030卫星（天体）追及相遇模型 精讲精练-2022届高三物理一轮复习疑难突破微专题学案

一.必备知识

如果有两颗卫星在同一轨道平面内两个不同轨道上同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb，某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图甲所示，则当它们转过的角度之差Δθ＝π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝π时，两卫星第一次相距最远，如图乙所示。两卫星相距最远的条件是ωaΔt－ωbΔt＝(2n＋1)π(n＝0,1,2,3…)，相距最近的条件是ωaΔt－ωbΔt＝2nπ(n＝0,1,2,3…)。

二.经典例题精讲

例　如图所示，A、B两颗人造地球卫星在同一平面不同圆轨道上同向运行。设它们运行的周期分别是T1、T2，某时刻两卫星相距最近。问：

(1)经过多长时间这两颗卫星再次相距最近？

(2)经过多长时间这两颗卫星相距最远？

 [答案]　(1)　(2)(k＝0,1,2，…)

思维引导：

(1)两颗卫星再次相距最近时的要求是什么？

提示：转动较快的卫星比转动较慢的卫星恰好多转一圈。

(2)两颗卫星相距最远时位置上有什么特点？需要达到什么要求？

提示：两颗卫星相距最远时与地心位于同一直线上，分居地心的两侧。需要达到的要求是转动较快的卫星比转动较慢的卫星多转了圈的奇数倍。

[解析]　(1)卫星绕地球做圆周运动时，万有引力提供向心力，设地球的质量为M，卫星的质量为m，卫星的轨道半径为r，卫星转动的周期为T，则由万有引力提供向心力，有＝m2r，得T＝2π ，即轨道半径大的周期大，故T1<T2。

设经过时间t两卫星再次相距最近，则它们转动的角度之差Δθ＝2π，即t－t＝2π，解得t＝。

(2)设经过时间t′两卫星相距最远，则它们转动的角度之差Δθ′＝(2k＋1)π(k＝0,1,2，…)

即t′－t′＝(2k＋1)π(k＝0,1,2，…)，解得t′＝(k＝0,1,2…)。

三.举一反三，巩固练习

1：（2014年全国高考1卷19）.太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是

A．各地外行星每年都会出现冲日现象

B．在2015年内一定会出现木星冲日

C．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半

D．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短

答案：BD

解析：考察角追及和万有引力定律。

由引力提供向心力可知

相邻两次冲日的时间间隔

其中表示的是地球的公转角速度，表示的是行星的公转角速度。将第一式中的结果代入到第二式中有

设行星的半径是地球半径的k倍，则上式可化为

上式中，也就是地球绕太阳公转的周期，即一年的时间。

对于火星k=1.5，

对于木星k=5.2，

至此可知，后面的行星冲日时间间隔大约都是1年，但又大于1年，因为只有时才恰恰为一年。

2.如图所示，甲、乙两颗卫星在同一平面的两个不同轨道上均绕地球做匀速圆周运动，公转方向相同。已知卫星甲的公转周期为T，每经过最短时间9T，卫星乙都要运动到与卫星甲最近的位置上，则卫星乙的公转周期为(　　)

A.T  B.T  C.T  D.T

答案　A

解析　由t＝2π且t＝9T，解得T乙＝T，A正确。,　　

3：(多选)2019年9月12日，我国在太原卫星发射中心“一箭三星”发射成功。现假设三颗星a、b、c均在赤道平面上绕地球做匀速圆周运动，其中a、b转动方向与地球自转方向相同，c转动方向与地球自转方向相反，a、b、c三颗星的周期分别为Ta＝6 h、Tb＝24 h、Tc＝12 h，下列说法正确的是(　　)

A．a、b每经过6 h相遇一次

B．a、b每经过8 h相遇一次

C．b、c每经过8 h相遇一次

D．b、c每经过6 h相遇一次

答案　BC

解析　a、b转动方向相同，在相遇一次的过程中，a比b多转一圈，设每经时间Δt相遇一次，则有－＝1，解得Δt＝8 h，所以A错误，B正确；b、c转动方向相反，在相遇一次的过程中，b、c共转一圈，设每经时间Δt′相遇一次，则有＋＝1，解得Δt′＝8 h，故C正确，D错误。

4.(2021·辽宁省高三上高考模拟)2020年7月23日，中国火星探测任务“天问一号”探测器在海南文昌航天发射场发射升空。如图所示，已知地球和火星到太阳的距离分别为R和1.5R，若某火星探测器在地球轨道上的A点被发射出去，进入预定的椭圆轨道，通过椭圆轨道到达远日点B进行变速被火星俘获。下列说法正确的是(　　)

A．探测器在椭圆轨道A点的速度等于地球的公转速度

B．探测器由A点大约经0.7年才能抵达火星附近的B点

C．地球和火星相邻两次相距最近的时间间隔约为2.2年

D．探测器在椭圆轨道A点的加速度小于在B点的加速度

答案　BC

解析　探测器由地球轨道进入椭圆轨道需在A点减速，所以在椭圆轨道A点的速度小于地球的公转速度，故A错误；因为地球的公转周期T1＝1年，设探测器在椭圆轨道运动的周期为T2，根据开普勒第三定律得＝，解得T2≈1.4年，则探测器由A点发射之后，大约经t＝＝0.7年才能抵达火星附近的B点，同理可求得火星绕太阳运动的周期T3≈1.84年，设地球和火星相邻两次相距最近的时间间隔为Δt，则Δt＝1，解得Δt＝2.2年，故B、C正确；根据a＝G，可知探测器在椭圆轨道A点的加速度大于在B点的加速度，故D错误。

5．(2016·云南昆明高三月考)太阳系各行星可近似看成在同一平面内沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动。设天王星公转周期为T1，公转半径为R1；地球公转周期为T2，公转半径为R2。当地球和天王星运行到太阳两侧，且三者排成一条直线时，(忽略两者之间的引力作用，万有引力常量为G)下列说法正确的是(　　)

A．天王星公转速度大于地球公转速度

B．地球与天王星相距最近至少需经历

C．太阳的质量为

D．天王星公转的向心加速度与地球公转的向心加速度之比为[来源:学科网]

【答案】B　

【解析】地球和天王星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，G＝m，解得v＝，因R1＞R2，故v1＜v2，选项A错误；设地球与天王星相距最近至少需要时间t，由－＝0.5，解得t＝，选项B正确；由G＝m·R1，解得太阳的质量为M＝，选项C错误；由G＝ma，得＝，选项D错误。