4)时，由②式知cs β＝eq \f(\r(3),2)，
又∵β∈(0，π)，∴β＝eq \f(π,6)，此时①式不成立，故舍去．
∴存在α＝eq \f(π,4)，β＝eq \f(π,6)满足条件．
C级——迁移创新
16．已知α，β∈(0,2π)且α＜β，若关于x的方程(x＋sin α)·(x＋sin β)＋1＝0有实数根，求代数式eq \f(3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－β)),2－sinπ－αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋β)))的值．
解：整理方程(x＋sin α)(x＋sin β)＋1＝0得x2＋x(sin α＋sin β)＋sin αsin β＋1＝0.
由题意得Δ＝(sin α＋sin β)2－4sin αsin β－4≥0，即(sin α－sin β)2≥4.①
因为－1≤sin α≤1，－1≤sin β≤1，所以sin α－sin β∈[－2,2]，从而(sin α－sin β)2≤4.②
由①②得sin α－sin β＝±2，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝1，,sin β＝－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝－1，,sin β＝1.))
因为α，β∈(0,2π)且α＜β，所以α＝eq \f(π,2)，β＝eq \f(3π,2)，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝1，,sin β＝－1.))因此eq \f(3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－β)),2－sinπ－αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋β)))＝eq \f(3cs α－sin β,2－sin αsin β)＝eq \f(1,2＋1)＝eq \f(1,3).