北师大版 (2019)必修 第一册第二章 函数3 函数的单调性和最值第1课时一课一练

第1课时　函数的单调性

1.设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为(　　)

A．f(x1)＜f(x2)  B．f(x1)＞f(x2)

C．f(x1)＝f(x2)  D．不能确定

2．已知函数f(x)的定义域为A，如果对于属于定义域内某个区间I上的任意两个不同的自变量x1，x2，都有＞0，则(　　)

A．f(x)在这个区间上为增函数

B．f(x)在这个区间上为减函数

C．f(x)在这个区间上的增减性不确定

D．f(x)在这个区间上为常函数

3．证明：函数f(x)＝x＋在(－∞，－2)上是增函数．

4.如图所示，函数y＝f(x)在下列哪个区间上是增函数(　　)

A．[－4,4]

B．[－4，－3]∪[1,4]

C．[－3,1]

D．[－3,4]

5．函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的单调递减区间是(　　)

A.  B．[－1，＋∞)

C.  D．(－∞，＋∞)

6．求下列函数的单调区间：

(1)f(x)＝；

(2)f(x)＝|x2－3x＋2|.

7.若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是(　　)

A．f(a)>f(2a)     B．f(a2)<f(a)

C．f(a2＋a)<f(a)  D．f(a2＋1)<f(a2)

8．已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围为________．

9．若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)<f(2a－1)，则a的取值范围是________．

1．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是(　　)

A．y＝5－x  B．y＝x2＋2

C．y＝      D．y＝－|x|

2．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)

A.  B.

C.  D.

3．下列说法中，正确的有(　　)

①若任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，＜0，则y＝f(x)在I上是减函数；

②函数y＝x2在R上是增函数；

③函数y＝－在定义域上是增函数；

④函数y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

A．0个  B．1个

C．2个  D．3个

4．当y＝x2＋bx＋c(x∈(－∞，1))是单调函数时，b的取值范围是(　　)

A．[－2，＋∞)  B．(－∞，－2]

C．(－2，＋∞)  D．(－∞，－2)

5．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是(　　)

A．(－1,0)∪(0,1)  B．(－1,1)

C．(0,1)  D．(0,1]

6．(易错题)已知f(x)＝是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是(　　)

A.  B.

C.  D.∪

7．已知函数f(x)＝则f(x)的单调递减区间是________，单调递增区间是________．

8．已知函数f(x)＝|x＋a|在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围是________．

9．函数y＝f(x)在(－2,2)上为增函数，且f(2m)>f(－m＋1)，则实数m的取值范围是________．

10．(探究题)已知函数f(x)＝.

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义加以证明．

1．(多选题)已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2,3)，则函数f(|x|)的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，－1)  B．(－3，－1)

C．(0,1)         D．(1,3)

2．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且f(m＋2)<f(2)，则实数m的取值范围是________．

3．(学科素养—数学抽象)函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)＞1.

(1)求证：f(x)在R上是增函数；

(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m－2)<3.

§3　函数的单调性和最值

第1课时　函数的单调性

必备知识基础练

1．解析：由函数单调性的定义，知所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，所以f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定．故选D.

答案：D

2．解析：①当x1＞x2时，x1－x2＞0，则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，

∴f(x)在区间I上是增函数．

②当x1＜x2时，x1－x2＜0，则f(x1)－f(x2)＜0，

即f(x1)＜f(x2)，

∴f(x)在区间I上是增函数．

综合①②可知，f(x)在区间I上是增函数．故选A.

答案：A

3．证明：∀x1，x2∈(－∞，－2)，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－

＝(x1－x2)＋

＝.

∵x1<x2<－2，∴x1－x2<0，x1x2>4，

x1x2－4>0.

∴f(x1)－f(x2)<0，

即f(x1)<f(x2)．

∴函数f(x)＝x＋在(－∞，－2)上是增函数．

4．解析：观察题中图象知，函数在[－3,1]上是增函数．

答案：C

5．解析：y＝x2＋x＋1＝2＋，其对称轴为x＝－，在对称轴左侧单调递减，∴当x≤－时单调递减．

答案：C

6．解析：(1)函数f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，

∀x1，x2∈(－∞，1)，且x1<x2，则

f(x1)－f(x2)＝－

＝.

因为x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，

所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．

所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．

综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．

(2)f(x)＝|x2－3x＋2|

＝

作出函数的图象，如图所示．

根据图象，可知

单调递增区间是和[2，＋∞)；

单调递减区间是(－∞，1]和.

7．解析：∵f(x)在(－∞，＋∞)为减函数，且a2＋1>a2，

∴f(a2＋1)<f(a2)．选D.

答案：D

8．解析：f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的开口方向向上，对称轴为x＝1－a，

∵f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，

∴4≤1－a，

∴a≤－3，

∴a的取值范围是(－∞，－3]．

答案：(－∞，－3]

9．解析：因为y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，

f(1－a)<f(2a－1)，所以1－a<2a－1，即a>，

所以所求a的取值范围是.

答案：

关键能力综合练

1．解析：A，C，D中的函数在(0,2)上是减函数，只有函数y＝x2＋2在(0,2)上是增函数．

答案：B

2．解析：由一次函数的性质得2a－1<0，即a<.故选D.

答案：D

3．解析：①若任意x1，x2∈I，当x1<x2时，＜0，则y＝f(x)在I上是减函数，这是减函数的定义，故①正确；②函数y＝x2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故②错误；③函数y＝－在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是增函数，但在整个定义域内不是增函数，故③错误；④y＝的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，不能写成并集的形式，故④错误．故选B.

答案：B

4．解析：由y＝x2＋bx＋c可知，二次函数的对称轴为 x＝－，要使函数y＝x2＋bx＋c在(－∞，1)上是单调函数，则－≥1，所以b≤－2.故选B.

答案：B

5．解析：由f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数，得a≤1.由函数g(x)＝在[1,2]上是减函数，得a>0，故a的取值范围为(0,1]．

答案：D

6．解析：要使f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，必须同时满足3个条件：

①g(x)＝(3a－1)x＋4a在(－∞，1)上为减函数；

②h(x)＝－x＋1在[1，＋∞)上为减函数；

③g(1)≥h(1)．

所以

所以≤a＜.

答案：C

7．解析：当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，

所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为[1，＋∞)．

答案：(－∞，1)　[1，＋∞)

8．解析：当x∈R时，f(x)＝|x＋a|＝

∴f(x)的递减区间为(－∞，－a]．

由题意，(－∞，1]⊆(－∞，－a]，

∴－a≥1，即a≤－1.

答案：(－∞，－1]

9．解析：由题意知解得<m<1.

答案：

10．解析：(1)由x2－1≠0，得x≠±1，

所以函数f(x)＝的定义域为{x∈R|x≠±1}．

(2)函数f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．

证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝.

因为x2>x1>1，所以x－1>0，x－1>0，x2－x1>0，x2＋x1>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，

所以函数f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．

学科素养升级练

1．解析：因为函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2,3)，对称轴为直线x＝1，开口向下，所以函数f(|x|)满足－2<|x|<3，所以－3<x<3.

又f(|x|)＝－x2＋2|x|＋1＝且y＝－x2－2x＋1图象的对称轴为直线x＝－1，所以由二次函数的图象与性质可知，函数f(|x|)的单调递增区间是(－3，－1)和(0,1)．

故选BC.

答案：BC

2．解析：∵f(x)在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，

∴－＝1，∴a＝－2.如图．

∵f(m＋2)<f(2)，f(0)＝f(2)，

∴0<m＋2<2，∴－2<m<0，

则实数m的取值范围为(－2,0)．

答案：(－2,0)

3．解析：(1)证明：设x1，x2∈R，且x1<x2，

则x2－x1>0，f(x2－x1)＞1.

∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)

＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)

＝f(x2－x1)－1>0.

∴f(x2)>f(x1)．故f(x)在R上是增函数．

(2)∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，∴f(2)＝3.

∴原不等式可化为f(3m－2)<f(2)．

∵f(x)在R上是增函数，∴3m－2<2，解得m＜.故不等式的解集为.