高中数学人教B版 (2019)必修 第四册10.3 复数的三角形式及其运算教学设计及反思

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册10.3 复数的三角形式及其运算教学设计及反思，共7页。教案主要包含了教学过程，教学重难点，教学目标，核心素养等内容，欢迎下载使用。

【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．复数z＝a＋bi的三角形式是什么？
2．复数的辐角、辐角的主值是什么？
3．复数三角形式的乘、除运算公式是什么？
4．复数三角形式乘、除运算的几何意义是什么？
二、基础知识
1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(csθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量eq \(OZ,\s\up6(→))所在射线(射线eq \(OZ,\s\up6(→)))为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz.r(csθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
■名师点拨
（1）任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．
（2）复数0的辐角是任意的．
（3）在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz，且0≤argz＜2π.
（4）两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
2．复数三角形式的乘、除运算
若复数z1＝r1(csθ1＋isinθ1)，z2＝r2(csθ2＋isinθ2)，且z1≠z2，则
（1）z1z2＝r1(csθ1＋isinθ1)·r2(csθ2＋isinθ2)
＝r1r2[cs(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
（2）eq \f(z1,z2)＝eq \f(r1（cs θ1＋isin θ1）,r2（cs θ2＋isin θ2）)
＝eq \f(r1,r2)[cs(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．
三、合作探究
1．复数的代数形式与三角形式的互化
角度一 代数形式化为三角形式
把下列复数的代数形式化成三角形式：
（1）eq \r(3)＋i；
（2）eq \r(2)－eq \r(2)i.
【解】（1）r＝eq \r(3＋1)＝2，因为eq \r(3)＋i对应的点在第一象限，
所以cs θ＝eq \f(\r(3),2)，即θ＝eq \f(π,6)，
所以eq \r(3)＋i＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6))).
（2）r＝eq \r(2＋2)＝2，cs θ＝eq \f(\r(2),2)，
又因为eq \r(2)－eq \r(2)i对应的点位于第四象限，
所以θ＝eq \f(7π,4).
所以eq \r(2)－eq \r(2)i＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(7π,4)＋isin\f(7π,4))).
eq \a\vs4\al()
复数的代数形式化三角形式的步骤
（1）先求复数的模．
（2）决定辐角所在的象限．
（3）根据象限求出辐角．
（4）求出复数的三角形式．
[提醒]一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．
角度二 三角形式化为代数形式
分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．
（1）4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,6)＋isin \f(π,6)))；
（2）eq \f(\r(3),2)(cs 60°＋isin 60°)；
（3）2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)－isin \f(π,3))).
【解】（1）复数4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,6)＋isin \f(π,6)))的模r＝4，辐角的主值为θ＝eq \f(π,6).
4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,6)＋isin \f(π,6)))＝4cs eq \f(π,6)＋4isin eq \f(π,6)
＝4×eq \f(\r(3),2)＋4×eq \f(1,2)i
＝2eq \r(3)＋2i.
（2）eq \f(\r(3),2)(cs 60°＋isin 60°)的模r＝eq \f(\r(3),2)，辐角的主值为θ＝60°.
eq \f(\r(3),2)(cs 60°＋isin 60°)＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)i
＝eq \f(\r(3),4)＋eq \f(3,4)i.
（3）2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)－isin \f(π,3)))
＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,3)))))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5,3)π＋isin \f(5,3)π)).
所以复数的模r＝2，辐角的主值为eq \f(5,3)π.
2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(5,3)π＋isin \f(5,3)π))＝2cs eq \f(5,3)π＋2isin eq \f(5,3)π
＝2×eq \f(1,2)＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))i
＝1－eq \r(3)i.
eq \a\vs4\al()
复数的三角形式z＝r(csθ＋isinθ)必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例（3）.
2．复数三角形式的乘、除运算
计算：
（1）8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(4,3)π＋isin\f(4,3)π))×4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(5,6)π＋isin\f(5,6)π))；
（2）eq \r(3)(cs 225°＋isin 225°)÷[eq \r(2)(cs 150°＋isin 150°)]；
（3）4÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,4)＋isin \f(π,4))).
【解】（1）8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(4,3)π＋isin\f(4,3)π))×4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(5,6)π＋isin\f(5,6)π))
＝32eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)π＋\f(5,6)π))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)π＋\f(5,6)π))))
＝32eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(13,6)π＋isin \f(13,6)π))
＝32eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,6)＋isin \f(π,6)))
＝32eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)＋\f(1,2)i))
＝16eq \r(3)＋16i.
（2）eq \r(3)(cs 225°＋isin 225°)÷[eq \r(2)(cs 150°＋isin 150°)]
＝eq \f(\r(3),\r(2))[cs(225°－150°)＋isin(225°－150°)]
＝eq \f(\r(6),2)(cs 75°＋isin 75°)
＝eq \f(\r(6),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6)－\r(2),4)＋\f(\r(6)＋\r(2),4)i))
＝eq \f(6－2\r(3),8)＋eq \f(6＋2\r(3),8)i
＝eq \f(3－\r(3),4)＋eq \f(3＋\r(3),4)i.
（3）4÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,4)＋isin \f(π,4)))
＝4(cs 0＋isin 0)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,4)＋isin \f(π,4)))
＝4eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))))
＝2eq \r(2)－2eq \r(2)i.
eq \a\vs4\al()
（1）乘法法则：模相乘，辐角相加．
（2）除法法则：模相除，辐角相减．
（3）复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角的n倍．
3．复数三角形式乘、除运算的几何意义
在复平面内，把复数3－eq \r(3)i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转eq \f(π,3)，求所得向量对应的复数．
【解】因为3－eq \r(3)i＝2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)－\f(1,2)i))
＝2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(11,6)π＋isin \f(11,6)π))
所以2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(11,6)π＋isin \f(11,6)π))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)＋isin \f(π,3)))
＝2eq \r(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)π＋\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)π＋\f(π,3)))))
＝2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(13,6)π＋isin \f(13,6)π))
＝2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,6)＋isin \f(π,6)))
＝3＋eq \r(3)i，
2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(11,6)π＋isin \f(11,6)π))×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))))
＝2eq \r(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)π－\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)π－\f(π,3)))))
＝2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(3,2)π＋isin \f(3,2)π))
＝－2eq \r(3)i.
故把复数3－eq \r(3)i对应的向量按逆时针旋转eq \f(π,3)得到的复数为3＋eq \r(3)i，按顺时针旋转eq \f(π,3)得到的复数为－2eq \r(3)i.
eq \a\vs4\al()
两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量eq \(OZ1,\s\up6(→))，eq \(OZ2,\s\up6(→))，然后把向量eq \(OZ1,\s\up6(→))绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把eq \(OZ1,\s\up6(→))绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量eq \(OZ,\s\up6(→))，eq \(OZ,\s\up6(→))表示的复数就是积z1z2．
四、课堂检测
1．复数1－eq \r(3)i的辐角的主值是( )
A．eq \f(5,3)π B．eq \f(2,3)π
C．eq \f(5,6)π D．eq \f(π,3)
解析：选A．因为1－eq \r(3)i＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(5,3)π＋isin \f(5,3)π))，所以1－eq \r(3)i辐角的主值为eq \f(5,3)π.
2．复数9(cs π＋isin π)的模是________．
答案：9
3．arg(－2i)＝________．
答案：eq \f(3,2)π
4．计算：
（1）(cs 75°＋isin 75°)(cs 15°＋isin 15°)；
（2）2(cs 300°＋isin 300°)÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(3,4)π＋isin \f(3,4)π)))).
解：（1）(cs 75°＋isin 75°)(cs 15°＋isin 15°)
＝cs(75°＋15°)＋isin(75°＋15°)
＝cs 90°＋isin 90°
＝i.
（2）2(cs 300°＋isin 300°)÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(3,4)π＋isin \f(3,4)π))))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(5,3)π＋isin \f(5,3)π))÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(3,4)π＋isin \f(3,4)π))))
＝eq \r(2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)π－\f(3,4)π))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)π－\f(3,4)π))))
＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(11,12)π＋isin \f(11,12)π))
＝－eq \f(1＋\r(3),2)＋eq \f(\r(3)－1,2)i.【教学重难点】
【教学目标】
【核心素养】
复数的三角形式
了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系
数学抽象
复数三角形式乘、除运算的
三角表示及其几何意义
了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
数学抽象、数学运算