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高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.2 函数的表示法第1课时练习
展开第1课时 函数的表示法
| 必备知识基础练 | 进阶训练第一层 |
知识点一 | 函数的表示法 |
1.下表是某工厂产品的销售价格表.
一次购 买件数 | 1~ 10件 | 11~ 50件 | 51~ 100件 | 101~ 300件 | 300件 以上 |
单价(元) | 37 | 32 | 30 | 27 | 25 |
某人现有现金2 900元,则他一次最多可以购买这种产品( )
A.96件 B.97件
C.107件 D.108件
2.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( )
3.一个面积为100 cm2的等腰梯形,上底长为x cm,下底长为上底长的3倍,则把它的高y表示成x的函数为( )
A.y=50x(x>0) B.y=100x(x>0)
C.y=(x>0) D.y=(x>0)
知识点二 | 函数的图象 |
4.已知f(x)的图象如图所示,则f(x)的定义域为________,值域为________.
5.作出下列函数的图象并求出其值域.
(1)y=,x∈[2,+∞);
(2)y=x2+2x,x∈[-2,2].
知识点三 | 求函数的解析式 |
6.(1)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式;
(2)已知函数f(+1)=x+2+1,求f(x)的解析式;
(3)已知函数f(x)满足2f(x)+f=3x,求f(x)的解析式.
| 关键能力综合练 | 进阶训练第二层 |
1.若一次函数的图象经过点A(1,6)和B(2,8),则该函数的图象还可能经过的点的坐标为( )
A. B.
C.(-1,3) D.(-2,1)
2.已知函数y=f(x)的对应关系如下表,函数y=g(x)的图象是如图的曲线ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则f[g(2)]的值为( )
A.3 B.2
C.1 D.0
3.已知f(1-2x)=,则f的值为( )
A.4 B. C.16 D.
4.函数y=的大致图象是( )
5.(易错题)已知函数f(+1)=x+1,则函数f(x)的解析式为( )
A.f(x)=x2-2x+2 B.f(x)=x2+1(x≥1)
C.f(x)=x2-2x(x≥1) D.f(x)=x2-2x+2(x≥1)
6.从甲城市到乙城市t min的电话费由函数g(t)=1.06×(0.75[t]+1)给出,其中t>0,[t]为t的整数部分,则从甲城市到乙城市5.5 min的电话费为( )
A.5.04元 B.5.56元
C.5.84元 D.5.38元
7.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出.
x | 1 | 2 | 3 |
f(x) | 2 | 1 | 1 |
x | 1 | 2 | 3 |
g(x) | 3 | 2 | 1 |
则f[g(1)]的值为_____;当g[f(x)]=2时,x=______.
8.已知f(x)是一次函数,若f[f(x)]=4x+8,则f(x)的解析式为________________.
9.(探究题)已知函数y=f(x)满足f(x)-2f(-x)=9x+2,则f(x)的解析式为________________.
10.作出下列函数的图象,并指出其值域.
(1)y=x2+x(-1≤x≤1);
(2)y=(-2≤x≤1,且x≠0);
(3)y=;
(4)y=|x2-2x|+1.
| 学科素养升级练 | 进阶训练第三层 |
1.(多选题)定义域和值域均为[-a,a]的函数y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示,其中a>c>b>0,给出下列四个结论正确结论的是( )
A.方程f[g(x)]=0有且仅有三个解
B.方程g[f(x)]=0有且仅有三个解
C.方程f[f(x)]=0有且仅有九个解
D.方程g[g(x)]=0有且仅有一个解
2.(情境命题—生活情境)一水池有2个进水口,1个出水口,进出水速度如图甲乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示.(至少打开一个水口)
给出以下3个论断:①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水.则正确论断的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
3.已知函数f(x)=(a,b为常数,且a≠0)满足f(2)=1,且f(x)=x有唯一解,求函数y=f(x)的解析式和f[f(-3)]的值.
2.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
必备知识基础练
1.解析:若按单价25元,则不够300件,故这不可能.若按单价27元购买,可买107件,符合101~300件的范围.
答案:C
2.解析:距学校的距离应逐渐减小,由于小明先是匀速运动,故前段是直线段,途中停留时距离不变,后段加速,直线段比前段下降的快,故应选C.
答案:C
3.解析:由·y=100,得2xy=100,∴y=(x>0).
答案:C
4.解析:函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合,值域对应纵坐标的取值集合.
答案:[-2,4]∪[5,8] [-4,3]
5.解析:(1)列表:
x | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
y | 1 | … |
画图象,当x∈[2,+∞)时,图象是反比例函数y=的一部分(图1),观察图象可知其值域为(0,1].
(2)列表:
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
y | 0 | -1 | 0 | 3 | 8 |
画图象,图象是抛物线y=x2+2x在-2≤x≤2之间的部分(图2).由图可得函数的值域是[-1,8].
6.解析:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
∵f(0)=1,∴c=1.
∴f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2ax+a+b.
又f(x+1)-f(x)=2x,
∴∴
∴f(x)=x2-x+1.
(2)解法一:∵f(+1)=x+2+1=(+1)2,
∴f(x)=x2.
又+1≥1,∴f(x)=x2(x≥1).
解法二:令t=+1,则x=(t-1)2.
由于x≥0,所以t≥1.
代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)+1=t2,
所以f(x)=x2(x≥1).
(3)∵2f(x)+f=3x,①
∴将x用替换,
得2f+f(x)=,②
联立①②得
解得f(x)=2x-(x≠0),
即f(x)的解析式是f(x)=2x-(x≠0).
关键能力综合练
1.解析:设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0),由该函数的图象经过点A(1,6)和B(2,8),得解得所以此函数的解析式为y=2x+4,只有A选项中点的坐标符合此函数的解析式.故选A.
答案:A
2.解析:由函数g(x)的图象知,g(2)=1,则f[g(2)]=f(1)=2.
答案:B
3.解析:令1-2x=可得x=,∴f==16,故选C.
答案:C
4.解析:解法一 y=的定义域为{x|x≠-1},排除C,D,当x=0时,y=0,排除B.
解法二 y==1-,
由函数的平移性质可知A正确.
答案:A
5.易错分析:本题易忽视+1整体的取值范围而忘记f(x)的定义域要求,从而错选了A.
解析:令+1=t(t≥1),则x=(t-1)2,∴f(t)=(t-1)2+1=t2-2t+2,∴f(x)=x2-2x+2(x≥1).
答案:D
6.解析:g(5.5)=1.06(0.75×5+1)=5.035≈5.04.
答案:A
7.解析:由于函数关系是用表格形式给出的,知g(1)=3,∴f[g(1)]=f(3)=1.由于g(2)=2,∴f(x)=2,
∴x=1.
答案:1 1
8.解析:设f(x)=ax+b(a≠0),则f[f(x)]=f(ax+b)=a2x+ab+b=4x+8.
所以解得或
所以f(x)=2x+或f(x)=-2x-8.
答案:f(x)=2x+或f(x)=-2x-8
9.解析:由条件知,f(-x)-2f(x)=-9x+2,
则
解得f(x)=3x-2.
答案:f(x)=3x-2
10.解析:(1)用描点法可以作出函数的图象如图(1).
由图可知y=x2+x(-1≤x≤1)的值域为.
(2)用描点法可以作出函数的图象如图(2),由图可知y=(-2≤x≤1,且x≠0)的值域为(-∞,-1]∪[2,+∞).
(3)∵y==2+,∴先作函数y=的图象,把它向右平移一个单位得到函数y=的图象,再把它向上平移两个单位便得到函数y=的图象,如图(3)所示.由图可知值域为(-∞,2)∪(2,+∞).
(4)先作y=x2-2x的图象,保留x轴上方图象,再把x轴下方图象对称翻到x轴上方,得到y=|x2-2x|的图象,再把它向上平移1个单位,即得到y=|x2-2x|+1的图象,如图(4)所示.由图可知值域为[1,+∞).
学科素养升级练
1.解析:由图象可知对于函数y=f(x),当-a≤y<-c时,方程有一解,当y=-c时,方程有两解,当-c<y<c时方程有三解,当y=c时,方程有两解,当c<y≤a时,方程有一解,对于函数y=g(x),由图象可知,函数g(x)为单调递减函数,当-a≤y≤a,方程有唯一解.
对于A中,设t=g(x),则由f[g(x)]=0,即f(t)=0,此时方程有三个t的值,即t=g(x)有三个不同的值,又由函数g(x)为单调递减函数,所以方程f[g(x)]=0有三个不同的解,所以是正确的;对于B中,设t=f(x),则由g[f(x)]=0,即g(t)=0,此时只有唯一的解t=b,即方程b=f(x),此时可能有一解、两解或三解,所以不正确;对于C中,设t=f(x),则由f[f(x)]=0,即f(t)=0,此时t=-b或t=0或t=b,则方程t=f(x)可能有5个解或7个解,或9个解,所以不正确;对于D中,设t=g(x),则由g[g(x)]=0,即g(t)=0,此时t=b,对于方程b=g(x),只有唯一的解,所以是正确的.故选AD.
答案:AD
2.解析:由题意可知在0点到3点这段时间,每小时进水量为2,即2个进水口同时进水且不出水,所以①正确;从丙图可知3点到4点水量减少了1,所以应该是有一个进水口进水,同时出水口也出水,故②错;当两个进水口同时进水,出水口也同时出水时,水量保持不变,也可由题干中“至少打开一个水口”知③错.
答案:B
3.解析:因为f(2)=1,所以=1,即2a+b=2,①
又因为f(x)=x有唯一解,即=x有唯一解,所以ax2+(b-1)x=0有两个相等的实数根,所以Δ=(b-1)2=0,即b=1.
代入①得a=.
所以f(x)==.
所以f[f(-3)]=f=f(6)==.
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