人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步11.3 空间中的平行关系11.3.1 平行直线与异面直线教案

平行直线与异面直线

【教学目标】

1．能认识和理解空间直线平行的传递性，了解等角定理．(重点)

2．了解空间两条直线间的位置关系，理解异面直线的定义.(难点)

3．了解空间四边形的概念.

【教学重难点】

异面直线的判断。

【教学过程】

一、基础铺垫

1．平行直线基本性质

文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．

符号表述：⇒a∥c．

2．等角定理

如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等．

思考：空间中如果两个角的两边分别对应平行，这两个角具有什么关系？

[提示]  相等或互补．

3．异面直线

①定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线；

②画法：(通常用平面衬托)

4．空间四边形

①定义：顺次连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形，其中4个点都是空间四边形的顶点，连接相邻顶点间的线段称为空间四边形的边，连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的对角线.；

②画法：

二、合作探究

1．平行直线基本性质、等角定理的应用

【例1】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．

（1）求证：四边形BB1M1M为平行四边形；

（2）求证：∠BMC＝∠B1M1C1．

[思路探究]（1）欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证其一组对边平行且相等；（2）可结合（1）利用等角定理证明或利用三角形全等证明．

[证明]  （1）∵ABCD­A1B1C1D1为正方体．

∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，

又M、M1分别为棱AD．A1D1的中点，

∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，

∴四边形AMM1A1为平行四边形，

∴MM1＝AA1且MM1∥AA1．

又AA1＝BB1且AA1∥BB1，

∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，

∴四边形BB1M1M为平行四边形．

（2）法一：由（1）知四边形BB1M1M为平行四边形，

∴B1M1∥BM.

同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，

∴C1M1∥CM.

∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同，

∴∠BMC＝∠B1M1C1．

法二：由（1）知四边形BB1M1M为平行四边形，

∴B1M1＝BM.

同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，

∴C1M1＝CM.

又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，

∴∠BMC＝∠B1M1C1．

【教师小结】

（1）空间两条直线平行的证明

一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；

二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；

三是利用平行直线基本性质：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．

（2）求证角相等

一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．

2．异面直线与空间四边形

【例2】如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：

①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；

②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；

③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；

④直线AB与直线B1C的位置关系是________．

【解析】经探究可知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A1．B．B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面．所以②④应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”．

【答案】①平行  ②异面  ③相交  ④异面

【教师小结】判定两条直线是异面直线的方法：

①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内；

②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．

【例3】如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上．

（1）如果EH∩FG＝P，那么点P在直线________上．

（2）如果EF∩GH＝Q，那么点Q在直线________上．

【解析】（1）BD  （2）AC  [（1）若EH∩FG＝P，

那么点P∈平面ABD，P∈平面BCD，

而平面ABD∩平面BCD＝BD，

所以P∈BD．

（2）若EF∩GH＝Q，则点Q∈平面ABC，Q∈平面ACD，而平面ABC∩平面ACD＝AC，所以Q∈AC．]

三、课堂检测

1．思考辨析

（1）若直线与平面不相交，则直线与平面平行．(    )

（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．(    )

（3）直线l上有无数多个点在平面α外，则l∥α.(    )

（4）过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行．(    )

[解析]  （1）错误．若直线与平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平行．

（2）错误．当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故（2）错．

（3）错误．直线l也可能与平面α相交．

（4）错误．在棱柱的上底面内，过一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故（4）错．

[答案]  （1）×  （2）×  （3）×  （4）×

2．如图所示，在三棱锥S­MNP中，E、F、G、H分别是棱SN、SP、MN、MP的中点，则EF与HG的位置关系是(    )

A．平行

B．相交

C．异面

D．平行或异面

A  [∵E、F分别是SN和SP的中点，

∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，

∴EF∥HG.]

3．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝________.

135°  [由等角定理可知β＝135°.]

4．证明：若两个相交平面分别过两条平行直线，则它们的交线和这两条平行直线平行．

[解]  已知：a∥b，a⊂α，b⊂β，α∩β＝l.求证：a∥b∥l.

证明：如图所示，

∵a∥b，b⊂β，

∴a∥β，

又a⊂α，α∩β＝l，

∴a∥l，

又a∥b，

∴a∥b∥l.