课时过关检测（十三） 函数模型及其应用

课时过关检测（十三）  函数模型及其应用

A级——基础达标

1．某辆汽车每次加油都把油箱加满，表中记录了该车相邻两次加油时的情况.

(注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程)

在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为(　　)

A．6升　　　　　　　　　　 B．8升

C．10升  D．12升

解析：选C　因为第二次加满油箱时加油量为60升，所以从第一次加油到第二次加油共用油60升，行驶了600千米，所以在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为＝10(升)．故选C.

2．(2021·海南天一大联考一模)如图，矩形花园ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形花园的面积为4平方米，墙PQ足够长，则围成该花园所需要篱笆的(　　)

A．最大长度为8米

B．最大长度为4米

C．最小长度为8米

D．最小长度为4米

解析：选D　设BC＝a米，CD＝b米，则ab＝4，

所以围成矩形花园所需要的篱笆长度为2a＋b＝2a＋≥2＝4，

当且仅当2a＝，即a＝时取等号．故选D.

3．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是(　　)

A．y＝100x  B．y＝50x2－50x＋100

C．y＝50×2x  D．y＝100log2x＋100

解析：选C　根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得．故选C.

4．(2021·北京模拟)衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a ，则需经过的天数为(　　)

A．125  B．100

C．75  D．50

5．(多选)某食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系t＝且该食品在4 ℃的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时刻的变化如图所示，则下列结论中正确的是(　　)

A．该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时

B．当x∈[－6,6]时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少

C．到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内

D．到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间

6．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　)

A．6  B．9

C．8  D．7

解析：选BC　设经过n次过滤，产品达到市场要求，则×n≤，即n≤.由nlg≤－lg 20.即n(lg 2－ln 3)≤－(1＋lg 2)，即n≥≈7.4，所以选B、C.

7．拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m＞0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．

解析：∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(m)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.

答案：4.24

8．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．

解析：L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000

＝－Q2＋30Q－2 000＝－(Q－300)2＋2 500.

则当Q＝300时，L(Q)取得最大值为2 500万元．

答案：2 500

9.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．

解析：前10天满足一次函数关系，设为y＝kx＋b，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得解得k＝，b＝，所以y＝x＋，则当x＝6时，y＝.

答案：

10．某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．

解析：设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4.

化简得x－6×0.9x＝0.

令f(x)＝x－6×0.9x，

易得f(x)为单调递增函数，又f(3)＝－1.374＜0，f(4)＝0.063 4＞0，所以函数f(x)在(3,4)上有一个零点．

故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元．

答案：4

11.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．

(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；

(2)求矩形BNPM面积的最大值．

解：(1)作PQ⊥AF于点Q，

所以PQ＝8－y，EQ＝x－4，

在△EDF中，＝，

所以＝，

所以y＝－x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．

(2)设矩形BNPM的面积为S，

则S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50，

所以S(x)是关于x的二次函数，且其开口向下，对称轴为x＝10，

所以当x∈[4,8]时，S(x)单调递增，

所以当x＝8时，矩形BNPM面积取得最大值48平方米．

12．(2021·海南模拟)某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝cmt(c，m为常数)．

(1)求c，m的值；

(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？

B级——综合应用

13．人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足d(x)＝9lg .一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63 dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的(　　)

A．1倍  B．10倍

C．100倍  D．1 000倍

解析：选B　设老师上课时声音强度，一般两人小声交谈时声音强度分别为x1 W/m2，x2 W/m2，

根据题意得d(x1)＝9lg ＝63，解得x1＝10－6，d(x2)＝9lg ＝54，

解得x2＝10－7，所以＝10，

因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，故选B.

14．(2020·新高考全国卷Ⅰ)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12 cm，DE＝2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________ cm2.

解析：如图，连接OA，作AQ⊥DE，交ED的延长线于Q，AM⊥EF于M，交DG于E′，交BH于F′，记过O且垂直于DG的直线与DG的交点为P，设OP＝3m，则DP＝5m，不难得出AQ＝7，AM＝7，于是AE′＝5，E′G＝5，∴∠AGE′＝∠AHF′＝，△AOH为等腰直角三角形，又AF′＝5－3m，OF′＝7－5m，AF′＝OF′，∴5－3m＝7－5m，得m＝1，∴AF′＝5－3m＝2，OF′＝7－5m＝2，∴OA＝2，则阴影部分的面积S＝×π×(2)2＋×2×2－＝(cm2)．

答案：＋4

15．为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产x万件，需另投入流动成本C(x)万元，且C(x)＝每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完．

(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式(年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)；

(2)年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

解：(1)因为每件产品售价为10元，所以x万件产品销售收入为10x万元．

依题意得，当0＜x＜8时，P(x)＝10x－－5＝－x2＋6x－5；当x≥8时，P(x)＝10x－－5＝30－.

所以P(x)＝

(2)当0＜x＜8时，P(x)＝－(x－6)2＋13，当x＝6时，P(x)取得最大值P(6)＝13；

当x≥8时，P′(x)＝－1＋＜0，所以P(x)为减函数，当x＝8时，P(x)取得最大值P(8)＝.

由13＜可知当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元．

C级——迁移创新

16．某公司计划投资开发一种新能源产品，预计能获得10万元～1 000万元的收益．现准备制定一个对开发科研小组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金总数不超过9万元，同时奖金总数不超过收益的20%.

(1)若建立奖励方案函数模型y＝f(x)，试确定这个函数的定义域、值域和的范围；

(2)现有两个奖励函数模型：①y＝＋2；②y＝4lg x－3.试分析这两个函数模型是否符合公司的要求？请说明理由．

解：(1)y＝f(x)的定义域是[10,1 000]，值域是(0,9]，∈(0,0.2]．

(2)当y＝＋2时，＝＋的最大值是＞0.2，不符合公司的要求．

当y＝4lg x－3时，函数在定义域上为增函数，最大值为9.

由≤0.2可知y－0.2x≤0.

令g(x)＝4lg x－3－0.2x，x∈[10,1 000]，则g′(x)＝＜0，所以g(x)在[10,1 000]上单调递减，所以g(x)≤g(10)＝－1＜0，即≤0.2.故函数y＝4lg x－3符合公司的要求．