高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.3.2 直线与平面平行教案设计

直线与平面平行

【教学目标】

借助直线与平面平行的判定与性质的学习，提升数学抽象、逻辑推理的数学核心素养。

【教学重难点】

1．掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用这两个定理解决空间中的平行关系问题。

2．利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题。

【教学过程】

一、直接导入

前面我们已经通过几何体，直观地认识了直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交，其中直线与平面平行是比较特殊的一种位置关系。因为直线与平面都可以无限延伸，所以要判定一条直线与一个平面有没有公共点，并不是一件容易的事情，因此我们有必要寻求其他判定直线与平面平行的方法。

二、合作探究

1．直线与平面的位置关系

【例】  下列说法：

①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线。

其中说法正确的个数为(    )

A．0个     B．1个     C．2个   D．3个

B  [对于①，直线a在平面α外包括两种情况：a∥α或a与α相交，∴a和α不一定平行，∴①说法错误。

对于②，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，∴②说法错误。

对于③，∵a∥b，b⊂α，∴a⊂α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行，∴③说法正确。]

【教师小结】空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行。

在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏。另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断。

2．直线与平面平行的判定与性质

[探究问题]

（1）如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)是否都和平面α平行？

[提示]  平行。

（2）若直线l∥平面α，则l平行于平面α内的所有直线吗？

[提示]  不是。

（3）若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？这些平面与α的交线与直线a有什么关系？

[提示]  若a∥α，则过a且与α相交的平面有无数个。这些平面与α的交线与直线a之间相互平行。

【例】  如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形。

[思路探究]  应用线面平行的性质定理。

[解]  因为AB∥平面MNPQ，

平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，

所以由线面平行的性质定理，

知AB∥MN。

同理AB∥PQ，

所以MN∥PQ。同理可得MQ∥NP。

所以截面MNPQ是平行四边形。

【母题探究】

1．若本例条件不变，求证：＝。

[解]  由例题解知：PQ∥AB，

∴＝。

又QM∥DC，∴＝，

∴＝。

2．若本例中添加条件：AB⊥CD，AB＝10，CD＝8，且BP∶PD＝1∶1，求四边形MNPQ的面积。

[解]  由例题解知，四边形MNPQ是平行四边形，

∵AB⊥CD，∴PQ⊥QM，

∴四边形MNPQ是矩形。

又BP∶PD＝1∶1，∴PQ＝5，QM＝4，

∴四边形MNPQ的面积为5×4＝20.

【教师小结】判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链，如下：

线线平行线面平行线线平行。

三、课堂总结

1．直线与平面的平行

2．直线与平面平行的判定及性质

四、课堂检测

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

（1）若直线与平面不相交，则直线与平面平行。 (    )

（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。 (    )

（3）直线l上有无数多个点在平面α外，则l∥α。        (    )

（4）过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行。 (    )

[答案]  （1）×  （2）×  （3）×  （4）×

[提示]  （1）错误。若直线与平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平行。

（2）错误。当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故(2)错。

（3）错误。直线l也可能与平面α相交。

（4）错误。在棱柱的上底面内，过一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故(4)错。

2．如图所示，在三棱锥S­MNP中，E、F、G、H分别是棱SN、SP、MN、MP的中点，则EF与HG的位置关系是(    )

A．平行     B．相交

C．异面 D．平行或异面

A  [∵E、F分别是SN和SP的中点，

∴EF∥PN。同理可证HG∥PN，

∴EF∥HG。]

3．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝________。

135°  [由等角定理可知β＝135°。]

4．证明：若两个相交平面分别过两条平行直线，则它们的交线和这两条平行直线平行。

[解]  已知：a∥b，a⊂α，b⊂β，α∩β＝l。求证：a∥b∥l。

证明：如图所示，∵a∥b，b⊂β，∴a∥β，

又a⊂α，α∩β＝l，∴a∥l，又a∥b，

∴a∥b∥l。