2021学年第一章 预备知识本章综合与测试单元测试课后练习题
展开本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷 (选择题,共60分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A={1,2,3},B={2,3},则( )
A.A=B B.A∩B=∅
C.AB D.BA
2.已知全集U=R,集合M={x|0<x≤1},N={x|x≤0},则M∩(∁UN)=( )
A.{x|0≤x<1} B.{x|0<x≤1}
C.{x|0≤x≤1} D.{x|x<1}
3.已知集合M={1,a2},P={-1,-a},若M∪P有三个元素,则M∩P=( )
A.{0,1} B.{0,-1}
C.{0} D.{-1}
4.命题“∀x≥0,|x|+x2≥0”的否定是( )
A.∃x<0,|x|+x2<0 B.∃x≥0,|x|+x2≤0
C.∃x≥0,|x|+x2<0 D.∃x<0,|x|+x2≥0
5.已知a<0,-1<b<0,则( )
A.-a<ab<0 B.-a>ab>0
C.a>ab>ab2 D.ab>a>ab2
6.已知集合A={x|x2+x-2≤0},B=eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x+1,x-2)≥0)))),则A∩(∁RB)=( )
A.(-1,2) B.(-1,1)
C.(-1,2] D.(-1,1]
7.“关于x的不等式x2-2ax+a>0的解集为R”的一个必要不充分条件是( )
A.0<a<1 B.0<a<eq \f(1,3)
C.0≤a≤1 D.a<0或a>eq \f(1,3)
8.若正数a,b满足2a+eq \f(1,b)=1,则eq \f(2,a)+b的最小值为( )
A.4eq \r(2) B.8eq \r(2)
C.8 D.9
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.有下列命题中,真命题有( )
A.∃x∈N*,使x为29的约数
B.∀x∈R,x2+x+2>0
C.存在锐角α,sin α=1.5
D.已知A={a|a=2n},B={b|b=3m},则对于任意的n,m∈N*,都有A∩B=∅
10.已知eq \f(1,a)<eq \f(1,b)<0,下列结论中正确的是( )
A.a<b B.a+b<ab
C.|a|>|b| D.ab<b2
11.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且对称轴为x=1,点B坐标为(-1,0),则下面结论中正确的是( )
A.2a+b=0 B.4a-2b+c<0
C.b2-4ac>0 D.当y<0时,x<-1或x>4
12.设P是一个数集,且至少含有两个元素.若对任意的a,b∈P,都有a+b,a-b,ab,eq \f(a,b)∈P(除数b≠0),则称P是一个数域.则关于数域的理解正确的是( )
A.有理数集Q是一个数域
B.整数集是数域
C.若有理数集Q⊆M,则数集M必为数域
D.数域必为无限集
第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中横线上)
13.不等式-x2+6x-8>0的解集为________.
14.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是________.
15.若eq \f(1,a)+eq \f(1,b)=eq \f(1,2)(a>0,b>0),则4a+b+1的最小值为________.
16.已知非空集合A,B满足下列四个条件:
①A∪B={1,2,3,4,5,6,7};
②A∩B=∅;
③A中的元素个数不是A中的元素;
④B中的元素个数不是B中的元素.
(1)若集合A中只有1个元素,则A=________;
(2)若两个集合A和B按顺序组成的集合对(A,B)叫作有序集合对,则有序集合对(A,B)的个数是________.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知全集为实数集R,集合A={x|1≤x≤7},B={x|-2m+1<x<m}.
(1)若m=5,求A∪B,(∁RA)∩B;
(2)若A∩B=A,求m的取值范围.
18.(本小题满分12分)已知不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集为{x|-3<x<1}.
(1)求a的值;
(2)若不等式ax2+mx+3≥0的解集为R,求实数m的取值范围.
19.(本小题满分12分)已知p:x2-3x-4≤0;q:x2-6x+9-m2≤0,若p是q的充分条件,求m的取值范围.
20.(本小题满分12分)为了保护环境,某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进:把二氧化碳转化为某种化工产品,经测算,该处理成本y(单位:万元)与处理量x(单位:吨)之间的函数关系可近似表示为y=x2-40x+1 600,x∈[30,50],已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品.
(1)判断该技术改进能否获利?如果能获利,求出最大利润;如果不能获利,则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损?
(2)当处理量为多少吨时,每吨的平均处理成本最少?
21.(本小题满分12分)若集合A={x|x2+2x-8<0},B={x||x+2|>3},C={x|x2-2mx+m2-1<0,m∈R}.
(1)若A∩C=∅,求实数m的取值范围.
(2)若(A∩B)⊆C,求实数m的取值范围.
22.(本小题满分12分)已知正实数a,b满足a+b=1,求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a+\f(1,a)))2+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b+\f(1,b)))2的最小值.
第二部分 阶段测试
第一章 单元质量评估卷
1.解析:由真子集的概念,知BA,故选D.
答案:D
2.解析:∵∁UN={x|x>0},∴M∩(∁UN)={x|0<x≤1}.故选B.
答案:B
3.解析:由题意知a2=-a,解得a=0或a=-1.①当a=0时,M={1,0},P={-1,0},M∪P={-1,0,1},满足条件,此时M∩P={0};②当a=-1时,a2=1,与集合M中元素的互异性矛盾,舍去,故选C.
答案:C
4.解析:“∀x≥0,|x|+x2≥0”的否定是“∃x≥0,|x|+x2<0”.
答案:C
5.解析:∵a<0,-1<b<0,∴ab>0,a<ab2<0,故A,C,D都不正确,正确答案为B.
答案:B
6.解析:由x2+x-2≤0,得-2≤x≤1,∴A=[-2,1].由eq \f(x+1,x-2)≥0,得x≤-1或x>2,∴B=(-∞,-1]∪(2,+∞).则∁RB=(-1,2],∴A∩(∁RB)=(-1,1].故选D.
答案:D
7.解析:因为关于x的不等式x2-2ax+a>0的解集为R,所以函数f(x)=x2-2ax+a的图象始终落在x轴的上方,即Δ=4a2-4a<0,解得0<a<1,因为要找其必要不充分条件,从而得到(0,1)是对应集合的真子集,故选C.
答案:C
8.解析:∵a>0,b>0,且2a+eq \f(1,b)=1,则eq \f(2,a)+b=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)+b))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a+\f(1,b)))=5+eq \f(2,ab)+2ab≥5+4=9,当且仅当eq \f(2,ab)=2ab即a=eq \f(1,3),b=3时取等号,故选D.
答案:D
9.解析:A中命题为真命题.当x=1时,x为29的约数成立;B中命题是真命题.x2+x+2=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(1,2)))2+eq \f(7,4)>0恒成立;C中命题为假命题.根据锐角三角函数的定义可知,对于锐角α,总有0<sin α<1;D中命题为假命题.易知6∈A,6∈B,故A∩B≠∅.
答案:AB
10.解析:因为eq \f(1,a)<eq \f(1,b)<0,所以b<a<0,故A错误;因为b<a<0,所以a+b<0,ab>0,所以a+b<ab,故B正确;因为b<a<0,所以|a|>|b|不成立,故C错误;ab-b2=b(a-b),因为b<a<0,所以a-b>0,即ab-b2=b(a-b)<0,所以ab<b2成立,故D正确.故选BD.
答案:BD
11.解析:∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=1,∴-eq \f(b,2a)=1,得2a+b=0,故A正确;当x=-2时,y=4a-2b+c<0,故B正确;该函数图象与x轴有两个交点,则b2-4ac>0,故C正确;∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴为x=1,点B的坐标为(-1,0),∴点A的坐标为(3,0),∴当y<0时,x<-1或x>3,故D错误,故选ABC.
答案:ABC
12.解析:若a,b∈Q,则a+b∈Q,a-b∈Q,ab∈Q,eq \f(a,b)∈Q(b≠0),所以有理数Q是一个数域,故A正确;因为1∈Z,2∈Z,eq \f(1,2)∉Z,所以整数集不是数域,B不正确;令数集M=Q∪{eq \r(2)},则1∈M,eq \r(2)∈M,但1+eq \r(2)∉M,所以C不正确;根据定义,如果a,b(b≠0)在数域中,那么a+b,a+2b,…,a+kb(k为整数),…都在数域中,故数域必为无限集,D正确.故选AD.
答案:AD
13.解析:原不等式等价于x2-6x+8<0,
即(x-2)(x-4)<0,得2<x<4.
答案:(2,4)(或写成{x|2<x<4})
14.解析:由题意,分流前每年创造的产值为100t(万元),分流x人后,每年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t,
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0<x<100,100-x1+1.2x%t≥100t,))
解得0<x≤eq \f(50,3).因为x∈N*,所以x的最大值为16.
答案:16
15.解析:由eq \f(1,a)+eq \f(1,b)=eq \f(1,2),得eq \f(2,a)+eq \f(2,b)=1,
4a+b+1=(4a+b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)+\f(2,b)))+1=8+2+eq \f(8a,b)+eq \f(2b,a)+1≥11+2eq \r(\f(8a,b)·\f(2b,a))=19.
当且仅当eq \f(8a,b)=eq \f(2b,a),即a=3,b=6时,4a+b+1取得最小值19.
答案:19
16.解析:(1)若集合A中只有1个元素,则集合B中有6个元素,所以6∉B,故A={6}.
(2)当集合A中有1个元素时,A={6},B={1,2,3,4,5,7},此时有序集合对(A,B)有1个;当集合A中有2个元素时,5∉B,2∉A,此时有序集合对(A,B)有5个;当集合A中有3个元素时,4∉B,3∉A,此时有序集合对(A,B)有10个;当集合A中有4个元素时,3∉B,4∉A,此时有序集合对(A,B)有10个;当集合A中有5个元素时,2∉B,5∉A,此时有序集合对(A,B)有5个;当集合A中有6个元素时,A={1,2,3,4,5,7},B={6},此时有序集合对(A,B)有1个.综上,可知有序集合对(A,B)的个数是1+5+10+10+5+1=32.
答案:(1){6} (2)32
17.解析:(1)∵m=5,∴B={x|-9<x<5},又A={x|1≤x≤7},
∴A∪B={x|-9<x≤7}.
又∁RA={x|x<1,或x>7},
∴(∁RA)∩B={x|-9<x<1}.
(2)∵A∩B=A,∴A⊆B,
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-2m+1<1,m>7,))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0,m>7,))解得m>7.
∴m的取值范围是{m|m>7}.
18.解析:(1)由已知,1-a<0,且方程(1-a)x2-4x+6=0的两根为-3,1,
有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,1-a)=-3+1,\f(6,1-a)=-3,))解得a=3.
(2)不等式3x2+mx+3≥0的解集为R,
则Δ=m2-4×3×3≤0,解得-6≤m≤6,
实数m的取值范围为[-6,6].
19.解析:由x2-3x-4≤0,解得-1≤x≤4,
由x2-6x+9-m2≤0,
可得[x-(3+m)][x-(3-m)]≤0,①
当m=0时,①式的解集为{x|x=3};
当m<0时,①式的解集为{x|3+m≤x≤3-m};
当m>0时,①式的解集为{x|3-m≤x≤3+m};
若p是q的充分条件,则集合{x|-1≤x≤4}是①式解集的子集.
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<0,3+m≤-1,3-m≥4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0,3-m≤-1,3+m≥4,))
解得m≤-4或m≥4.
故m的取值范围是(-∞,-4]∪[4,+∞).
20.解析:(1)当x∈[30,50]时,设该工厂获利为S万元,
则S=20x-(x2-40x+1 600)=-(x-30)2-700,所以当x∈[30,50]时,S的最大值为-700,因此该工厂不会获利,国家至少需要补贴700万元,该工厂才不会亏损.
(2)由题知,二氧化碳的平均处理成本P=eq \f(x,y)=x+eq \f(1 600,x)-40,x∈[30,50],
当x∈[30,50]时,P=x+eq \f(1 600,x)-40≥2eq \r(x·\f(1 600,x))-40=40,
当且仅当x=eq \f(1 600,x),即x=40时等号成立,所以当处理量为40吨时,每吨的平均处理成本最少.
21.解析:(1)由已知可得A={x|-4<x<2},
B={x|x<-5或x>1},
C={x|m-1<x<m+1}.
若A∩C=∅,则m-1≥2或m+1≤-4,
解得m≥3或m≤-5.
所以实数m的取值范围为{m|m≤-5或m≥3}.
(2)结合(1)可得A∩B={x|1<x<2}.
若(A∩B)⊆C,即{x|1<x<2}⊆{x|m-1<x<m+1},
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m-1≤1,m+1≥2)),解得1≤m≤2.
所以实数m的取值范围为{m|1≤m≤2}.
22.解析:eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a+\f(1,a)))2+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b+\f(1,b)))2=a2+b2+eq \f(1,a2)+eq \f(1,b2)+4
=(a2+b2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1+\f(1,a2b2)))+4=[(a+b)2-2ab]eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1+\f(1,a2b2)))+4
=(1-2ab)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1+\f(1,a2b2)))+4,
由a+b=1,得ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a+b,2)))2=eq \f(1,4)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当a=b=\f(1,2)时等号成立)),
所以1-2ab≥1-eq \f(1,2)=eq \f(1,2),且eq \f(1,a2b2)≥16,
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a+\f(1,a)))2+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b+\f(1,b)))2≥eq \f(1,2)×(1+16)+4=eq \f(25,2),
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a+\f(1,a)))2+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b+\f(1,b)))2的最小值为eq \f(25,2).
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