2021学年4.1 函数的奇偶性第1课时课堂检测

这是一份2021学年4.1 函数的奇偶性第1课时课堂检测，共8页。试卷主要包含了判断下列函数的奇偶性，))，函数f＝eq \f－x的图象等内容，欢迎下载使用。

1.判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝2－|x|；
(2)f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(1－x2)；
(3)f(x)＝eq \f(x,x－1)；
(4)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1，x>0，,－2x＋1，x<0.))
2.函数f(x)＝eq \f(1,x)－x的图象( )
A．关于y轴对称
B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称
D．关于直线y＝－x对称
3．已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．
(1)画出在区间[－5,0]上的图象．
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
4.若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；
5．若函数f(x)＝eq \f(x＋1x＋a,x)为奇函数，则a＝________.
6．已知f(x)＝ax5＋bx3＋cx－8，且f(d)＝10，则f(－d)＝________.
1．下列函数为奇函数的是( )
A．y＝－|x| B．y＝2－x
C．y＝eq \f(1,x3) D．y＝－x2＋8
2．已知函数y＝f(x)是偶函数，且图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是( )
A．4 B．2
C．1 D．0
3．函数f(x)＝eq \f(4,x3)＋x3的图象( )
A．关于y轴对称
B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称
D．关于直线y＝－x对称
4．若f(x)＝ax2＋bx＋c(c≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx( )
A．是奇函数但不是偶函数
B．是偶函数但不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
5．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
6．已知定义在R上的偶函数f(x)满足：当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x≥2，,x2＋1，0≤x<2，))则f[f(－2)]的值为( )
A．1 B．3
C．－2 D．－3
7．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.
8．函数f(x)＝eq \f(\r(4－x2),2－|x＋2|)的定义域为______，为________函数(填“奇”或“偶”)．
9．(探究题)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝________.
10．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.
(1)现已画出函数f(x)在y轴及y轴左侧的图象，如图所示，请把函数f(x)的图象补充完整，并根据图象写出函数f(x)的单调递增区间；
(2)写出函数f(x)的值域．
1．(多选题)对于定义在R上的函数f(x)，下面结论正确的是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)
B．若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)是偶函数
C．若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数
D．若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)不是奇函数
2．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A．|f(x)|－g(x)是奇函数
B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数
D．f(x)＋|g(x)|是偶函数
3．(学科素养—数学抽象)已知函数f(x)对一切x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12)．
§4 函数的奇偶性与简单的幂函数
4．1 函数的奇偶性
第1课时 函数奇偶性的概念
必备知识基础练
1．解析：(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，
又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x>0时，－x<0，
f(－x)＝1－(－2x)＝1＋2x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝1＋(－2x)＝1－2x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．
2．解析：函数f(x)＝eq \f(1,x)－x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－eq \f(1,x)－(－x)＝x－eq \f(1,x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称．
答案：C
3．解析：(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．
(2)由图象知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
4．解析：∵函数f(x)在[a－1,2a]上是偶函数，
∴a－1＋2a＝0，得a＝eq \f(1,3).
又f(－x)＝f(x)，即eq \f(1,3)x2－bx＋1＋b＝eq \f(1,3)x2＋bx＋1＋b
对x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(2,3)))均成立，∴b＝0.
答案：eq \f(1,3) 0
5．解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即eq \f(－x＋1－x＋a,－x)＝－eq \f(x＋1x＋a,x).
显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，
故a＋1＝0，得a＝－1.
答案：－1
6．解析：令g(x)＝ax5＋bx3＋cx，则g(x)为奇函数．
f(d)＝g(d)－8＝10，∴g(d)＝18，
f(－d)＝g(－d)－8＝－g(d)－8＝－26.
答案：－26
关键能力综合练
1．解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶，而C项中函数为奇函数．
答案：C
2．解析：因为f(x)是偶函数，且图象与x轴四个交点，所以这四个交点每组两个关于y轴一定是对称的，故所有实根之和为0.选D.
答案：D
3．解析：∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－eq \f(4,x3)－x3＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称．
答案：C
4．解析：∵f(x)＝ax2＋bx＋c(c≠0)是偶函数，∴b＝0，
∴g(x)＝ax3＋cx，∴g(－x)＝－g(x)，∴g(x)是奇函数，故选A.
答案：A
5．解析：F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．
又x∈(－a，a)关于原点对称，
∴F(x)是偶函数．
答案：B
6．解析：∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝2－2＝0，f(0)＝0＋1＝1.∴f[f(－2)]＝f(0)＝1.故选A.
答案：A
7．解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)且f(0)＝0，∴f(－2)＝－f(2)＝－5，∴f(－2)＋f(0)＝－5.
答案：－5
8．解析：依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－x2≥0，,2－|x＋2|≠0，))
解得－2≤x≤2且x≠0，
∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]．
∵f(x)＝eq \f(\r(4－x2),2－|x＋2|)＝eq \f(\r(4－x2),－x)＝－eq \f(\r(4－x2),x)，定义域关于原点对称，
∴f(－x)＝eq \f(\r(4－x2),x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
答案：[－2,0)∪(0,2] 奇
9．解析：在f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1中，令x＝－1，得f(－1)－g(－1)＝1，又f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以f(1)＋g(1)＝1.
答案：1
10．解析：(1)由f(x)为偶函数可知，其图象关于y轴对称，如图，作出已知图象关于y轴对称的图象，即得该函数的完整图象．
由图可知，函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．所以函数f(x)的单调递增区间是(－1,0)，(1，＋∞)．
(2)由题意知，当x≤0时，f(x)的最小值为f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)＝－1.由偶函数的性质可得f(x)≥－1，即函数f(x)的值域为[－1，＋∞)．
学科素养升级练
1．解析：A正确；B错误，仅两个特殊的函数值相等不足以确定函数的奇偶性，需要满足“任意”；C正确；D错误，反例：f(x)＝0满足条件，该函数既是奇函数，又是偶函数．
答案：AC
2．解析：∵函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．
对于选项A，|f(－x)|－g(－x)＝|f(x)|＋g(x)≠±(|f(x)|－g(x))，故其不具有奇偶性；
对于选项B，f(－x)－|g(－x)|＝f(x)－|g(x)|，故函数为偶函数；
对于选项C，|f(－x)|＋g(－x)＝|f(x)|－g(x)≠±(|f(x)|＋g(x))，故其不具有奇偶性；
对于选项D，f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|，故函数为偶函数．
综上，选D.
答案：D
3．解析：(1)证明：由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.
所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，
故f(x)是奇函数．
(2)因为f(x)为奇函数．
所以f(－3)＝－f(3)＝a，所以f(3)＝－a.
又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，
所以f(12)＝－4a.
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
函数奇偶性的判断
知识点二
奇函数和偶函数的图象及应用
知识点三
利用函数的奇偶性求值
关键能力综合练
进阶训练第二层
学科素养升级练
进阶训练第三层