课时过关检测（四十四） 直线的倾斜角、斜率与直线的方程

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1．已知点A(1，eq \r(3))，B(－1,3eq \r(3))，则直线AB的倾斜角是( )
A．60°B．30°
C．120°D．150°
解析：选C 设直线AB的倾斜角为α.∵A(1，eq \r(3))，B(－1，3eq \r(3))，∴kAB＝eq \f(3\r(3)－\r(3),－1－1)＝－eq \r(3)，∴tan α＝－eq \r(3)，∵α∈[0°，180°)，∴α＝120°.故选C．
2．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是( )
解析：选B 由题意l1：y＝－ax－b，l2：y＝－bx－a，当a＞0，b＞0时，－a＜0，－b＜0.选项B符合．
3．已知直线l的斜率为eq \r(3)，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )
A．y＝eq \r(3)x＋2B．y＝eq \r(3)x－2
C．y＝eq \r(3)x＋eq \f(1,2)D．y＝－eq \r(3)x＋2
解析：选A 直线x－2y－4＝0的斜率为eq \f(1,2)，∴直线l在y轴上的截距为2.∴直线l的方程为y＝eq \r(3)x＋2.
4．如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
解析：选C 由题意知，A，B同号，所以直线Ax＋By＋C＝0的斜率k＝－eq \f(A,B)＜0，在y轴上的截距为－eq \f(C,B)＞0，所以直线不通过第三象限．
5．(多选)下列说法正确的是( )
A．截距相等的直线都可以用方程eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1表示
B．方程x＋my－2＝0(m∈R)能表示平行y轴的直线
C．经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tan θ·(x－1)
D．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为(y2－y1)·(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0
解析：选BD 对于A，若直线过原点，横纵截距都为零，则不能用方程eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1表示，所以A不正确；对于B，当m＝0时，平行于y轴的直线方程形式为x＝2，所以B正确；对于C，若直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，不能用y－1＝tan θ(x－1)表示，所以C不正确；对于D，设点P(x，y)是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线上的任意一点，根据eq \(P1P2,\s\up7(―→))∥eq \(P1P,\s\up7(―→))可得(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0，所以D正确．故选B、D.
6．(多选)若直线过点A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程可能为( )
A．x－y＋1＝0B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0D．x－y－1＝0
解析：选ABC 当直线经过原点时，斜率为k＝eq \f(2－0,1－0)＝2，所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝k，把点A(1,2)代入可得1－2＝k或1＋2＝k，求得k＝－1或k＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0；综上知，所求的直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.故选A、B、C．
7．(2021·全国统一考试模拟演练)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________.
解析：如图，设正方形的对角线的倾斜角为α，则tan α＝2，
则正方形的两个邻边的倾斜角分别为α＋eq \f(π,4)，α－eq \f(π,4)，
所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))
＝eq \f(tan α＋tan\f(π,4),1－tan\f(π,4)·tan α)＝eq \f(2＋1,1－2)
＝－3，
taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(tan α－tan\f(π,4),1＋tan α·tan\f(π,4))＝eq \f(2－1,1＋2)＝eq \f(1,3)，
所以正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为－3，eq \f(1,3).
答案：－3 eq \f(1,3)
8．直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1,4)，D(5,0)，则直线l的方程为____________．
解析：因为直线l平分平行四边形ABCD的面积，所以直线l过平行四边形对角线BD的中点(3,2)，又直线l过原点，所以直线l的方程为y＝eq \f(2,3)x.
答案：y＝eq \f(2,3)x
9．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．
解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值．所以b的取值范围是[－2，2]．
答案：[－2,2]
10．若直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为________．
解析：∵直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，
∴a＋b＝ab，即eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，
∴a＋b＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))
＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2＋2 eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，
当且仅当a＝b＝2时上式等号成立．
∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.
答案：4
11．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过定点A(－3,4)；
(2)斜率为eq \f(1,6).
解：(1)由题意知，直线l存在斜率．设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－eq \f(4,k)－3,3k＋4，由已知，得(3k＋4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,k)＋3))＝±6，解得k1＝－eq \f(2,3)或k2＝－eq \f(8,3).
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程为y＝eq \f(1,6)x＋b，它在x轴上的截距是－6b，由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.
∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
12．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0解：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝eq \f(1,2)×2×(2－a)＋eq \f(1,2)×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))2＋eq \f(15,4)，当a＝eq \f(1,2)时，四边形的面积最小．
B级——综合应用
13．(多选)已知直线xsin α＋ycs α＋1＝0(α∈R)，则下列选项正确的是( )
A．直线的倾斜角是π－α
B．无论α如何变化，直线不过原点
C．无论α如何变化，直线总和一个定圆相切
D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
解析：选BCD 根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，所以A不正确；当x＝y＝0时，xsin α＋ycs α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；由点到直线的距离公式得原点到直线的距离为1，所以直线总和单位圆相切，C正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,－sin α)))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,－cs α)))＝eq \f(1,|sin 2α|)≥1，所以D正确．故选B、C、D.
14．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为____________．
解析：由题意，线段AB的中点为M(1,2)，kAB＝－2，所以线段AB的垂直平分线为y－2＝eq \f(1,2)(x－1)，即x－2y＋3＝0，
因为AC＝BC，所以△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，
因此△ABC的欧拉线方程为x－2y＋3＝0.
答案：x－2y＋3＝0
15．已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，求eq \f(y＋3,x＋2)的最值．
解：如图，作出y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)的图象(曲线段AB)，则eq \f(y＋3,x＋2)表示定点P(－2，－3)和曲线段AB上任一点(x，y)的连线的斜率k，连接PA，PB，则kPA≤k≤kPB.易得A(1,1)，B(－1，5)，所以kPA＝eq \f(1－－3,1－－2)＝eq \f(4,3)，kPB＝eq \f(5－－3,－1－－2)＝8，所以eq \f(4,3)≤k≤8，
故eq \f(y＋3,x＋2)的最大值是8，最小值是eq \f(4,3).
C级——迁移创新
16．已知曲线T：F(x，y)＝0，对坐标平面上任意一点P(x，y)，定义F[P]＝F(x，y)，若两点P，Q满足F[P]·F[Q]>0，称点P，Q在曲线T同侧；F[P]·F[Q]<0，称点P，Q在曲线T两侧．
(1)直线过l原点，线段AB上所有点都在直线l同侧，其中A(－1,1)，B(2,3)，求直线l的斜率的取值范围；
(2)已知曲线F(x，y)＝(3x＋4y－5)eq \r(4－x2－y2)＝0，O为坐标原点，求点集S＝{P|F[P]·F[O]>0}的面积．
解：(1)由题意，显然直线l斜率存在，设方程为y＝kx，则F(x，y)＝kx－y＝0，
因为A(－1,1)，B(2,3)，线段AB上所有点都在直线l同侧，
则F[A]·F[B]＝(－k－1)(2k－3)>0，
解得－1(2)因为F[O]<0，所以F[P]＝(3x＋4y－5)·eq \r(4－x2－y2)<0，
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋4y－5<0，,x2＋y2<4，))点集S为圆x2＋y2＝4在直线3x＋4y－5＝0下方内部，如图所示，
设直线与圆的交点为A，B，则O到AB的距离为1，
故∠AOB＝eq \f(2π,3)，
因此，所求面积为S＝eq \f(1,2)·eq \f(4π,3)·22＋eq \f(1,2)·eq \f(\r(3),2)·22＝eq \f(8π,3)＋eq \r(3).