高三数学一轮复习试卷 专题7：数列多选题27页

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数列多选题
1．已知等比数列的公比为q，前n项和，设，记的前n项和为，则下列判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．已知数列，均为递增数列，的前项和为，的前项和为.且满足，，则下列说法正确的有( )
A． B． C． D．
3．设数列满足，对任意的恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A． B．是递增数列
C． D．
4．已知是等差数列的前项和，，设，则数列的前项和为，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．时，取得最大值
5．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知集合，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列的前项和，则使得成立的的可能取值为（ ）
A．25 B．26 C．27 D．28
7．已知数列{an}，{bn}均为递增数列，{an}的前n项和为Sn，{bn}的前n项和为Tn．且满足an+an+1＝2n，bn•bn+1＝2n（n∈N*），则下列说法正确的有（ ）
A．0＜a1＜1 B．1＜b1 C．S2n＜T2n D．S2n≥T2n
8．设等差数列的前项和为，公差为.已知，，则（ ）
A．
B．数列是递增数列
C．时，的最小值为13
D．数列中最小项为第7项
9．设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则数列有最大项
B．若数列有最大项，则
C．若对任意，均有，则数列是递增数列
D．若数列是递增数列，则对任意，均有
10．数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，以下运算和结论正确的是（ ）
A．
B．数列是等比数列
C．数列的前项和为
D．若存在正整数，使，则
11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d．已知a3＝12，S12＞0，a7＜0，则（　　）
A．a6＞0
B．
C．Sn＜0时，n的最小值为13
D．数列中最小项为第7项
12．已知数列满足，，，是数列的前n项和，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．已知函数，数列的前项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述不正确的是（ ）
A． B． C． D．


14．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为，则的通项公式为（ ）
A．
B．且
C．
D．
15．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列. 并将数列中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的是( )
A．
B．
C．
D．
16．已知，，，成等比数列，满足，且，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．

17．已知数列满足
给出下列四个命题，其中的真命题是（ ）
A． 数列单调递增；
B．数列 单调递增；
C. 数从某项以后单调递增；
D．数列从某项以后单调递增.
18．已知等比数列中，满足，公比q＝﹣2，则（ ）
A．数列是等比数列 B．数列是等比数列
C．数列是等比数列 D．数列是递减数列
19．设等比数列的公比为q,其前n项和为,前n项积为,并满足条件,,下列结论正确的是( )
A．S2019 C．T2020是数列中的最大值 D．数列无最大值
20．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．


21．设为不超过x的最大整数，为能取到所有值的个数，是数列前n项的和，则下列结论正确的有（ ）
A． B．190是数列中的项
C． D．当时，取最小值

参考答案,仅供参考
1．BD
【分析】先求得的取值范围，根据的取值范围进行分类讨论，利用差比较法比较出和的大小关系.
【解析】由于是等比数列，，所以，
当时，，符合题意；
当时，，即，上式等价于①或②.解②得.解①，由于可能是奇数，也可能是偶数，所以.
综上所述，的取值范围是.
，所以，所以，而，且.
所以，当，或时，，即，故BD选项正确，C选项错误.
当时，，即.
当或时，，A选项错误.
综上所述，正确的选项为BD.
故选：BD
【点评】本小题主要考查等比数列的前项和公式，考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
2．ABC
【分析】数列中，，两式相减得，所以数列为隔项以2为公差的等差数列形式；数列中，，两式相除得，所以数列为隔项以2为公比的等比数列形式；
A选项中分别用表示，由数列为递增数列，构建不等式组，解得答案，正确；
B选项中分别用表示，由数列为递增数列，构建不等式组，解得答案，正确；
因为CD选项中只有一个正确，先利用分组求和，表示，再取特值分别计算确切值，利用基本不等式比较得答案.
【解析】数列中，，两式相减得
所以数列为隔项以2为公差的等差数列形式；
数列中，，两式相除得
所以数列为隔项以2为公比的等比数列形式；
A选项因为，所以即，又数列为递增数列，所以即，所以，正确；
B选项因为，所以即，又数列为递增数列，所以，正确；
因为



因为CD选项中只有一个正确，取特值，当时，
所以C选项正确，D选项错误.
故选：ABC
【点评】本题考查数列的综合问题，涉及由递推公式确定数列关系，递增数列的性质，分组求和求前n项和，还考查了基本不等式与数列的综合问题，属于难题.
3．ABD
【分析】构造函数，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解.
【解析】由，
设，
则，
所以当时，，
即在上为单调递增函数，
所以函数在为单调递增函数，
即，
即，
所以 ，
即，
所以，，故A正确；C不正确；
由在上为单调递增函数，，所以是递增数列，故B正确；
,所以
因此，故D正确
故选：ABD
【点评】本题考查了数列性质的综合应用，属于难题.
4．ABC
【分析】根据题设条件，得到，进而求得，，再结合“裂项法”求得，结合，即可求解.
【解析】设等差数列的公差为，
因为，可得，，
，
即，，即，
所以，，即数列递减，
且，，…，，，
又由，可得，
则，由，要使取最大值，则取得最小值，
显然，而，
所以当时，取得最小值.
综上可得，正确的选项为ABC.
故选：ABC.
【点评】本题主要考查了数列的综合应用，其中解答中熟练应用通项和的关系式，数列的“裂项法”求和，以及数列的单调性进行求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
5．ACD
【分析】由题意可得数列满足递推关系，依次判断四个选项，即可得正确答案.
【解析】对于A，写出数列的前6项为，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，由，，，……，，可得：，故C正确.
对于D，斐波那契数列总有，则，，，……，，，可得，故D正确；
故选：ACD.
【点评】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题.
6．CD
【分析】由题意得到数列的前项依次为 ，利用列举法，结合等差数列以及等比数列的求和公式，验证即可求解.
【解析】由题意，数列的前项依次为 ，
利用列举法，可得当时，的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，
则数列的前25项分别为：，
可得，，所以，
不满足；
当时，的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，
则数列的前25项分别为：，
可得，，所以，
不满足；
当时，的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，
则数列的前25项分别为：，
可得，，所以，
满足；
当时，的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，
则数列的前25项分别为：，
可得，，所以，
满足，
所以使得成立的的可能取值为.
故选：CD.
【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的前项和公式，以及“分组求和法”的应用，其中解答中正确理解题意，结合列举法求得数列的前项和，结合选项求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.


7．ABC
【分析】利用代入法求出前几项的关系即可判断出a1，b1的取值范围，分组法求出其前2n项和的表达式，分析，即可得解.
【解析】∵数列{an}为递增数列；∴a1＜a2＜a3；
∵an+an+1＝2n，
∴；
∴
∴0＜a1＜1；故A正确．
∴S2n＝（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）＝2+6+10+…+2（2n﹣1）＝2n2；
∵数列{bn}为递增数列；
∴b1＜b2＜b3；
∵bn•bn+1＝2n
∴；
∴；
∴1＜b1，故B正确．
∵T2n＝b1+b2+…+b2n
＝（b1+b3+b5+…+b2n﹣1）+（b2+b4+…+b2n）

；
∴对于任意的n∈N*，S2n＜T2n；故C正确，D错误．
故选：ABC
【点评】本题考查了分组法求前n项和及性质探究，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.
8．ACD
【分析】由已知得，又，所以，可判断A；由已知得出，且，得出时，，时，，又，可得出在上单调递增，在上单调递增，可判断B；由，可判断C ；判断 ，的符号， 的单调性可判断D；
【解析】由已知得，，又，所以，故A正确；
由，解得，又，
当时，，时，，又，所以时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递增，所以数列不是递增数列，故B不正确；
由于，而，所以时，的最小值为13，故C选项正确 ；
当时，，时，，当时，，时，，所以当时，，，，时，为递增数列，为正数且为递减数列，所以数列中最小项为第7项，故D正确；
【点评】本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题.
9．ABC
【分析】由等差数列的求和公式可得，可看作关于的二次函数，由二次函数的性质逐个选项验证可得.
【解析】由等差数列的求和公式可得，
选项，若，由二次函数的性质可得数列有最大项，故正确；
选项，若数列有最大项，则对应抛物线开口向下，则有，故正确；
选项，若对任意，均有，对应抛物线开口向上，，
可得数列是递增数列，故正确；
选项，若数列是递增数列，则对应抛物线开口向上，
但不一定有任意，均有，故错误.
故选：.
【点评】本题考查等差数列的求和公式的应用，可看成是二次函数，然后利用二次函数的性质解决问题，考查分析和转化能力，属于常考题.
10．ACD
【分析】依次判断每个选项的正误：计算；得出通项公式和前项和得到错误正确；计算得到，，；得到答案.
【解析】以为分母的数共有个，故，故正确；
为等差数列，错误；
数列的前项和为，正确；
根据（3）知：即；，此时，正确；
故选：
【点评】本题考查了数列的通项公式，前项和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
11．ABCD
【分析】S12＞0，a7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a6+a7＞0，a6＞0．再利用a3＝a1+2d＝12，可得＜d＜﹣3．a1＞0．利用S13＝13a7＜0．可得Sn＜0时，n的最小值为13．数列中，n≤6时，＞0.7≤n≤12时，＜0．n≥13时，＞0．进而判断出D是否正确．
【解析】∵S12＞0，a7＜0，∴＞0，a1+6d＜0．
∴a6+a7＞0，a6＞0．∴2a1+11d＞0，a1+5d＞0，
又∵a3＝a1+2d＝12，∴＜d＜﹣3．a1＞0．
S13＝＝13a7＜0．
∴Sn＜0时，n的最小值为13．
数列中，n≤6时，＞0，7≤n≤12时，＜0，n≥13时，＞0．
对于：7≤n≤12时，＜0．Sn＞0，但是随着n的增大而减小；an＜0，
但是随着n的增大而减小，可得：＜0，但是随着n的增大而增大．
∴n＝7时，取得最小值．
综上可得：ABCD都正确．
故选：ABCD．
【点评】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
12．CD
【分析】根据数列满足，，得到，两式相减得：，然后利用等差数列的定义求得数列 的通项公式，再逐项判断.
【解析】因为数列满足，，，
所以，
两式相减得：，
所以奇数项为1，3，5，7，….的等差数列；
偶数项为2，4，6，8，10，….的等差数列；
所以数列 的通项公式是，
A. 令时， ，而 ，故错误；
B. 令时， ，而 ，故错误；
C. 当时， ，而 ，成立，当时，，因为，所以，所以，故正确；
D. 因为，令，因为，所以得到递增，所以，故正确；
故选：CD
【点评】本题主要考查等差数列的定义，等比数列的前n项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于较难题.
13．BCD
【分析】由已知得，设，利用导数得到数列的单调性即可判断B、C，再利用，通过简单运算即可判断A、C.
【解析】由知，，故为非负数列，
又，设，则，
易知在单调递减，且，
又，所以，从而，所以为递减数列，且，故B、C错误；
，故当时，有，
所以，故D错误；
因为，而，故A正确；
故选：BCD.
【点评】本题考查利用导数研究数列的性质，涉及数列的单调性、数列和的估计，考查逻辑思维能力的计算能力，属于中档题.
14．BC
【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可；
【解析】解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，
显然，，，，，所以且，即B满足条件；
由，
所以
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以
所以，
令，则，
所以，
所以以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以；
即C满足条件；
故选：BC
【点评】考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题．
15．AB
【分析】由可得，可判断B、D选项；先计算数列前几项可发现规律,使用归纳法得出结论：数列是以6为最小正周期的数列，可判断A、C选项.
【解析】对于A选项：
，，
所以数列是以6为最小正周期的数列，又，所以，故A选项正确；
对于C选项：，故C选项错误；
对于B选项：斐波那契数列总有：，
所以，，
所以，故B正确；
对于D选项：，，
，，
。
所以

，故D选项错误；
故选：AB.
【点评】本题考查数列的新定义，关键在于运用数列的定义研究其性质用于判断选项，常常采用求前几项的值，运用归纳法找到规律，属于难度题.
16．AD
【分析】设公比为.由，得，整理得，即.令，利用导数判断的零点在上，即，从而可以判断选项的正误.
【解析】成等比数列，设公比为.
，
，
整理得，即.
令，则.
由，得或；由，得，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
的极大值为，极小值为.
又，在区间上有一个零点.
即时，，.
，等比数列中，均为负数，均为正数.
.
故选：.
【点评】本题考查导数的应用，考查等比数列通项公式，属于较难的题目.
17．BCD
【分析】计算得到，A错误，化简，B正确，，C正确，，
D正确，得到答案.
【解析】因为，所以，
当时, ,所以，所以A错误；
，，
所以是等比数列，，所以B正确；
，故，C正确；
因为，所以，
根据指数函数性质，知数列从某一项以后单调递增，所以D正确.
故选：.
【点评】本题考查了数列的单调性，意在考查学生对于数列性质的综合应用.
18．BC
【分析】利用等比数列通项公式逐个选项去验证即可。
【解析】因为是等比数列，所以，，故A错；，，于是，故是等比数列，故B正确；，故C正确；，是递增数列，故D错。故选:BC.
【点评】此题考查了等比数列的通项公式和与等比数列相关数列的性质，属于中档题。
19．AB
【分析】计算排除和的情况得到，故，得到答案.
【解析】当时，，不成立；
当时，，不成立；
故，且，故，正确；
，故正确；
是数列中的最大值，错误；
故选：
【点评】本题考查了数列知识的综合应用，意在考查学生的综合应用能力.
20．ABCD
【分析】由题意可得数列满足递推关系，对照四个选项可得正确答案.
【解析】对A，写出数列的前6项为，故A正确；
对B，，故B正确；
对C，由，，，……，，
可得：.故是斐波那契数列中的第2020项.
对D，斐波那契数列总有，则，，，……，，
，故D正确；
故选：ABCD.
【点评】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换.
21．ACD
【分析】先根据的定义可求得,再确定的递推公式,从而求得的通项公式求解即可.
【解析】当时,,,,故 ,即,
当时,,,,故,即,
当时,, , ,故,即,
以此类推,当,时, ,
,故可以取的个数为,即
当时也满足上式,故.
对A, ,故A正确.
对B,令无整数解.故B错误.
对C, .
故.故.故C正确.
对D, .当且仅当时取等号.
因为,当时,, 当时,,
故当时,取最小值,故D正确.
故选：ACD
【点评】本题主要考查了数列中的新定义问题,需要根据题意求解通项公式进行分析,主要考查递推公式推导通项公式的方法等.属于难题.