作业23－计数原理与二项式定理（含答案解析）学案

这是一份作业23－计数原理与二项式定理（含答案解析）学案，共7页。学案主要包含了单项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．2020年元旦晚会期间，高三二班的学生准备了6个参赛节目，其中有2个舞蹈节目，2个小品节目，2个歌曲节目．要求歌曲节目一定排在首尾，另外2个舞蹈节目一定要排在一起，则这6个节目出场的不同编排种数为( )
A．48 B．36
C．24 D．12
答案 C
解析 依据题意，分三步讨论：(1)歌曲节目排在首尾，有Aeq \\al(2,2)＝2种排法；(2)将2个小品节目安排在歌曲节目的中间，有Aeq \\al(2,2)＝2种排法；(3)排好后，2个小品节目与2个歌曲节目之间有3个空位，将2个舞蹈节目全排列，安排在中间的3个空位，有Aeq \\al(2,2)Ceq \\al(1,3)＝6种排法．则这6个节目出场的不同编排种数为2×2×6＝24.故选C.
2．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,\r(3,x))))eq \s\up12(n)的展开式中没有常数项，则n不可能是( )
A．8 B．7
C．6 D．5
答案 A
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,\r(3,x))))eq \s\up12(n)的展开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)(2x)n－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(3,x))))eq \s\up12(r)＝Ceq \\al(r,n)(－1)r2n－rxn－eq \f(4r,3).
因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,\r(3,x))))eq \s\up12(n)的展开式中没有常数项，所以n－eq \f(4r,3)不能为0，
当n＝5，6，7时，n－eq \f(4r,3)＝0不成立；当n＝8，r＝6时，n－eq \f(4r,3)＝0成立，此时eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,\r(3,x))))eq \s\up12(n)的展开式中有常数项．故选A.
3．(2020·湖南三湘名校教育联盟联考)“中国梦”的英文翻译为“China Dream”，其中China又可以简写为CN，从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有( )
A．360种 B．480种
C．600种 D．720种
答案 C
解析 从其他5个字母中任取4个，然后与“ea”进行全排列，由分步乘法计数原理可知，排法共有Ceq \\al(4,5)Aeq \\al(5,5)＝600(种)．故选C.
4．(2020·重庆市高三调研)在x3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(1,\r(x))))eq \s\up12(10)的展开式中，常数项为( )
A．－252 B．－45
C．45 D．252
答案 C
解析 由题意，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(1,\r(x))))eq \s\up12(10)的展开式的通项公式为：
Tr＋1＝Ceq \\al(r,10)(eq \r(x))10－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(x))))eq \s\up12(r)＝(－1)r·Ceq \\al(r,10)·x5－r，
令5－r＝－3，得r＝8，(－1)r·Ceq \\al(r,10)·x5－r＝(－1)8·Ceq \\al(8,10)·x－3＝45x－3，
所以x3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(1,\r(x))))eq \s\up12(10)的展开式中，常数项为45.故选C.
5．若(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn的展开式中的各项系数和为243，则a1＋2a2＋…＋nan＝( )
A．405 B．810
C．243 D．64
答案 B
解析 因为(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，
两边求导得2n(2x＋1)n－1＝a1＋2a2x＋…＋nanxn－1，
令x＝1，则2n×3n－1＝a1＋2a2＋…＋nan，
又因为(2x＋1)n的展开式中各项系数和为243，
所以令x＝1，可得3n＝243，解得n＝5.
所以a1＋2a2＋…＋nan＝2×5×34＝810.故选B.
6．若甲、乙等5名同学分别被保送到北京大学、清华大学、复旦大学三所大学就读，若要求每所大学至少有一名保送生，则不同的保送方法种数为( )
A．240 B．180
C．150 D．540
答案 C
解析 由题意可知5名保送生可分为1，1，3和1，2，2两种情况，故满足题意的不同的保送方法种数为Ceq \\al(3,5)Aeq \\al(3,3)＋eq \f(Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,3),Aeq \\al(2,2))·Aeq \\al(3,3)＝150.故选C.
7．(2020·湛江市第二十一中学模拟)(1－x)(1＋2x)4展开式中x2的系数为( )
A．－24 B．－8
C．16 D．24
答案 C
解析 由题意(1－x)(1＋2x)4＝(1＋2x)4－x(1＋2x)4，
二项式(1＋2x)4展开式的通项公式Tr＋1＝Ceq \\al(r,4)·14－r·(2x)r＝Ceq \\al(r,4)·2r·xr，
令r＝2，Ceq \\al(r,4)·2r·xr＝Ceq \\al(2,4)·22·x2＝24x2；
令r＝1，Ceq \\al(r,4)·2r·xr＝Ceq \\al(1,4)·2·x＝8x；
所以x2的系数为24－8＝16.故选C.
8．(2019·湖北四校联考)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)＋4x2＋4))eq \s\up12(3)展开式中的常数项为( )
A．120 B．160
C．200 D．240
答案 B
解析 方法一：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)＋4x2＋4))eq \s\up12(3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋2x))eq \s\up12(6)，展开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq \\al(r,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))eq \s\up12(6－r)·(2x)r＝Ceq \\al(r,6)2rx2r－6，令2r－6＝0，可得r＝3，故展开式的常数项为160.
方法二：展开式的常数项为：43＋Ceq \\al(1,3)·4·Ceq \\al(1,2)·4＝64＋96＝160.
9．(2020·遵义市南白中学高三模拟)4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的方法种类为( )
A．144 B．288
C．342 D．576
答案 A
解析 从四个地方选出一个地方空出有Ceq \\al(1,4)种情况，从4名学生中任选2名“捆绑”在一起，有Ceq \\al(2,4)种情况，再任意分配到三个地方有：Aeq \\al(3,3)种，
则恰有一个地方未被选中有：Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(3,3)种．故选A.
10．某班班会上老师准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙2名学生至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为( )
A．360 B．520
C．600 D．720
答案 C
解析 若甲、乙同时被选中，则只需再从剩下的5人中选取2人，有Ceq \\al(2,5)种选法，因为在安排顺序时，甲、乙不相邻需“插空”，所以安排方式有Aeq \\al(2,3)Aeq \\al(2,2)种，从而此种情况下不同的发言顺序的种数为Ceq \\al(2,5)Aeq \\al(2,3)Aeq \\al(2,2)＝120.若甲、乙只有一人被选中，则先从甲、乙中选一人，有Ceq \\al(1,2)种选法，再从剩下的5人中选取3人，有Ceq \\al(3,5)种选法，因为在安排顺序时无要求，所以此种情况下不同的发言顺序的种数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(3,5)Aeq \\al(4,4)＝480.综上，不同的发言顺序的种数为120＋480＝600.故选C.
11．(2020·宜春市高三模拟)在(2x＋y)(x－y)5的展开式中，x4y2的系数为( )
A．－20 B．－10
C．15 D．5
答案 C
解析 因为(2x＋y)(x－y)5＝(2x＋y)(x－y)(x－y)(x－y)(x－y)(x－y)，
所以若从第一个式子2x＋y中选择2x，则后面的式子中有Ceq \\al(3,5)种可能出现x3(－y)2，相乘得2Ceq \\al(3,5)x4y2；若从第一个式子2x＋y中选择y，则后面的式子中有Ceq \\al(1,5)种可能出现x4(－y)，相乘得－Ceq \\al(1,5)x4y2，即x4y2的系数为2Ceq \\al(3,5)－Ceq \\al(1,5)＝15.故选C.
12．袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
232 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 013 320 122 103 233
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为( )
A.eq \f(1,9) B.eq \f(1,6)
C.eq \f(2,9) D.eq \f(5,18)
答案 B
解析 由题意知样本空间包含的基本事件总数为18个，恰好第三次就停止包含的基本事件有023，123，132，共3个，由此可以估计，恰好第三次就停止的概率P＝eq \f(3,18)＝eq \f(1,6).故选B.
13．在中国文字语言中有回文句，如：“中国出人才人出国中．”其实，在数学中也有回文数．回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如3位回文数：101，111，121，…，191，202，…，999，则5位回文数有( )
A．648个 B．720个
C．900个 D．1 000个
答案 C
解析 由题设中定义回文数的概念可知：先考虑五位回文数的中间的一个位置，每个数字都能选取，共有10种可能；其次是考虑首位数字应有除了0之外的9个数字，共有9种；最后再考虑第二个位置，10个数字都可选取，共有10种可能．由分步乘法计数原理可得所有五位回文数的个数是9×10×10＝900.故选C.
14．(2020·湛江市第二十一中考试)为了积极稳妥开展疫情期间的复学工作，市教育局抽调5名机关工作人员去某街道3所不同的学校开展驻点服务，每个学校至少去1人，若甲、乙两人不能去同一所学校，则不同的分配方法种数为( )
A．114 B．120
C．140 D．150
答案 A
解析 分四种情况：
(1)安排甲去一所学校共有Ceq \\al(1,3)种方法，
安排乙到第二所学校共有Ceq \\al(1,2)种方法，
余下三人去第三所学校共有1种方法，共有Ceq \\al(1,3)×Ceq \\al(1,2)×1＝6种方法．
(2)安排甲去一所学校共有Ceq \\al(1,3)种方法，
安排乙到第二所学校共有Ceq \\al(1,2)种方法，
余下的三人中两人一起去第三所学校有Ceq \\al(2,3)种方法，
另一个人去前两所学校中任意一所共有Ceq \\al(1,2)种方法，
共有Ceq \\al(1,3)×Ceq \\al(1,2)×Ceq \\al(2,3)×Ceq \\al(1,2)＝36种方法．
(3)安排甲去一所学校共有Ceq \\al(1,3)种方法，
安排乙到第二所学校共有Ceq \\al(1,2)种方法，
余下的三人中一人去第三所学校有Ceq \\al(1,3)种方法，
另外两人一起去前两所学校中任意一所共有Ceq \\al(1,2)种方法，
共有Ceq \\al(1,3)×Ceq \\al(1,2)×Ceq \\al(1,3)×Ceq \\al(1,2)＝36种方法．
(4)安排甲去一所学校共有Ceq \\al(1,3)种方法，
安排乙到第二所学校共有Ceq \\al(1,2)种方法，
余下的三人中一人去第三所学校有Ceq \\al(1,3)种方法，
另外两人分别去前两所学校中任意一所共有Aeq \\al(2,2)种方法，
共有Ceq \\al(1,3)×Ceq \\al(1,2)×Ceq \\al(1,3)×Aeq \\al(2,2)＝36种方法．
综上，共有6＋36＋36＋36＝114种方法．故选A.
二、填空题
15．北京大兴国际机场是一座跨地域的超大型国际航空综合交通枢纽，目前建有“三纵一横”4条跑道，分别为西一跑道、西二跑道、东跑道、北跑道，示意图如图所示．若有2架飞往不同目的地的飞机要从北京大兴国际机场同时起飞，且起飞的跑道不同，则
(1)有________种不同的安排方法；
(2)若西一跑道、西二跑道至少有一条跑道被选取，则有________种不同的安排方法(用数字作答)．
答案 (1)12 (2)10
解析 (1)由排列组合知识知有Aeq \\al(2,4)＝12(种)不同的安排方法．
(2)方法一(互斥事件)：
①西一跑道、西二跑道只选一条，则不同的安排方法有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)＝8(种)；
②西一跑道、西二跑道选两条，则不同的安排方法有Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(0,2)Aeq \\al(2,2)＝2(种)．
由分类加法计数原理可得，不同的安排方法有8＋2＝10(种)．
方法二(对立事件)：
记“西一跑道、西二跑道至少有一条跑道被选取”为事件A，则A表示“西一跑道、西二跑道都未被选取”．
由(1)知，从4条跑道中选取2条，不同的安排方法有12种．
事件A表示选取东跑道和北跑道，不同的安排方法有Aeq \\al(2,2)＝2(种)．
所以事件A的安排方法有12－2＝10(种)．
16．(2020·唐山市高三年级第一次模拟)中国古代的四书是指：《大学》《中庸》《论语》《孟子》，甲、乙、丙、丁4名同学从中各选一书进行研读，已知四人选取的书恰好互不相同，且甲没有选《中庸》，乙和丙都没有选《论语》，则4名同学所有可能的选择有________种．
答案 10
解析 分以下两种情况讨论：(1)乙、丙两人中没有一人选《中庸》，则乙、丙两人在《大学》《孟子》中各选一书，则甲只能选《论语》，丁只能选《中庸》，此时选法种数为Aeq \\al(2,2)；(2)乙、丙两人中有一人选《中庸》，则另一人可在《大学》《孟子》中选择一书，甲、丁两人选书时没有限制，此时选法种数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2).综上所述，4名同学所有可能的选择种数为Aeq \\al(2,2)＋Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)＝10.
17．设f(x)＝(1－2x)6，则x的奇次项的系数和为________．
答案 －364
解析 设f(x)＝(1－2x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，
当x＝1时，1＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6，①
当x＝－1时，36＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6，②
①－②得eq \f(1－36,2)＝a1＋a3＋a5，
∴a1＋a3＋a5＝－364.
∴x的奇次项的系数和为－364.
18．(2020·河南名师联盟调研)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－2y))eq \s\up12(5)的展开式中x2y3的系数为________．
答案 －20
解析 由二项式定理可知展开式的通项公式为
Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x))eq \s\up12(5－r)(－2y)r，
要求解eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－2y))eq \s\up12(5)的展开式中含x2y3的项，则r＝3，
所求系数为Ceq \\al(3,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)(－2)3＝－20.
19．(2020·厦门市高中毕业班质检)某学校贯彻“科学防疫”，实行“佩戴口罩，间隔而坐”．一排8个座位，安排4名同学就座，共有________种不同的安排方法(用数字作答)．
答案 120
解析 可先将4名同学全排列，有Aeq \\al(4,4)＝24种排法，因四个空座位产生五个位置，四名同学插空就座，有Ceq \\al(4,5)种方法，因此共有Ceq \\al(4,5)Aeq \\al(4,4)＝120种安排方法．
20．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________种．
答案 60
解析 试题分析：每个城市投资1个项目有Ceq \\al(3,4)Aeq \\al(3,3)种，有一个城市投资2个项目有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,3)种，投资方案共Ceq \\al(3,4)Aeq \\al(3,3)＋Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,3)＝24＋36＝60种．